振動と波動/波動方程式の性質

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1次元の波動方程式[編集]

波動方程式の一般解[編集]

波動方程式は偏微分方程式であるので、これを解くために境界条件を定めねばならない。1次元の波動方程式

を考えると、 とするとき、

を用いると、

より、

となる。この解は、

で与えられる(f , g は任意の関数)。この解のうち、x + v t に依存する関数は速度v で -x 方向に移動する波に対応し、x - v t に依存する関数は速度vx 方向に移動する波に対応する。

この関数を完全に決めるには例えば、波をつたえる物体のt = 0 での位置と速度が全ての点x で知られていればよい。例えば、

かつ、速度はt = 0 かつ全てのx で0とおいたとき、

に代入すると、

が得られ、時刻t での関数u の値は、

となる。

定在波[編集]

時間依存性が位置によらずに決まる波を、定在波と呼ぶ。(?)このとき、

のように、解のx , t に対する依存性を分離できる。これを波動方程式に代入すると、

と変形できる。ここで、最後の式の左辺はt だけの関数であり、右辺の式はx だけの関数であるので、どちらの値も定数に等しいはずである。この定数を、-ω2 /v2 とおくと、

となり、解

を得る(A , B は任意定数)。一方、X についても同様に

を得ることができ、解

を得る(A , B は任意定数)。

特に、x = 0, x = lu (t , x ) = 0 となる場合を考える。これは、物体の端が固定されている場合に対応するので固定端と呼ばれる。このとき、x = 0 でu = 0 からB = 0 が得られる。また、

より、

n は整数)となり、

が得られる。n = 0 は全く波が起きていない状況に対応し、n = 1 は節が1つだけの波が起きている状況に対応する。n > 1 は、節がn 個の波に対応する。

全ての点の時間依存性が同一なのでT (t ) を決めるにはある一点での振動のある時刻での位置と速度を与えればよい(実際にはある時刻で両方を与える必要はなく、違う時刻で1つずつ与えてもよい)。例えば、t = 0, x = l /2 で、u = 0, a は定数)が与えられたとすると、

について、B = 0, ωA = aまたはA = a /ωが得られる。よって、この方程式の解は

となる。

2次元平面中の波[編集]

2次元空間中の波動方程式[編集]

2次元平面中で、ある方向をx 方向と取り、それと垂直な方向をy 軸と取る。x 軸とy 軸をつけかえても方程式が変わらないことに注目すると、波動方程式は

となる。

  • TODO

2次元平面中での固定端の定在波は、2つの整数を使って表わされること(変数分離)。2つの整数をm,nとしたときのm = 1,n=1の時などの図。

3次元空間中の波[編集]

3次元空間中の波動方程式[編集]

3次元平面中で、ある方向にx 軸を、それと垂直な方向にy 軸を取り、それらが順に右手の親指、人差し指、中指に対応するようにz 軸を取る。それぞれの軸をつけかえても方程式が変わらないことに注目すると、波動方程式は

となる。

球面波[編集]

fr , t だけの関数。Δ はラプラシアン。)(?)このとき、与えられた波動方程式は、

となるが、ここで r f (r , t ) についてはこの式は通常の1次元の波動方程式に対応する。よってこの方程式の解として

u , v は任意の関数)を得る。これらは球対称な波を表わすことから、球面波と呼ばれる。


情報通信と群速度[編集]

水深が深い水の表面の水面波における、周波数分散を持つ波束(波群)を表したもの。赤点は位相速度で動き、緑点は群速度で動いている。このように水深が深い場合には、水面では位相速度は群速度の二倍になる。図の左から右に動く間、赤点は緑点を二回追い越す。
波束の後方(の緑点)で新しい波が出現し、波束の中心に向かって振幅が大きくなり、波束の前方(の緑点)で消えているように見える。水面の重力波においては、ほとんどの場合、水粒子の速度は位相速度よりもずっと小さい。

波動の方程式の中にあるsin(ωt)の、角速度ωに振幅Aをかけ算して計算上得られる速度Aωは、けっして、情報を伝える速度ではない

光の場合で考えると分かりやすい。光の速度cは、角速度や周波数とは無関係である。


なお、この、波における速度Aωを、位相速度(いそう そくど)という。つまり、位相速度は、情報を伝える速度ではない。


なぜ、こうなるのか?


光ファイバーを思い出してみよう。光は、電磁波という波である。

光で情報を伝えるために必要なのは、光が相手方のコンピュータに届くことと、その光の信号のオンとオフの切り替えである。

CPUが1秒間に何億回もオンとオフを切り替えているように(いわゆるクロック周波数)、光ファイバーから光を送受信するための機械も1秒間に何万回もオンとオフを切り換える必要がある。

ここwikibooksでは、仮定として、光信号のクロック的なオン/オフ切り替えの周波数は充分に高いとして、光が相手方のコンピュータに届くための速度だけを考えれば良いと仮定しよう。

さて、中学高校のコンピューターの授業で習ったように、情報通信には、デジタル信号の「0」と「1」に対応する、2種類の信号が必要である。


さて、波ではないが、たとえばモールス信号では、2種類の符号によって、情報を表現している。

光による情報通信でも、光のある状態と、光のない状態という、2種類が必要である。

しかし、つねに、ケーブル中の光がオン状態では(仮に古代から未来永劫、光がオンだったとしよう)、デジアル信号でいう「1111111111111111111111・・・」の状態である。

波動の方程式中にある f(ωt) の角速度ωは、たんに、その光の波長や周波数を決めるだけであり、つまり光の色を決めているだけである。

光ファイバー中の、信号をつたえるための光の色が、青色だろうが赤色だろうが、それは、光を伝えるための速度cとは、別物である。


つまり、波は、ひとつの波が、ながれ続けているだけでは、何も情報を伝えられない。なお、波をオンしたりオフにしたりするのは、もはや、たった1つの波ではない、と解釈すべきである。

たったひとつの波とは、過去から未来永劫に、同じ周期や角速度で波打ちつづける波のことであり、波動方程式も、そうなっている。

しかし、過去から未来永劫に、波打ちつづけるだけでは、けっして、信号のようなオンとオフの切り替えがないので、情報を伝えられないのである。


なぜなら、たったひとつの波が、過去から未来永劫に信号路を流れ続けるだけでは、デジタル信号に置き換えるならば、つねに「0000000000000000000000・・・」あるいは、つねに「1111111111111111111・・・」、あるいは、つねに「1010101010101010・・・」(山と谷との起伏をそれぞれ「1」「0」に対応させた場合)に対応する状態だからであり、単独の波をどう機械的に処理しようが、情報が1種類しかないので、結局、なにも情報を伝えられない。

情報を伝えるためには、必要に応じて「110100010000001・・・」のように、自由に1と0の信号を組み合わ得られるようにする必要がある。

てっきり「1010101010101010・・・」では、まるで「1」と「0」の2種類の符号があるように錯覚しがちだが、じつは「10」というたった一つの符号しかない状態であり、それでは情報通信は不可能なのである。

波動の理論では、1つの波では情報を伝えられないというのが定説である。このため、波動の方程式の中にある sin(ωt) の、角速度ωの部分は、それに振幅Aを掛けて形式的に速度の次元の量にしようが、けっして情報を伝える速度ではない

なお、光の真空中の速度のように、ある波動において、実際に情報を伝えられる速度のことを群速度(ぐんそくど)という。


光のオン・オフの切り替えのように、信号をあらわすための波のオンとオフの切り替えを行うと、もはや、ひとつの波だけでは数式では表せずに、複数個の波の足し合わせになってしまう。例えるなら、高校物理で習った「うなり」が、2個の音波の組み合わせであったように。(うなりの音の高い状態をオンと解釈し、音の低い状態をオフと解釈すればいい。)

なので、情報を伝えられる速度を「群速度」という。たいていの波動の場合、その波の、物理的な距離を移動する速度が、群速度である。

なお、また、ある波動が、複数個の正弦波を、足し合わせたり引き算したりしないと、数式で表現でないと場合、そのような波動を「分散のある」波動という。

つまり、分散のある波動の、情報を伝えられる速度のことを、群速度という。


物理学の歴史的には、群速度と位相速度の区別は重要であったが、現代でも波動を計算する際には区別が必要だが、しかし現代の情報通信のための情報科学では、さらにCPUなどの「クロック周波数」などの概念も必要になり、従来の物理学だけでは対応できなくなっている事も多い。