機械工学/材料力学

この解説書は翻訳であり、元記事はフランス版ウィキブックスの記事『La théorie des poutres/Hypothèses sur le matériau』である。

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現時点では、翻訳がメインですが、和訳に意訳が含まれるところもあり、元記事と内容が異なる場合もありますので、ご容赦ください。また将来的には、日本版の独自の記述を追加したりなど、日本版の独自化があるかもしれません。

執筆の方針についての議論などは、詳しくは「議論」ページを利用したいと思います。

本文

建設（機械工学、土木工学）で使用可能なすべての材料の中で、我々は、最も単純な性質を持つものとして、ここで勉強する：これらは、継続的な均質で等方性であることが必要です。

連続の仮定

連続的な空気がある肉眼や手の下で、すべての材料は：木製のテーブル、コンピュータプラスチック、金属製のハンドルは、空であることが表示されません。実際には、我々はその物質が炭素原子で構成されている知って、各原子が結晶粒材料の一種であり、材料が壊れ、空の完全な事実である。

私たちは、巨視的なスケールで立って、私達は、0.01ミリメートルの詳細（10より小さく表示されません-5 M）。私たちのために、問題が進行中である。無孔（スポンジ、多孔質材料）、クラックなし、なしの独立繊維（組織）：我々は目の不連続を検出できるので、これは材料を除外します。

数学的な観点からは、使用される空間の機能はゲームごとの微分可能であってもオブジェクトでも進行中であり、ことを示唆しているつもり。

均質性の仮定

私たちは部屋の2巨視的枚が同じ機械的特性を持っている、または巨視的部分のどの部分に部屋自体と同じ機械的特性を検討してください。材料の挙動を特徴づける数量したがって、部屋の中の任意の時点で同一の値を有する。次いで、材料を均質であると言われている。

と言うことです。この金額異種の材料を除外するため、肉眼で区別することができますいくつかのコンポーネントから成りたつ。：コンクリート Béton（セメントciment + 砂sable + 砂利gravier）、複合材料（繊維fibres+マトリックスmatrice,マトリックスmatrice + 粒子particules ）、発泡体（マトリックスmatrice + 空気air) ）。

等方性の仮定

私たちは、機械的性質が方向に関係なく同じであることを考慮してください。我々は単に材料のキューブにニンジンを取ると、私たちが引っ張っている場合たとえば、彼の行動（荷重下での変形、破壊挙動）は、我々はトレパニング方向に依存しない。このような材料は等方性（とうほうせい）と呼ばれています。

金属部品は、しばしば（圧延、押出成形、スタンピング）粉砕することによって得られる。それらは、熱処理を受けない場合には（再結晶化アニール）抵抗を考慮すると方向は同じではなく、（非等方性）弱異方性である。特に、積層シートは、折りたたんでシェーピングを示して横方向（TD）に圧延方向に大きな抵抗（LD）がある（裂ける場合がに対して垂直に折り曲げられる弱い方向）。それらは、熱処理を受けない場合には（再結晶化アニール）抵抗を考慮方向と同じではなく、（非等方性）弱異方性である。特に、積層シートは、折りたたんでシェーピングを示して横方向（TD）に圧延方向に大きな抵抗（LD）がある（裂ける場合がに対して垂直に折り曲げられる弱い方向）。

繊維材料 - コンクリート、木材、布、繊維複合 - またはラメラ - サンドイッチ - 彼らは非常に異方性があります。

どのような材料。その後？

あなたは厳密な仮定を強制したい場合は、勉強するための唯一の少数の材料があります...我々は、 "少し近視眼的"であるとの仮定のいくつかの違いを受け入れ、特に低異方性を受け入れます。使用される材料は、主に金属及び合金並びにプラスチックである。

もちろん、何もコンクリートまたは複合材料の計算を使用することを妨げるものはない。結果が間違っているでしょうが、それにもかかわらず、実際の結果の大きさの順序を持つことになります。

私たちは、関心の規模を考慮する必要があります。機械工学の場合、0.01ミリメートルのオーダーの規模では、これは典型的な精密製造であるとして。土木工学において、精密製造はcmのオーダーであるので、コンクリートが1mmの規模で均質で研究することができると考えることができる。地球物理学では、6400キロの半径が地球を通じて地震波の伝播に興味がある、約10mの規模で、岩が均質とみなすことができる（duexキューブロック10メートルのエッジ）は、同じ動作を持っているので、継続性の仮定は、このフィールドで有効です。

材料モデルは、

私たちのために、材料は主に研究室のいずれかの時点で同じ値を持つ4つの変数によって定義されます :

ヤング率(module de Young)は、Eが示され、一般的なギガパスカル（GPa）で表される。;
拡張への抵抗を練習、R表記のPEとメガパスカル（MPa）とで表現;
せん断弾性係数（module de cisaillement）、またはクーロンモジュールはGの記号で示され、ギガパスカル（GPA）で一般的に示される。 ;
滑り抵抗を、R表記PG とメガパスカル（MPa）で表す。

これらの値は、機械的試験により得られる。我々は2つの簡単なテスト、引張試験（ひっぱりしけん）とせん断試験を検討します。

引張試験

梁の牽引

引張試験（ひっぱりしけん,essai de traction）とは、引張を試料にする試験です。機械のフレームワークを保持しているので、試料は、この引張に抵抗します。：この引張試験を行うには、引張試験機(machine de traction)に試料を取り付ける必要がある。

試験結果として試料は変形し、彼は部屋を破るために取る必要のある力は、空間のサイズに依存します。したがって、我々は長さ1メートル〜1ミリメートル部の架空の筒状部に還元される2力によって引き伸ばされる ${\overrightarrow {\mathrm {F} }}$ 一の端部における力 - $-{\overrightarrow {\mathrm {F} }}$ 他端に。引張強度R_m は、部屋を破るために使用されるように、ニュートン（N）の力であるので、平方ミリメートル当たりのニュートンで、どちらメガパスカル（1MPa = 1N/mm²）。この作品は、製造、取り扱いが非常に困難であるので、（ "plate"）円筒形または長方形のピースを使用してSのセクション努力は試料がマシンに接続されて終了すると、でより重要であり、両端はブレークが中央部に行われることを確認するために展開されます。"キャリブレーションパート"と呼ばれるこの中央エリアには、初期の長さl₀。

引張試験機を示す図
引張試験機の写真
円筒形の引張試験片
引張試験片

垂直応力σ（ギリシャ文字シグマ）は、次のように断面の面積Sで割った引張力Fのように定義されます。

\sigma ={\frac {\mathrm {F} }{\mathrm {S} }}

と,ともに

F : ニュートンの引張力 (N) ;
S : 断面積。平方ミリメートル(mm²) ;
σ : メガパスカル（MPa）での垂直応力。

応力、圧力の単位としてパスカルを使用しています。に均質であることがわかった一般教育では、国際単位と10表記の権限が使用され、その後、面積は平方メートル(m²)、パスカルの応力（Pa）で、そして

1m² = 10⁶mm²

と

1MPa = 10⁶Pa

引張強さR_mは、試料を破壊するのに必要な応力σです。

引張による長さの増加Δlを初期長さl₀で割る。これは、相対ひずみε（ギリシャ文字のイプシロン）を与える:

\varepsilon ={\frac {\Delta l}{l_{0}}}

と、ともに

Δl : 伸びのミリメートル(mm) ;
l₀ : 初期長さのミリメートル(mm) ;
ε : 相対ひずみ。

しばしば、ひずみはパーセンテージでε％と与えられます。 :

ε% = 100×ε.

引張試験は、それぞれの瞬間に力F（N）と伸びΔl (mm)を保存し、それが壊れるまで連続試験を受けることがある。これらのデータは、それぞれ、σ（MPa）を、ひずみε（無次元）、曲線σ = ƒ(ε)をプロットする垂直応力に変換されます。

この曲線は"引張曲線"（ひっぱりきょくせん）と呼ばれ、金属のために、一般的に曲線の3種類があります。 : 延性のある降伏曲線、弾性/塑性遷移相を有する曲線、および脆弱での曲線：

延性金属

延性または可鍛性材料、ハンマーやストレッチによって形状に置くことができる素材です。負荷に応じて、我々は：

低負荷用弾性として知ら可逆変形、：の部分は、負荷が取り除かれ、その形状を取り戻す;
不可逆的な変形は、より高い負荷のため、プラスチックと呼ばれる：ピースは、負荷が除去された残留変形を保持します。

曲線は、このように4つのエリアがあります：

弾性（だんせい）変形 déformation élastique：我々は、曲線が線形であることに注意してください。
塑性（そせい）変形 déformation plastique ：曲線は成長しているが、湾曲している。
Striction : カーブが減少して、試料が劣化を受け、弱める。
破断 rupture : カーブの終わり。

カーブの開始までの、原点を通る直線部分は弾性である。 ; それは、このようにフックの法則（loi de Hooke ）と呼ばれる線形法則に従います。:

σ = Eε

とともに

σ (MPa) : 垂直応力 contrainte normale;
ε （無次元）: ひずみ déformation ;
E (MPa) : module de Young ヤング率.

Eの値が高い場合、それは一般的には GPa で変換する。ヤング率Eとは剛性（ごうせい）である材料を表す特性である :

E が高い場合 : 硬質材料（それは変形εを与える大きな制約がかかる）;
E が低い場合 : 軟らかい素材（大ひずみεに低応力）。

弾性とプラスチックのフェーズでは、変形が均一である：変形はどこでも同じである。高い負荷のために、変形がくびれ、ネッキング現象を形成エリアに集中している。遊びはストレスが減少する理由である、弱いです。そして、凹部が破損につながる首の領域に形成されている。

破損のステージ
円筒形の試料の破断面
試料の平坦な破断面

本当の引張曲線は、けっして上記の1のようには、理想的ではありません。私たちは、行動の2つの一般的なタイプを区別します。

Décrochement net

フェライト鋼を含むいくつかの合金は、応力 - 歪み曲線は、弾性部と塑性部分との間に鋭い遷移を示す図である。これは時々、振動（ポルトバン-ルシャトリエ効果 ,effet Portevin-Le Chatellier)を伴っている。私たちは、定義することができます。

弾性限界 R_eH (MPa) : 弾性域での最高の応力σである ;
低降伏強度 R_eL (L pour low ; en MPa): 塑性域での最低の応力σ ;
引張り強さ R_m (MPa) ,la résistance à la traction:曲線のピークでの応力である。

Transition lente

いくつかの合金について、たとえばオーステナイト系ステンレス鋼（訳注：軟鋼）aciers inoxydables austénitiquesでは、徐々に引張りカーブが曲がる。だから弾性部分とプラスチック部分の間には、明確な境界はありません。したがって、我々は、弾性限界R_p0,2 % (MPa)を定義し、0.2％の塑性変形を与える応力（MPa）を0.2％弾性限界に用いる。Eヤング率および引張強度R_m でも、同様に定義されている。

脆性材料

いくつかの材料は、弾性範囲で破れる。私たちは、脆性（ぜいせい）材料 Matériau fragile を考えよう。これは、マルテンサイト鋼(aciers martensitiques)の場合や、あるいはガラス、セラミックス、または非延性の鉄の場合です。テストがない障害が発生する前にネッキングを示していない、破断面は、滑らかな側面から構成されています。 Certains matériaux cassent dans le domaine élastique. On parle de matériaux fragiles. C'est le cas des aciers martensitiques, du verre, des céramiques, des fontes non ductiles. L'éprouvette ne présente pas de striction avant rupture ; le faciès de rupture est composé de facettes lisses.

両方のパラメータは、曲線の一部に定義することができる。引張強度R_m (MPa)、その曲線のピークであり、ヤング率E（GPaで）、すなわち、曲線の直線部分の勾配である。

プラスチック（粘弾性、粘塑性）を含む他の多くの動作があります。

しばしば、圧縮強度と引張強度とは異なることに注意してください。これは、トラクションおよび圧縮のために、おそらくR_mの値、およびR_eを有することができる。圧縮試験は、試料を粉砕するだけです。

Bilan

Pour un matériau ductile, on a les gammes de contrainte suivantes :

σ < R_e : 弾性範囲、完成した作品の通常の使用の分野; ;
R_e < σ < R_m : プラスチックフィールド、フィールド（ローリング、曲げ、鍛造、折りたたみ、ローリング）整形 ;
σ > R_m : 破断。機械加工の分野（材料除去）、ダメージ :

脆性材料の場合は、ストレスの次の行があります：

σ < R_m : 弾性範囲、完成した作品の通常の使用の分野： ;
σ > R_m : 破断機械加工の分野（材料除去）、ダメージ.

単純せん断試験

単純せん断(cisaillement simple)は、二つの相反する力 ${\vec {\mathrm {F} }}$ に適用され、 $-{\vec {\mathrm {F} }}$ 中立軸（断面にすなわち平行）に垂直に、アプリケーションは、非常に近いステッチ（または屈曲の区域内にある）である。局部的にビームがZの形をとる。

移動記録 vとし、ひずみを推定、努力の間にビームの傾きのラジアン単位の角度として定義され、γと表記。注意してください。我々はΔx呼び出す場合、その後力の作用点の間の距離は、その後

γ = v/Δxon a en fait tan γ = v/Δx,

引張は小さなひずみで行われる。 τは次式によって定義される。

τ = F/S

今回は、力は断面積Sに平行である.

曲線が得られτ = ƒ(γ), 小さな変形で直線部分を有する. それはフックの法則に似て法律を起動する必要があり

τ = Gγ

と、ともに

τ (MPa) : せん断応力 contrainte de cisaillement ;
γ (rad) : せん断変形 déformation en cisaillement;
G : クーロン率 module de Coulomb、またはせん断弾性係数 module de cisaillement.

モジュールGは、素材の特性であり、一般的にギガパスカル（GPa）で表される。

Par ailleurs, on définit pour les matériaux ductiles la limite élastique au glissement R_eg, et la résistance au cisaillement R_mg :

τ < R_eg : 弾性範囲 domaine élastique、完成した作品の通常の使用の分野 ;
R_eg < τ < R_mg : プラスチックフィールド（使用しない） ;
τ > R_mg : 崩壊は、切削（ギロチンばさみ）、ダメージのフィールドです。 :

脆性材料の場合は、ストレスの次の行があります：

τ < R_mg : 弾性範囲、完成した作品の通常の使用の分野;
τ > R_mg : 崩壊が損傷、切断のフィールドです.

汎用鋼（純粋な低炭素鋼）であったため

R_eg ≃ 0,5 R_e

とドライブまたは鋳鋼

R_eg ≃ 0,8 R_e.

特定のデータの不存在下で、金属に撮影することができ

\mathrm {R_{eg}} ={\frac {\mathrm {R_{e}} }{2}}

.

材料は、圧縮及び引張りに対する良好な抵抗性を有する. そこで、引張降伏強さを定義することができ R_e と弾性限界での圧縮時の R_ec. Le rapport R_e/R_eg dépend du rapport R_e/R_ec :

k_{0}={\frac {\mathrm {R_{e}} }{\mathrm {R_{ec}} }}

\mathrm {R_{g}} ={\frac {k_{0}}{1+k_{0}}}\cdot \mathrm {R_{e}}

.

我々は持っている：

軟鋼 acier doux (R_e ≤ 270MPa), alliage d'aluminium : R_eg = 0,5×R_e ;
半硬化鋼 (320 ≤ _e ≤ 500MPa) : R_eg = 0,7×R_e ;
硬鋼 acier dur (600MPa}} ≤ R_e) : R_eg = 0,8×R_e.

安全係数

強度計算は、既知の負荷を想定している。しかし、実際の負荷は、不注意・衝撃・誤用により、想定を超えることがあります。 … 可能性のある過負荷への対応として、安全係数（あんぜんけいすう,coefficient de sécurité）を考慮する必要がある。安全係数の表記はsである。

この安全係数は時々、規格（きかく、norme）で定められる - つまり、国や業界によっては、規格で用いる安全係数の値が定義されている場合もある。

垂直応力の場合

壊れやすい材料のために、我々は拡張するための実用的な抵抗性を次式で定義する :

\mathrm {R_{pe}} ={\frac {\mathrm {R_{m}} }{s}}

.

延性材料のためには、限られた弾性を超えないように努めています：私たちは塑性ルームサービスを変形する場合確かに、それは、もはや元の形状を持っていない、もはや機能しないかもしれない。我々は拡張するための実用的な抵抗性を次に定義する:

\mathrm {R_{pe}} ={\frac {\mathrm {R_{e}} }{s}}

.

せん断応力の場合

同様に、私たちは、脆性材料に対して定義

\mathrm {R_{pg}} ={\frac {\mathrm {R_{mg}} }{s}}

.

と延性材料

\mathrm {R_{pg}} ={\frac {\mathrm {R_{eg}} }{s}}

.