測度論的確率論/準備/集合/写像

写像

定義13.$\quad$ 二つの集合 $M,N$ が与えられているとする．任意の $a\in M$ に対して， ある $f(a)\in N$ が対応するとき $f$ を $M$ から $N$ への写像といい， $f:M\to N$ と表す．

定義14.$\quad$ $A\subset M$ に対し，

$f(a)\equiv \{f(a)\in N:a\in A\}$

を $A$ の（$f$ による）像といい，特に $f(M)=N$ のときに $f$ を全射という．

定義15.$\quad$ 全射であるとは

任意の $b\in N$ に対して $a\in M$ で $b=f(a)$ となるものが存在する．

定義14は定義15といってもよい．また $f$ が１対１，すなわち

定義16.$\quad$

$a,a'\in M$ で $f(a)=f(a')$ であれば $a=a'$

の成り立つときに $f$ は単射という．

さらに

定義17.$\quad$ $f$ が全射でありかつ単射のときに全単射という．

定義18.$\quad$ $A\subset N$ に対して

$f^{-1}(A)\equiv \{a\in M:f(a)\in A\}$

のとき，$f^{-1}(A)$ は $A$ の（$f$ による）逆像という．

定義19.$\quad$ 特に $f$ が $M$ から $N$ への全単射であれば $b\in N$ に対して $b=f(a)$ となる $a\in M$ が一意的に定まるから $f^{-1}(b)=a$ によって逆写像 $f^{-1}$ を定義する． このとき $f^{-1}$ も全単射であり，集合 $A\subset N$ による逆像は，$A$ の逆写像 $f^{-1}(A)$ に一致する．

演習2.$\quad$ $M=[-1,1],\quad N=\mathbf {R} ,\quad f(a)=a^{2}$ とするとき $f\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right),\quad f^{-1}\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right)$ を求めよ．

(解答例)

$f\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right)=\left[0,{\frac {1}{4}}\right],\quad f^{-1}\left(\left[0,{\frac {1}{2}}\right]\right)=\left[-{\frac {1}{\sqrt {2}}},{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]$．

定理5.$\quad$ $f:M\to N$ について次の命題が成り立つ．

$A\subset M$ であれば $A\subset f^{-1}(f(A))$

証明$\quad$

$y\in f(A)$ とすると $f$ が単射でない場合 $f(x_{1})=y$ である $x_{1}\in A$ が存在することは必要であるが，同時に $f(x_{2})=y,\quad x_{2}\not \in A$ となる $x_{2}\in M$ が存在する可能性がある．よって $A\subset f^{-1}(f(A))\subset M$．

（証明終）

定理6.$\quad$ $f:M\to N$ について次の命題が成り立つ．

$A,B\subset M$ であれば $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$ かつ $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$．

証明$\quad$

定義より任意の $y\in f(A\cup B)$ に対して，ある $x\in A\cup B$ で $y=f(x)$ となるものが存在する． このとき $x\in A$ または $x\in B$ であるから $y=f(x)\in f(A)$ または $y\in f(B)$． すなわち，$y\in f(A\cup B)$ ならば $y\in f(A)$ または $y\in f(B)$．よって $f(A\cup B)\subset f(A)\cup f(B)$．…①
逆は，明らかに $f(A)\subset f(A\cup B),f(B)\subset f(A\cup B)$ だから $f(A)\cup f(B)\subset f(A\cup B)$．…②
①②より $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$

さらに $A\cap B\subset A,A\cap B\subset B$ であるから $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$． （証明終）

定理7.$\quad$ $f:M\to N$ について次の命題が成り立つ．

$A,B\subset N$ であれば $f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$．

証明$\quad$

定義より任意の $x\in f^{-1}(A\cup B)$ について $f(x)\in A\cup B$ すなわち $f(x)\in A$ または $f(x)\in B$ となる． したがって $x\in f^{-1}(A)$ または $x\in f^{-1}(B)$ であり，ゆえに $f^{-1}(A\cup B)\subset f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$． 逆はあきらかに $f^{-1}(A)\subset f^{-1}(A\cup B),f^{-1}(B)\subset f^{-1}(A\cup B)$ であるから $f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)\subset f^{-1}(A\cup B)$． （証明終）

定理8.$\quad$ $f:M\to N$ について次の命題が成り立つ．

$A,B\subset N$ であれば $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$．

証明$\quad$

$x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ のとき $x\in f^{-1}(A)$ かつ $x\in f^{-1}(B)$． ゆえに $f(x)\in A$ かつ $f(x)\in B$． ゆえに $f(x)\in A\cap B$． ゆえに $x\in f^{-1}(A\cap B)$． すなわち $x\in f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$ ならば $x\in f^{-1}(A\cap B)$ だから $f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)\subset f^{-1}(A\cap B)$．

逆については，$A\cap B\subset A$ かつ $A\cap B\subset B$，よって $f^{-1}(A\cap B)\subset f^{-1}(A),f^{-1}(A\cap B)\subset f^{-1}(B)$ より $f^{-1}(A\cap B)\subset f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$． （証明終）

定理9.$\quad$ $f:M\to N$ について次の命題が成り立つ．

$A\subset N$ であれば $f^{-1}(A^{C})=(f^{-1}(A))^{C}$．

証明$\quad$

（証明終）