測度論的確率論/準備/集合/写像

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写像[編集]

定義13. 二つの集合 が与えられているとする.任意の に対して, ある が対応するとき から への写像といい, と表す.


定義14. に対し,

の( による)といい,特に のときに 全射という.


定義15. 全射であるとは

任意の に対して となるものが存在する.


定義14定義15といってもよい.また が1対1,すなわち


定義16.

であれば

の成り立つときに 単射という.


さらに


定義17. が全射でありかつ単射のときに全単射という.


定義18. に対して

のとき, の( による)逆像という[1]


定義19. 特に から への全単射であれば に対して となる が一意的に定まるから によって逆写像 を定義する. このとき も全単射であり,集合 による逆像は, の逆写像 に一致する.


演習2. とするとき を求めよ.

(解答例)

定理5. について次の命題が成り立つ.

であれば

証明

とすると が単射でない場合 である が存在することは必要であるが,同時に となる が存在する可能性がある.よって

(証明終)


定理6. について次の命題が成り立つ.

であれば かつ

証明

定義より任意の に対して,ある となるものが存在する. このとき または であるから または . すなわち, ならば または .よって .…①
逆は,明らかに だから [2].…②
①②より

さらに であるから [3][4]. (証明終)


定理7. について次の命題が成り立つ.

であれば

証明

定義より任意の について すなわち または となる. したがって または であり,ゆえに . 逆はあきらかに であるから [5]. (証明終)


定理8. について次の命題が成り立つ.

であれば

証明

のとき[6] かつ . ゆえに かつ . ゆえに . ゆえに . すなわち ならば だから

逆については, かつ ,よって より [7]. (証明終)


定理9. について次の命題が成り立つ.

であれば

証明

(証明終)


  1. ^ 逆像 は写像ではない.さらにこの定義を「 は, かつ を満たす」と解釈する.
  2. ^ かつ ならば
  3. ^ かつ ,従って かつ . これに 「 かつ ならば 」を適用すれば, が誘導される.
  4. ^ 一方「」とはいえない.例えば が単射でなく、 かつ同じ の場合、 より .それと同時に より でもある.すなわち、 . つまり が単射でないので、 であっても である限り . 一つの に対して は必ず一つの値に定まるが、逆に一つの を決めるとその に対して を満たす が複数存在する可能性があるという、そもそもの写像の定義に、この式が等号ではないことの理由の本質があり、これは定理5も同様である.実際 演習2 にて のとき、
  5. ^
  6. ^ さて,いきなり冒頭からこう書き下してしまってよいのだろうか?そもそも定理6 の後半部分は等号ではなかったというのに、 である保証はあるのだろうか?これは「逆像 は実は写像ではない」という点に注意して以下のように説明できる.
    定義18 の註の定義を仮定すると, および は以下の4式をすべて満たす,すなわち
    …①, …②, …③, …④.
    特に②④より, …②’, …④’. 今, であるとき ,したがって ②’が真となるためには が成立する必要がある.また同様に より ④’が真となるためには が成立する必要がある. 以上より ならば .→すごくおかしい…検討が必要、ここでストップ
  7. ^