測度論的確率論/準備/集合/集合

集合

集合とは，「数学的に明確に定義された対象の集まり」をいう． 「数学的に明確に定義された」ということは，一つの対象を持ってきたときに，その集合に属しているか，それとも属していないかが明確に示されることをいう． 例えば「実数空間上に定義された滑らかな関数全体」は集合でない． なぜなら，どのような関数を「滑らか」というかがはっきりしていないからである． しかし「実数空間上に定義された各点で微分可能な関数全体」は集合である． 集合を構成する対象を要素または元という．

以下 $M,N,A,B,\Omega$ 等の記号は集合を表すものとする．

定義1.$\quad$ $a$ が集合 $M$ に属する元であることを $a\in M$と記す．

定義2.$\quad$ $a$ が集合 $M$ に属する元でないことを $a\notin M$と記す．

定義3.$\quad$ 集合 $M$ が集合 $N$ に含まれるとは

$M$ に属する任意の元が $N$ に属すること

をいい，$M\subset N$ または $N\supset M$ と記す．

定義4.$\quad$ 集合 $M$ と集合 $N$ が一致するとは

$M\subset N$ かつ $N\subset M$ なること

をいい，$M=N$ と記す．

定義5.$\quad$ 集合 $M$ と集合 $N$ の和集合 $M\cup N$ とは

$M$ または $N$ に属する元全体の集合

をいう．

定義6.$\quad$ 集合 $M$ と集合 $N$ の共通集合 $M\cap N$ とは

$M$ と $N$ の両方に属する元全体の集合

をいう．

定義7.$\quad$ 同様に集合列 $A_{1},A_{2},A_{3},\cdots$ に対して，どれかの $A_{n}$ に属する元全体の集合を $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ と表す．

定義8.$\quad$ 集合列 $A_{1},A_{2},A_{3},\cdots$ に対して，すべての $A_{n}$ に属する元全体の集合を $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}$ と表す．

定義9.$\quad$ また「元を持たない集合」を空集合 といい $\emptyset$ で表す． 任意の集合 $M$ について $\emptyset \subset M,\quad M\cup \emptyset =M,\quad M\cap \emptyset =\emptyset$ である．

定理1.$\quad$ $A,B,C$ を集合とするとき

(1) $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$

(2) $(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$

証明$\quad$

(1) $x$ を $(A\cup B)\cap C$ に属する任意の元とする． $x\in A\cup B$ かつ $x\in C$． すなわち $(x\in A$ または $x\in B)$　かつ $x\in C$． これは $x\in A\cap C$ または $x\in B\cap C$ となり， $x\in (A\cap C)\cup (B\cap C)$ すなわち $(A\cup B)\cap C\subset (A\cap C)\cup (B\cap C)$．…①

逆に $A\subset A\cup B$，$B\subset A\cup B$ より $A\cap C\subset (A\cup B)\cap C$，$B\cap C\subset (A\cup B)\cap C$． （$X\subset Z$ かつ $Y\subset Z$ ならば $X\cup Y\subset Z$だから） $(A\cap C)\cup (B\cap C)\subset (A\cup B)\cap C$．…②

①②より $(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$．

(2)(1)に対して定理3を先取りして適用する． $((A\cup B)\cap C)^{C}=((A\cap C)\cup (B\cap C))^{C}$． $\therefore (A\cup B)^{C}\cup C^{C}=(A\cap C)^{C}\cap (B\cap C)^{C}$． $\therefore (A^{C}\cap B^{C})\cup C^{C}=(A^{C}\cup C^{C})\cap (B^{C}\cup C^{C})$．（証明終）

定理2.$\quad$ $A,A_{n},n\in N$ を集合とするとき

(1)$\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cap A\right)$

(2)$\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cup A=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cup A\right)$

証明$\quad$

(1)の証明．$x\in \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A$ とすると，$x\in \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ かつ $x\in A$， したがって，ある（少なくとも一つの）$n_{0}\in \mathbf {N}$ について $x\in A_{n_{0}}$ かつ $x\in A$． すなわち $x\in A_{n_{0}}\cap A\subset \cup _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cap A)$ であり， これにより $\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cap A)$．…①

逆に任意の $m\in N$ について $A_{m}\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}$ であるから $A_{m}\cap A\subset \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A$ となり （$A\subset Z,B\subset Z,C\subset Z$ ならば $A\cup B\cup C\subset Z$ と同じ理由で，） $\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cap A\right)\subset \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A$．…②

①②より(1)は証明された．

(2)の証明．(1) に定理3を先取りではあるが適用する。

(1)より $\left(\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)\cap A\right)^{C}=\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cap A\right)\right)^{C}$． $\therefore \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}\cup A^{C}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cap A\right)^{C}$． $\therefore \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}\right)\cup A^{C}=\bigcap _{n=1}^{\infty }(A_{n}^{C}\cup A^{C})$． （証明終）

定義9.$\quad$ ある集合 $\Omega$ の部分集合全体をなす集合を $\wp (\Omega )$ と記す．したがって $A\in \wp (\Omega )$ は $A\subset \Omega$ を意味している． 特に $\emptyset \in \wp (\Omega ),\quad \Omega \in \wp (\Omega )$ である．

定義10.$\quad$ また 1 点 $\omega \in \Omega$ だけからなる $\Omega$ の部分集合を $\{\omega \}$，あるいは簡単のため $\omega$ とも書く．

定義11.$\quad$ $A\in \wp (\Omega )$ に対して

$A^{C}\equiv \{a\in \Omega |a\not \in A\}$

を $A$ の補集合という．明らかに $(A^{C})^{C}=A$ である．

定義12.$\quad$ $A,B\in \wp (\Omega )$ に対して

$A\setminus B\equiv A\cap B^{C}=\{a\in A:a\not \in B\}$

を集合 $A$ と集合 $B$ の差，また

$A\bigtriangleup B\equiv (A\cup B)\setminus (A\cap B)$

を集合 $A$ と集合 $B$ の対称差という．

演習1.$\quad$ $\Omega \equiv (0,1]\times (0,1](\subset \mathbf {R} ^{2}),A\equiv (0,1]\times (0,{\frac {1}{2}}],B\equiv (0,{\frac {1}{2}}]\times (0,1]$ とするとき，$A\cup B,A\cap B,A\setminus B,A\bigtriangleup B$ を図示せよ．

(解答) 略

定理3.$\quad$ $A,B\in \wp (\Omega )$ とするとき，次の命題が成り立つ．

(1) $(A\cup B)^{C}=A^{C}\cap B^{C}$

(2) $(A\cap B)^{C}=A^{C}\cup B^{C}$

証明$\quad$

(1)を証明する．$x\in (A\cup B)^{C}$ とすると $x\not \in A\cup B$ すなわち $x\not \in A$ かつ $x\not \in B$ である． ゆえに $x\in A^{C}\cap B^{C}$ したがって $(A\cup B)^{C}\subset A^{C}\cap B^{C}$ が示された．

逆に $x\in A^{C}\cap B^{C}$ であれば $X\not \in A$ かつ $X\not \in B$ したがって $x\in (A\cup B)^{C}$ となり $A^{C}\cap B^{C}\subset (A\cup B)^{C}$ が示された．

(2)を証明する． (1)に $(A^{C})^{C}=A$ を適用する． (1) より $((A\cup B)^{C})^{C}=(A^{C}\cap B^{C})^{C}$ すなわち $A\cup B=(A^{C}\cap B^{C})^{C}$． $A=(A^{C})^{C},B=(B^{C})^{C}$ だから $(A^{C})^{C}\cup (B^{C})^{C}=(A^{C}\cap B^{C})^{C}$． $A^{C}$ をあらためて $A$，$B^{C}$ を $B$ と書き直せば $A^{C}\cup B^{C}=(A\cap B)^{C}$．（証明終）

定理3 はつぎのように一般化される．

定理4.$\quad$ $A_{n}\in \wp (\Omega ),n=1,2,3,\cdots ,$ とするとき，次の命題が成り立つ．

(1)$\left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}$

(2)$\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)^{C}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}^{C}$

証明$\quad$

(1)$\left(\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}\right)^{C}=\left(\bigcup _{n=1}^{m-1}A_{n}\cup A_{m}\right)^{C}=\left(\bigcup _{n=1}^{m-1}A_{n}\right)^{C}\cap A_{m}^{C}=\left(\bigcup _{n=1}^{m-2}A_{n}\right)^{C}\cap A_{m-1}^{C}\cap A_{m}^{C}=A_{1}^{C}\cap A_{2}^{C}\cap A_{3}^{C}\cap \cdots A_{m}^{C}=\bigcap _{n=1}^{m}A_{n}^{C}$

(2)$\left(\bigcap _{n=1}^{m}A_{n}\right)^{C}=\left(\bigcap _{n=1}^{m-1}A_{n}\cap A_{m}\right)^{C}=\left(\bigcap _{n=1}^{m-1}A_{n}\right)^{C}\cup A_{m}^{C}=\left(\bigcap _{n=1}^{m-2}A_{n}\right)^{C}\cup A_{m-1}^{C}\cup A_{m}^{C}=A_{1}^{C}\cup A_{2}^{C}\cup A_{3}^{C}\cup \cdots A_{m}^{C}=\bigcup _{n=1}^{m}A_{n}^{C}$

(証明終）