熱力学/可逆過程

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カルノーサイクル[編集]

カルノーサイクル.

等温変化や断熱変化の考察で求まった公式を用いて、熱機関の理論的な効率を調べよう。 まず、熱源として、高温熱源T1と低温熱源T2を用意する。熱サイクルとして、

高温熱源による等温膨張 → 断熱膨張 → 低温熱源による等温収縮 → 断熱圧縮

というサイクルを考える。 このようなサイクルをカルノーサイクル(Carnot cycle)という。

なぜ、このようなサイクルなのかというと、まず高温熱源から熱を貰う間は、気体温度は高温熱源の温度と均衡してるとして、等温膨張としよう。 高温熱源から熱をもらい終わったあと、低温圧縮される前に、等温変化以外で仕事をして、内部気体の温度を低温熱源の温度まで下げるとしよう。(収縮時も気体の温度が熱源と同じほうが理論的に扱いやすい。) 等温変化の膨張のあとの変化は、あまり余計なエネルギー源を増やしたくないので、理論的に扱いやすいのは、断熱変化とするのが、扱いやすい。(定積変化や定圧変化にすると、機関が外部からエネルギーを貰うことになるので、変数が増えて、面倒になる。)

ともかく、カルノーサイクルで行われる仕事を求めよう。

まず図の点1から点2の間の仕事W12は等温膨張での仕事なので、高温熱源の温度をT2とすれば、公式より、

である。

図の点2から点3の間の仕事W12は断熱膨張での仕事であり、ポアソンの公式 より(K1は定数とする)、

である。

図の点3から点4の間の仕事W34は等温圧縮での負の仕事なので、低温熱源の温度をT1とすれば、公式より、

であり、この負の仕事の大きさと等量の熱を放出することになる。

図の点4から点1の間の仕事W41は断熱圧縮での仕事であり、ポアソンの公式 より(K2は定数とする)、

である。

機関が1サイクルの間にした仕事は、これ等を足し合わせれば良いから、

である。

このうち、

なので、仕事として残る変数は、

であり、

だから、

である。これが、この機関が1サイクルで行う正味の仕事である。

ところで、と、の関係を求めよう。 状態方程式pV=nRTより、

  (1)
  (2)

である。さらにポアソンの公式より、

  (3)
  (4)

である。 これらを連立して解けば良い。計算の一例を示す。 まず、式(1)と式(2)の左辺どうしと右辺どうしを掛ける。すると、

  (5)

である。

今度は式(3)と式(4)の左辺どうしと右辺どうしを掛ける。すると、

  (6)

である。

式(6)に式(5)を代入すると、式(6)の左辺は、

  (7)

式(6)の右辺は、

  (8)

となる。

式(7)=式(8)なので、

   (9)

である。これを整理して、

      (10)

となる。これより、

    (11)

である。さらに、求めたいのは、と、の関係であったから、式(10)を移行すれば、

     (12)

が求まる。 なぜ、式(12)を求めたかというと、そもそもの目的は、正味の仕事

    (13)

を求めるためであったので、では、正味の仕事を求めよう。

式(12)より、式(13)を変形できて、

    (14)

と掛ける。これが、カルノーサイクルの、1サイクルでの正味の仕事である。

カルノーサイクルの効率[編集]

カルノーサイクルが高温熱源から受け取る熱量Q1は、行程1→2であり、この行程は等温変化なので、受け取った熱量はすべて仕事になっている。行程1→2での等温変化の仕事は、

であったので。これが高温熱源から受け取った熱量Q1に等しい。つまり

である。

熱効率eの式は、高温熱源から受け取った熱量をQとして、正味の仕事をWとすれば、

であった。 これに、既に求めた、熱量Q1とW12を代入すれば、

である。これを約分して整理すれば、

である。これがカルノーサイクルの理論上の最高効率である。このカルノーサイクルの最高効率は、絶対温度だけで決まる。 実際の熱機関の効率は、不可逆課程を含み、これよりも低くなるので、現実の熱効率まで式に含めたければ、不等号を用いて表せば良い。 式を書くと

となる。