線型代数学/ベクトル

複素数の概念は既知のものとした。ただし、複素数のことを知らない読者は、複素数に関する記述を読み飛ばしたとしても差し支えない。

ベクトル

n次元ベクトル(vector)とは(n ∈ N)、n個の複素数の組

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\dots \\a_{n}\\\end{pmatrix}}$

の事である。n次元ベクトルを総じてベクトルという。 $a_{1},a_{2},,,a_{n}$は、ベクトルaの要素または成分(element)と呼ばれていて、成分がすべて実数のベクトルを特に実ベクトルと言う。対して、成分がすべて複素数のベクトルを特に複素ベクトルと言う。また、成分が全て0のベクトルを零ベクトルといい、oと書く。

二次元、三次元実ベクトルは、二次元空間$(R^{2})$、三次元空間$(R^{3})$内の、大きさと方向を持った量を表すものと見ることもできる。これは空間の図の中に矢印を書いて表すこともあり、このベクトルを特に空間ベクトルと言う。原点を起点とする空間ベクトルの行き先の点は、このベクトルによって一意に表すことができる。これをこの点の位置ベクトルという。

ノルム

ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは||a||で表され、

$||\mathbf {a} ||={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}}}$

と定義される。これをaのノルムと言う。

例

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}3\\5\\6\\2\\4\\\end{pmatrix}}$

$||\mathbf {a} ||={\sqrt {3^{2}+5^{2}+6^{2}+2^{2}+4^{2}}}=3{\sqrt {1}}0$

演習

次のベクトルのノルムを求めよ

1. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\1\\\end{pmatrix}}$
2. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}2\\4\\0\\8\\6\\9\\3\\\end{pmatrix}}$
3. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\\end{pmatrix}}$
4. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}3\\4\\\end{pmatrix}}$
5. $\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\{\sqrt {a}}\\3a\\{\sqrt {3}}a\\\end{pmatrix}}$

ベクトルの演算

一般に2つのベクトルの間には、和、差、内積が定義される。 それぞれは、成分の個数が同じ時だけ次のように定義される。

以下では、

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\dots \\a_{n}\\\end{pmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\dots \\b_{n}\\\end{pmatrix}}$

とする。

相等関係

a=b ⇔a_i=b_i(∀i∈{1,2,...,n})

和・差

$\mathbf {a} +\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\\dots \\a_{n}+b_{n}\\\end{pmatrix}}$

をaとbの和という。

ベクトルの和

$\mathbf {a} -\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\\\dots \\a_{n}-b_{n}\\\end{pmatrix}}$

をaとbの差という。平面、空間ベクトルの場合は図のようになる。 和差に関して、次の性質が成り立つ。

• a+b=b+a

• (a+b)+c=a+(b+c)

• a+o=a

証明は、簡単なので読者に任せたい。

定数倍

ベクトルの定数倍

$k\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}ka_{1}\\ka_{2}\\\dots \\ka_{n}\\\end{pmatrix}}$ を、ベクトルaのk倍と言う。
次の諸性質の証明は、読者の演習問題としよう。

• c(a+b)=ca+cb

• (c+d)a=ca+da

• (cd)a=c(da)

演習

空間ベクトルに関して、次のことを示せ。

1.二点PQの位置ベクトルを、a,bとすると、PQの中点の位置ベクトルは

${\mathbf {a} +\mathbf {b} } \over 2$

2.三角形の頂点の位置ベクトルをそれぞれa,b,cとすると、その三角形の重心の位置ベクトルは、

${\mathbf {a} +\mathbf {b} +\mathbf {c} } \over 3$

内積

ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

をaとbの内積という。

特に2,3次元空間ベクトルaとbとの内積は、aとbのなす角をθとすると、

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta$

と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。

内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。

• aとbが直交する⇔(a,b)=0
• c(a,b)=(ca,b)=(a,cb)
• (a,b+c)=(a,b)+(a,c)
• (a+b,c)=(a,c)+(b,c)
• (a,b)=(b,a)
• ||a||+||b||≧||a+b||（三角不等式）
• |(a,b)|≦||a||||b||(シュワルツの不等式）

演習

空間ベクトル

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\\end{pmatrix}}$

とのなす角が$\pi \over 6$であり、かつ

$\mathbf {y} ={\begin{pmatrix}1\\1\\4\\\end{pmatrix}}$

とのなす角が$\pi \over 4$であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。

注）そのようなベクトルはただひとつではない。

助変数表示

平面上の直線

以後、特に空間ベクトルについて議論する。

一般の直線を、平面ベクトルの式で表すとこうなる。

• x=at+x₀　　　　　　　　　　　(4.1)

構文解析失敗 (SVG（ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます）: サーバー「http://localhost:6011/ja.wikibooks.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \mathbf{x}= \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix}}

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}$

$\mathbf {x} _{0}={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\\end{pmatrix}}$

とすると、

${\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\\end{pmatrix}}$ これをよく見てみると、うえで定義したベクトルの演算から、 $x=at+x_{0}y=bt+y_{0}$ という構造が見えてくる。これは、単に直線の媒介変数表示である。式①を助変数表示または、ベクトル表示と言う。勿論助変数表示の仕方は、一つではない。しかし、一般にaはノルム1のものを選ぶと便利な事が多い。三次元においても同様である。

例題

• 3x+2y=5

を助変数表示にせよ。

x=tとすると、

$y={{5-3t} \over 2}={5 \over 2}-{3 \over 2}t$

よって、

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1\\-{3 \over 2}\\\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}0\\{5 \over 2}\\\end{pmatrix}}$

演習

ベクトル表示は座標表示に、座標表示はベクトル表示にせよ

1.6x-3y=9.5

2.x=a

3.${\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\\\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\1\\\end{pmatrix}}$

4.${\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\-2\\\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}1\\0\\\end{pmatrix}}$

空間内の直線

グラフを描いてみれば分かるとおり、空間内の曲線は一本の式では表すことができない。 一本の式で表せるのは、曲面だけであるである。曲線は、二曲面の交線として、表される。 直線は特に、二平面の交線である。平面の式は、平面内の直線と同じく、一次方程式で表される。 つまり、空間内の一般の直線は、次のように表される。

$\left\{{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}\end{matrix}}\right.$

方法論的にはxにtを代入し、y,zの値を求める。

$\left\{{\begin{matrix}y=A_{1}t+x_{1}\\z=A_{2}t+x_{2}\end{matrix}}\right.$ (但し,A₁,A₂,x₁,x₂は定数)

と書けることは自明である。この式は、下の形にできる

$\mathbf {x} =\mathbf {a} t+\mathbf {x} _{1}$

と書ける。これこそが、空間内の直線の助変数表字である。驚くべきことに式が増えたのにも関わらず平面内と同じく、 助変数表字では、式は一本である。

例題

$\left\{{\begin{matrix}x+2y+3z=4\\5x+6y+7z=8\end{matrix}}\right.$

を助変数表字にせよ。

x=tとすると、

2y+3z=-t+4

6y+7z=-5t+8

これを解いて、

$\left\{{\begin{matrix}y=-2t-1\\z=t+2\end{matrix}}\right.$

よって、

$\mathbf {x} (={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}0\\-1\\2\\\end{pmatrix}}$

演習

1.

$\left\{{\begin{matrix}x+2y+3z=1\\3x+2y+z=-1\end{matrix}}\right.$

を助変数表示にせよ

空間内の平面

前述のとおり、空間内の平面はax+by+cz=dであらわせる。

方法論的には今度は変数がtだけでは足りないので、もう一つsを代入する。x=t,y=sである。すると、

$z=-{a \over c}t-{b \over c}s+{d \over c}$

とやって、下の形へ持っていくことになる。

そして、一般に

$\mathbf {x} =\mathbf {a} t+\mathbf {b} s+\mathbf {c}$を

平面の助変数表示と言う。

例題

• 2a+b+3c=5を助変数表字にせよ。

a=t,b=sとすると、

3c=5-2t-s⇔$c={5 \over 3}-{2 \over 3}t-{1 \over 3}s$

よって、

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}1\\0\\-{2 \over 3}\\\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}0\\1\\-{1 \over 3}\\\end{pmatrix}}s+{\begin{pmatrix}0\\0\\{5 \over 3}\\\end{pmatrix}}$

演習

1.2x-y+3z=1を助変数表字にせよ

2.

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\-3\\\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}5\\4\\2.3\\\end{pmatrix}}s+{\begin{pmatrix}-2\\-1\\-3\\\end{pmatrix}}$

を、直交座標表示で表せ。

まとめ

右の図は、読者の理解を助けるであろう。

1.平面上の直線のベクトル表示

$\mathbf {x} =\mathbf {a} t+\mathbf {x} _{0}$

2.空間内の直線のベクトル表示

$\mathbf {x} =\mathbf {a} t+\mathbf {x} _{0}$

3.空間内の平面のベクトル表示

$\mathbf {x} =\mathbf {a} t+\mathbf {b} s+\mathbf {c}$

演習

1.

二点P,Qの位置ベクトルをp,qとすると、線分PQ上の点の位置ベクトルは

t₁p+t₂q,　t₁+t₂=1,　t₁,t₂≧0

の形で表される。これを証明せよ

2.

三点の位置ベクトルをx₁,x₂,x₃とすると、

この三点が構成する三角形内の任意の点は、

t₁x₁+t₂x₂+t₃x₃, t₁+t₂+t₃=1,　t₁,t₂,t₃≧0

と表される。これを証明せよ

法線ベクトル

さて、平面上の平行二直線ax+by=c,ax+by=0は、

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\b\\\end{pmatrix}}$　$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}$とすれば、

$(\mathbf {a} ,\mathbf {x} )=c$　　　　　　　　　　　(5.1)

$(\mathbf {a} ,\mathbf {x} )=0$　　　　　　　　　　　(5.1)'

なので、aと直線(5.1)'は直交し、ゆえに直線(5.1)と直交する。このときaを直線(5.1)の法線ベクトルと言う。

　Oでない点A,Xがある。いま、半直線OAに向かって線分OXから垂線を引く。交点をX'とする。A,X,X'の位置ベクトルをそれぞれ、a,x,x'とするとき、x'をxのaへの正射影と言う。

例5.1

点Pから直線lへ垂線を下ろし、足をP'とする。

l:x=at+x₁　　　　　　　(5.3)

x₀:Pの位置ベクトル,x'₀:P'の位置ベクトル

と定義して、||x₀-x'₀||を求めよう。

(5.3)について、x=x'₀を代入し、変形すると、

$\mathbf {x'} _{0}=\mathbf {a} {(\mathbf {a} ,\mathbf {x} _{0}-\mathbf {x} _{1}) \over (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}+\mathbf {x} _{1}$　　　　　　　(5.4)

ここは躓きやすいところなので解説を加える。aとx₀-x'₀の交角をθとする。

${(\mathbf {a} ,\mathbf {x} _{0}-\mathbf {x} _{1}) \over (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}={{||\mathbf {a} ||||\mathbf {x} _{0}-\mathbf {x} _{1}||\cos \theta } \over {||\mathbf {a} ||^{2}}}$

$={{||\mathbf {x} _{0}-\mathbf {x} _{1}||\cos \theta } \over {||\mathbf {a} ||}}$　　　　　　　　(5.5)

(5.5)右辺の分母は、aの長さ、分子は、x₀-x₁のaへの正射影(x'₀-x₁)の長さである。すると、(5.4)右辺第一項はx'₀-x₁となる。x₀はx'₀-x₁と,x₁との和であることは自明の理である。

ゆえに求める最短距離||x₀-x'₀||は、

$||\mathbf {x} _{0}-\mathbf {x} '_{0}||={{\sqrt {||\mathbf {a} ||^{2}||\mathbf {x} _{0}-\mathbf {x} _{1}||^{2}-(\mathbf {a} ,\mathbf {x} _{0}-\mathbf {x} _{1})^{2}}} \over {||\mathbf {a} ||}}$

と計算される。空間内の直線についても、同じ事である。

演習

1.例5.1で||x₀-x'₀||を実際に計算せよ。

2.例5.1でl:(b,x)=cとして||x₀-x'₀||を求めよ。

3.

空間内の平面の場合についても同様に考えられる。

F:ax+by+cz=d

を平行移動し、原点を通る平面

F₀:ax+by+cz=0

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}}$　$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}$とすれば、

F:(a,x)=d

F₀:(a,x)=0

であるから、aはF₀故にFと垂直である。この時aをF_{0の法線ベクトルと言う。}

さて、F上に無い点Pから、Fに垂線を下ろす。垂線の足をP'とする。

x₀:Pの位置ベクトル,x'₀:P'の位置ベクトル

とするとき、||x₀-x'₀||を求めよ。

4.

平面Fの法線ベクトルaと平面F'の法線ベクトルa'の交角を平面Fと平面F'の交角と言う

F:x+2y+2z=3

F':3x+3y=1

の交角を求めよ。