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「線型代数学/ベクトル」の版間の差分
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→三次の行列式: 演習つけたし
(外積つけたし) |
(→三次の行列式: 演習つけたし) |
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<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{
a_{2,1} & a_{
a_{3,1} & a_{
\end{pmatrix}</math>,
<math>\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
a_{1
a_{1,2}\\
a_{1,3}\\
<math>|A|=
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & a_{
a_{2,1} & a_{
a_{3,1} & a_{
\end{vmatrix}=\det A=\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})
=(\mathbf{a} \times \mathbf{b},\mathbf{c})</math> をAの行列式という。
あとは後述する、連立二次方程式の解の公式による。(演習1)
'''a'''t<sub>0</sub>+'''x'''<sub>1</sub>,'''b'''s<sub>0</sub>+'''x'''<sub>2</sub>を位置ベクトルとする点をP<sub>0</sub>,Q<sub>0</sub>とおけば、P<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>が、唯一の共通法線である。
2.
:多面体Pの二頂点を結ぶ線分上の全ての点がやはりPに含まれる時、Pは凸多面体と呼ばれる。
:Pのk個の頂点P<sub>i</sub>(i=1,2,...,k;k(∈'''N''')>3)の位置ベクトルを'''v'''<sub>i</sub>とすると、P内の任意の点の位置ベクトル'''v'''が、下の式で表せることを証明せよ。
:<math>mathbf{v}=\sum_{j=1}^k t_i\mathbf{x}_i</math>, t<sub>i</sub>≧0, <math>mathbf{v}=\sum_{j=1}^k t_i=1</math>
:このような'''v'''のことを、'''x'''<sub>i</sub>の凸結合と言う
3.
:P<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>,y<sub>1</sub>),P<sub>2</sub>(x<sub>2</sub>,y<sub>2</sub>)を通る直線の式は、
:<math>\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
x & x_1 & x_2\\
y & y_1 & y_2\\
\end{vmatrix}=0</math>と表せる。
これを示せ。
4.
:空間において、('''a''','''x''')=0への折り返しの変換に対応する行列を求めよ
5.
:<math>\begin{vmatrix}
(\mathbf{a},\mathbf{a}) & (\mathbf{a},\mathbf{b}) & (\mathbf{a},\mathbf{c})\\
(\mathbf{b},\mathbf{a}) & (\mathbf{b},\mathbf{b}) & (\mathbf{b},\mathbf{c})\\
(\mathbf{c},\mathbf{a}) & (\mathbf{c},\mathbf{b}) & (\mathbf{c},\mathbf{c})\\
\end{vmatrix}=\det (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})</math>
:を示せ。
6.
:||'''x'''||=||'''y'''||=||'''z'''||=1の時、det('''a''','''b''','''c''')の最大最少を求めよ。
7.
:(1)
::('''a'''×'''b''')×'''c'''=-('''b''','''c''')'''a'''+('''a''','''c''')'''b'''
:(2)
::('''a'''×'''b''')×'''c'''+('''b'''×'''c''')×'''a'''+('''c'''×'''a''')×'''b='''o'''
::を、R<sup>3</sup>について証明せよ。
このページで述べるベクトルの代数学的説明はここまでである。このまま、代数学の学習を続けたい読者は次に、[[行列]]を読まれる事を勧める。今までの内容と、密接に関係している。もし、ベクトルの解析的扱いについて学習したい場合は、このページの次の章に進まれるとよい。参考文献:東京大学出版会 『基礎数学1 線型代数入門』齊藤正彦著
==ベクトル関数==
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