特殊相対論速度の合成則

速度の合成則

ある速度 $v_{1}$ を持つ物体1から見たときにある速度 $v_{2}$ を持つ物体2を、静止している観測者から見たときの速度を計算する。 (Newton力学では $v_{1}+v_{2}$ となることに注意。)

ローレンツ群の性質から $v_{1}$ を使った変換と $v_{1}$ を使った変換を合わせて使うことで、静止した観測者から見た場合の物体2の速度が求まることを用いると、

$\gamma _{1}{\begin{pmatrix}1&\beta _{1}\\\beta _{1}&1\end{pmatrix}}\times \gamma _{2}{\begin{pmatrix}1&\beta _{2}\\\beta _{2}&1\end{pmatrix}}=\gamma _{3}{\begin{pmatrix}1&\beta _{3}\\\beta _{3}&1\end{pmatrix}}$ となることが分かる。左辺の1行1列成分を計算すると、 $=\gamma _{1}\gamma _{2}(1+\beta _{1}\beta _{2})$ となることがわかる。右辺の1行1列成分と見くらべると、 $\gamma _{1}\gamma _{2}(1+\beta _{1}\beta _{2})=\gamma _{3}$ が得られる。両辺を2乗すると、 ${\frac {1}{1-v_{3}^{2}/c^{2}}}={\frac {1}{1-v_{1}^{2}/c^{2}}}{\frac {1}{1-v_{2}^{2}/c^{2}}}(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}$ 両辺の逆数を取ると、 $1-v_{3}^{2}/c^{2}=(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2}){\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}$ よって、 ${\begin{matrix}(v_{3}/c)^{2}=1-{\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2})\\={\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}((1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}-(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2}))\\={\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(2v_{1}v_{2}/c^{2}-(-v_{1}^{2}/c^{2}-v_{2}^{2}/c^{2}))\\={\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(v_{1}/c+v_{2}/c)^{2}\end{matrix}}$

これらから $v_{3}/c={\frac {(v_{1}/c+v_{2}/c)}{1+v_{1}v_{2}/c^{2}}}$ が得られる。ここで $v_{2}=c$ とおくと、 $v_{3}/c={\frac {(v_{1}/c+1)}{1+v_{1}/c}}$ つまり、 $v_{3}=c$ が得られる。これは、ある速さ $v_{1}$ を持った観測者1が、観測者1から見て光速に近い速さで動く物体2を見たとしても、静止した観測者から見た物体2の速さは光速cより速くなることは無いということを示している。