特殊相対論運動方程式

運動方程式

SO(3,1)のうちで、最初の3はSO(3)の3と同一である。そのため、ある3次元のベクトルを取ったときそれと適当な量を組み合わせて4次元のベクトルを作ることが出来る。 $ds^{2}$ がスカラーであることから $x^{\mu }={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}$ のように、tと、x,y,zを組み合わせられるように思える。さらに、固有時間 $ds^{2}=dt^{2}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}$ を導入すると、この量はスカラーになる。

このとき、運動方程式は、ある力 $f^{\mu }$ を想定すると、 (note: 多くの場合電磁気力を想定している。) ${\frac {d{p^{\mu }}}{d{s}}}=f^{\mu }$ と書かれる。これは、運動方程式がローレンツ変換に対してよい性質をもっていなくてはいけないという要請から来ている。ニュートンの方程式 ${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {f}}$ も、両辺が3次元のベクトルであることから SO(3)の変換について良い性質をもっており、上の式はそれの拡張と考えることが出来る。