線型代数学/内積

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内積[編集]

実ベクトルに対し、内積と定義する。 (記号が変わっただけで、高校で習った内積と同じである。)
内積については、以下の性質が成り立つ。

ただし、を実ベクトル、を実数とする。

証明



  1. は実数なので、よって
    等号成立は、つまりのとき

ノルム[編集]

ノルムという。

ノルムについては以下の性質が成り立つ。

  1. (シュワルツの不等式)
  2. (三角不等式)
    ただしを実ベクトル、を実数とする。

証明

  1. なので
    等号成立はつまり、のとき
  2. について考える。内積の性質を使うと、
    であるので、である。
    を変数、を定数とし、2次方程式を考える。この二次方程式は常に0以上で下に凸であるので、2次方程式の判別式は0以下である。
    なので、判別式整理すれば、
    よって
  3. である。
    であることと、3.よりなので、

    よって