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線型代数学 > 線型方程式
線型方程式(連立1次方程式)とは、
を用いて
![{\displaystyle {\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eafe57270b9e68dbfea6e80c897a0be3e9887e3)
で表わされる方程式である。
上の連立方程式は、
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\\\end{pmatrix}},x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d29ac70f75fc6933f9230c0814aafd7510f2e9bb)
とおけば
と行列を用いて書ける。
仮に、Aが正方行列で逆行列を持つなら、
この式の一般解は、
となる。
しかし、これは非常に特殊な場合であり、一般には解が存在しないこともあれば、いくつかの解の重ね合わせ(正しくは線形結合)として表わされることもある。
この章では、逆行列の再定義から始め、行列の基本変形、階数等を導入し、最終的には上の線型方程式の一般解を導く。