線型代数学/線型方程式

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線型方程式

線型方程式（連立1次方程式）とは、$a_{i,j},b_{i}\in \mathbf {K} (1\leq i\leq m,1\leq j\leq n)$ を用いて

${\begin{cases}a_{1,1}x_{1}+\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\\vdots \\a_{m,1}x_{1}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{cases}}$

で表わされる方程式である。

上の連立方程式は、

$A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&\cdots &a_{m,n}\\\end{pmatrix}},x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}},b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}$

とおけば $\ Ax=b$ と行列を用いて書ける。

仮に、Aが正方行列で逆行列を持つなら、 この式の一般解は、 $\ x=A^{-1}b$ となる。

しかし、これは非常に特殊な場合であり、一般には解が存在しないこともあれば、いくつかの解の重ね合わせ（正しくは線形結合）として表わされることもある。

この章では、逆行列の再定義から始め、行列の基本変形、階数等を導入し、最終的には上の線型方程式の一般解を導く。