表現論
ここでは、表現論について解説する。
表現論とは
[編集]ある数学的対象（たとえば群）があり、この構造が複雑そうでよくわかっていないとする。このようなとき、同じ種類の対象でよりわかりやすいものへの写像（群であれば準同型）をつくれば、その写像と行き先の性質を用いて、もともと調べようとしていた対象の構造を調べられるかもしれない。表現論とはなにか、という問いに荒っぽく答えようとするならば、このような方法で数学的対象を調べることであるといえる。ここで、途中で媒介として作った写像のことを表現と呼ぶ。
もちろん、具体的にどのような数学的対象について調べるかによって、表現論の手法は異なってくる。そこでここでは、各々の対象ごとにサブページを作り、そこで個別に解説していくことにする。下の節に分野のリストを挙げ、リンクをはるので、詳しいことはそれぞれのサブページを見ていただきたい。
なお、それぞれに要求する予備知識についても、それぞれのサブページであげていくことにするが、全体を通して線型代数学の知識は必須である。これは、正則な行列の全体という集合は自然に群、特にリー群となるし、全行列の集合に適当な演算を入れることでリー環となる上、これらの構造は線型代数学を学ぶことでかなりよくわかることから、行列の集合への表現（線型表現）を使って調べることが有効であることによる。線型代数学の初等的な知識のない読者は、まずは「線型代数学」を読むことをすすめる。