出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
任意(∀)の正の数εに対し、ある(∃)数δが存在し
![{\displaystyle 0<\left|x-c\right|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3405e1f7bf9909c9862b5b1b90c873ad1bdae3)
ならば
![{\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1033caa23176c4da8a3702c3a167ba9eff68646)
となるとき、Lは、xをcに近付けた時の f(x)の極限といいます。
言い換えれば、正の数εが与えらると、適当なδを選ぶ事によって
![{\displaystyle 0<\left|x-c\right|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f3405e1f7bf9909c9862b5b1b90c873ad1bdae3)
ならば
![{\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1033caa23176c4da8a3702c3a167ba9eff68646)
となることが証明できます。
さらに言えば、このような証明が全ての(∀)ε > 0に対して可能です。
この形式的な定義は、極限を求めるには少し不便です。極限Lを見つけるための方法論は与えず、ある数値が極限であるかどうかを判定するのにだけ使えます。直感的な極限の定義や、似たような問題からの類推、或いは、ロピタルの定理などの定理を用いて極限を予想し、形式的な定義を用いて、その値が極限であるか否かを示すことができます。
∀:全称記号。任意、全て
∃:存在記号。存在、ある
xを c=9に近付けた時の、f(x) = x + 5 の極限を探す事を考えます。極限L は 9+5=14 であることが分かっていて、これは次のように証明できます。
δ = ε と選べば (この選び方がこのページの主題です。)
![{\displaystyle \left|x-9\right|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d028f63e08ce3999b678fca8634ec316312e8be5)
ならば
![{\displaystyle {\begin{matrix}\left|(x+5)-14\right|&=&\left|x-9\right|\\\ &<&\delta \\\ &=&\epsilon \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7408f65f2e85e329d08721db9cf3f68a7d784fce)
ということが証明できるわけです。
実は、証明の式を逆に辿る事によって、δを選びました。
![{\displaystyle \left|f(x)-L\right|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1033caa23176c4da8a3702c3a167ba9eff68646)
この場合、
![{\displaystyle \left|x-9\right|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eacbcbdb5a66758355b0594a3d74753c68d908d6)
から
![{\displaystyle \left|x-9\right|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d028f63e08ce3999b678fca8634ec316312e8be5)
となります。
したがってδ = εと選べば、証明自体もこのように簡単にできます。この例はとても簡単な例なので、一般にはそう上手くはは行きません。
xを 2に近付けたとき、f(x) = x² - 9 の極限がL = −5であることを証明します。
![{\displaystyle \left|x-2\right|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3968649ff83e3b50190aaccd800f4b254b59cc)
ならば
![{\displaystyle \left|f(x)-L\right|=\left|x^{2}-4\right|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead97e36e6f7fe7bdd974a5a4356b7a3b72aa83a)
を示すことが必要です。
ここでも、逆に辿ってδを探します。まず最初に、xを使わずに δと εの関係を表すことを考えます。
![{\displaystyle \left|x^{2}-4\right|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47812eee007152b1d076f0410a0a88d5b9d539b4)
![{\displaystyle \left|x-2\right|\cdot \left|x+2\right|<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e3d88773f6242c27c840c99b841e0bb9f368a0b)
また三角不等式を用いて
![{\displaystyle \left|x+2\right|=\left|x-2+4\right|<\left|x-2\right|+4=\delta +4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f8ff7fc02f1db4d4daaad42a71d02d767d340e)
となることを考えれば
![{\displaystyle \left|x-2\right|\cdot \left|x+2\right|<\delta \cdot (\delta +4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2041ac009d8f428a4fbc39ad91f5ac9a3031bfc4)
となるので
![{\displaystyle (\delta )\cdot (\delta +4)=\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1529130d7c10d719430dc6b54b2b7eb3387f0b66)
を満たすように δを選べばいいと分かります。この最後の方程式は、論理的に出てきたわけではなく、それぞれの不等式を見比べて単にこのように選べば、証明が上手くいくというだろうという直感的なテクニックです。この方程式の解としてδを選んでおき、証明の最後の段階で、この逆に辿って得られた方程式を使用します。
- この例では、xをδに、不等号 < を、等号 = に置き換えました。蛇足ですが |x-2| = δではなく|x-2| < δなので、こういう δの選び方が可能になります。上の方程式を元に、証明を辿ると、このようなδの選び方でいいということがよくわかるでしょう。
δの二次方程式だと思って、δが正の数であることに注意して解くと
![{\displaystyle \delta ={\frac {-4+{\sqrt {16-4\cdot 1\cdot \epsilon }}}{2\cdot 1}}=-2+{\sqrt {4-\epsilon }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f447a5916fcc54f808a23e6f873db0b7e7d9a86)
となります。
この値を用いて、極限であることの証明を行います。
![{\displaystyle \left|x-2\right|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c3968649ff83e3b50190aaccd800f4b254b59cc)
ならば
![{\displaystyle {\begin{matrix}\left|f(x)-L\right|&=&\left|x^{2}-4\right|\\\ &=&\left|x-2\right|\cdot \left|x+2\right|\\\ &\leq &(\delta )\cdot (\delta +4)\\\ &<&({\sqrt {4-\epsilon }}-2)\cdot ({\sqrt {4-\epsilon }}+2)\\\ &=&({\sqrt {4-\epsilon }})^{2}-(2)^{2}\\\ &=&\epsilon \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feb9ab937876c5fa9b80ea0235cc050e6ee6e693)
xを 0に近付けたとき f(x) =
の極限が L = 1 になることを示してください。
xを0に近付けたとき、f(x) = 1/x が 極限を持たないことを示してください。