解析学基礎/δの選び方

δの選び方

形式的な極限の定義

任意(∀)の正の数εに対し、ある(∃)数δが存在し

$0<\left|x-c\right|<\delta$

ならば

$\left|f(x)-L\right|<\epsilon$

となるとき、Lは、xをcに近付けた時の f(x)の極限といいます。

言い換えれば、正の数εが与えらると、適当なδを選ぶ事によって

$0<\left|x-c\right|<\delta$

ならば

$\left|f(x)-L\right|<\epsilon$

となることが証明できます。

さらに言えば、このような証明が全ての(∀)ε > 0に対して可能です。

この形式的な定義は、極限を求めるには少し不便です。極限Lを見つけるための方法論は与えず、ある数値が極限であるかどうかを判定するのにだけ使えます。直感的な極限の定義や、似たような問題からの類推、或いは、ロピタルの定理などの定理を用いて極限を予想し、形式的な定義を用いて、その値が極限であるか否かを示すことができます。

∀：全称記号。任意、全て

∃：存在記号。存在、ある

例1

xを c=9に近付けた時の、f(x) = x + 5 の極限を探す事を考えます。極限L は 9+5=14 であることが分かっていて、これは次のように証明できます。

δ = ε と選べば　（この選び方がこのページの主題です。）

$\left|x-9\right|<\delta$

ならば

${\begin{matrix}\left|(x+5)-14\right|&=&\left|x-9\right|\\\ &<&\delta \\\ &=&\epsilon \end{matrix}}$

ということが証明できるわけです。

実は、証明の式を逆に辿る事によって、δを選びました。

$\left|f(x)-L\right|<\epsilon$

この場合、

$\left|x-9\right|<\epsilon$

から

$\left|x-9\right|<\delta$

となります。

したがってδ = εと選べば、証明自体もこのように簡単にできます。この例はとても簡単な例なので、一般にはそう上手くはは行きません。

例2

xを 2に近付けたとき、f(x) = x² - 9 の極限がL = −5であることを証明します。

$\left|x-2\right|<\delta$

ならば

$\left|f(x)-L\right|=\left|x^{2}-4\right|<\epsilon$

を示すことが必要です。

ここでも、逆に辿ってδを探します。まず最初に、xを使わずに δと εの関係を表すことを考えます。

$\left|x^{2}-4\right|<\epsilon$

$\left|x-2\right|\cdot \left|x+2\right|<\epsilon$

また三角不等式を用いて

$\left|x+2\right|=\left|x-2+4\right|<\left|x-2\right|+4=\delta +4$

となることを考えれば

$\left|x-2\right|\cdot \left|x+2\right|<\delta \cdot (\delta +4)$

となるので

$(\delta )\cdot (\delta +4)=\epsilon$

を満たすように δを選べばいいと分かります。この最後の方程式は、論理的に出てきたわけではなく、それぞれの不等式を見比べて単にこのように選べば、証明が上手くいくというだろうという直感的なテクニックです。この方程式の解としてδを選んでおき、証明の最後の段階で、この逆に辿って得られた方程式を使用します。

この例では、xをδに、不等号 < を、等号 = に置き換えました。蛇足ですが |x-2| = δではなく|x-2| < δなので、こういう δの選び方が可能になります。上の方程式を元に、証明を辿ると、このようなδの選び方でいいということがよくわかるでしょう。

δの二次方程式だと思って、δが正の数であることに注意して解くと

$\delta ={\frac {-4+{\sqrt {16-4\cdot 1\cdot \epsilon }}}{2\cdot 1}}=-2+{\sqrt {4-\epsilon }}$

となります。

この値を用いて、極限であることの証明を行います。

$\left|x-2\right|<\delta$

ならば

${\begin{matrix}\left|f(x)-L\right|&=&\left|x^{2}-4\right|\\\ &=&\left|x-2\right|\cdot \left|x+2\right|\\\ &\leq &(\delta )\cdot (\delta +4)\\\ &<&({\sqrt {4-\epsilon }}-2)\cdot ({\sqrt {4-\epsilon }}+2)\\\ &=&({\sqrt {4-\epsilon }})^{2}-(2)^{2}\\\ &=&\epsilon \end{matrix}}$

例3

xを 0に近付けたとき f(x) = ${\frac {\sin(x)}{x}}$ の極限が L = 1 になることを示してください。

例4

xを0に近付けたとき、f(x) = 1/x が 極限を持たないことを示してください。