解析学基礎/ベクトル

n次元ベクトル(vector)とは、n個の複素数の組

$a=(a_{1},a_{2},,,a_{n})$ の事である。n次元ベクトル(∀n ∈ N)を総じてベクトルという。 $a_{1},a_{2},,,a_{n}$は、ベクトルaの要素(element)と呼ばれていて、要素がすべて実数のベクトルを特に実ベクトルと言う。対して、要素がすべて複素数のベクトルを特に複素ベクトルと言う。ベクトルには大きさも定義されていて、それは||a||で表され、

$||a||={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}}}$

と、定義される。これをaのノルムと言う。

例

$a=(3,5,6,2,4)$

$||a||={\sqrt {3^{2}+5^{2}+6^{2}+2^{2}+4^{2}}}=3{\sqrt {1}}0$

演習

次のベクトルのノルムを求めよ

$(1)a=(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)$

$(2)a=(2,4,6,8,0,9,3)$

$(3)a=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$

$(4)a=(3,4)$

$(5)a=(a,{\sqrt {a}},3a,{\sqrt {3}}a)$

二次元、三次元実ベクトルは、二次元空間$(R^{2})$三次元空間$(R^{3})$ 内の、大きさと方向を持った量を表し、通常矢印で表される。このベクトルを特に空間ベクトルと言う。 空間ベクトルの中でも特に、点の座標を表すものを位置ベクトルという。 空間ベクトル、位置ベクトルにおけるノルムは、それぞれ長さ、距離と呼ばれ|a|と表記される。 一般にベクトルには和、差、内積、外積が定義されている。 それぞれは、成分の個数が同じ時だけ次のように定義される。

ベクトルの和

$a=(a_{1},a_{2},,,a_{n})$

$b=(b_{1},b_{2},,,b_{n})$

とすると、

$a+b=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},,,a_{n}+b_{n})$

ベクトルの差

$a=(a_{1},a_{2},,,a_{n})$

$b=(b_{1},b_{2},,,b_{n})$

とすると、

$a-b=(a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},,,a_{n}-b_{n})$

ベクトルの内積

$a=(a_{1},a_{2},,,a_{n})$

$b=(b_{1},b_{2},,,b_{n})$

とすると、

$(a,b)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

位置ベクトルにおいては、その交角をθとすると特に、

$(a,b)=|a||b|\cos \theta$

と表される。

演習

空間ベクトル(1,1,1)とπ/6,(1,1,4)とπ/4を交角とするベクトルを求めよ