解析学基礎/双曲線関数

双曲線関数

双曲線関数とは、次のような形の関数のことです。

${\rm {sinh}}\ x={e^{x}-e^{-x} \over 2},\ \ {\rm {cosh}}\ x={e^{x}+e^{-x} \over 2}$

「sinh」は「ハイパーボリックサイン（hyperbolic sine）」、「cosh」は「ハイパーボリックコサイン（hyperbolic cosine）」の略です。

性質

双曲線関数には、次のような性質があります。いずれの性質も、$e^{x}$の性質に従って計算すれば簡単に証明できます。

1. cosh² x − sinh² x = 1
2. sinh(α+β) = sinh α cosh β + cosh α sinh β
3. cosh(α+β) = cosh α cosh β + sinh α sinh β
4. ${d \over dx}\,{\rm {sinh}}\ x\,={\rm {cosh}}\ x$
5. ${d \over dx}\,{\rm {cosh}}\ x\,={\rm {sinh}}\ x$

どの性質も、三角関数にとてもよく似ています。このようにとてもよく似た性質を持つことが、三角関数と似た記号を使う理由です。

単位円の上の点の座標は、三角関数を使って$(x,y)=(cost,sint)$と表すことができました。1番の性質から、双曲線関数を使うと双曲線の上の点の座標を$(x,y)=(cosht,sinht)$と表すことができることがわかります。

使いかた

置換積分の計算をするときに、三角関数を使うと便利なことがありました。例えば、

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx$

は$x=sint$という置換によって

$\int _{0}^{\pi /2}cos^{2}t\,dt$

という簡単な積分に帰着できました。双曲線関数でも同じようなことができます。例として

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1+x^{2}}}\,dx$

という積分を計算してみましょう。まず、$x=sinht$と置換すると

$\int _{0}^{\log(1+{\sqrt {2}})}cosh^{2}t\,dt$

となります。ここから先の計算でも三角関数と同様な公式が使えますし、あるいは直接指数関数の積分として計算してもかまいません。計算してみましょう。答えは

${\frac {{\sqrt {2}}+\log(1+{\sqrt {2}})}{2}}$

です。