解析学基礎/双曲線関数

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ここでは、双曲線関数について解説する。解析学基礎/三角関数を既習とする。

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基本事項

双曲線関数

以下のように定義される関数を双曲線関数という。

双曲(線)正弦関数：$\sinh x:={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

双曲(線)余弦関数：$\cosh x:={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

双曲(線)正接関数：$\tanh x:={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$

双曲(線)余接関数：$\coth x:={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}$

双曲(線)正割関数：$\mathrm {sech} \,x:={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}$

双曲(線)余割関数：$\mathrm {csch} \,x:={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}$

各関数に付されている「h」は「hyperbolic（双曲線の）」の略である。各関数を発音するときは三角関数の部分に「ハイパボリック」を前接する（例：ハイパボリックサイン）。ただし、$\sinh ,\cosh ,\tanh$はそれぞれ「シャイン（シンチ）」「コッシュ」「タンチ」とも読まれる。

定義より$e^{x}=\sinh x+\cosh x$である。

それぞれの定義から、以下の公式が導かれる。

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}$

$\mathrm {sech} \,x={\frac {1}{\cosh x}}$

$\mathrm {csch} \,x={\frac {1}{\sinh x}}$

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\mathrm {csch} \,x}{\mathrm {sech} \,x}}$

また、定義式より各関数の値域は以下のようになる。

$\sinh x$：$(-\infty ,\infty )$

$\cosh x$：$[1,\infty )$

$\tanh x$：$(-1,1)$

$\mathrm {sech} \,x$：$(0,1]$

$\mathrm {csch} \,x$：$(-\infty ,-1)\cup (1,\infty )$

$\mathrm {coth} \,x$：$(-\infty ,-1)\cup (1,\infty )$

定義式より、各関数の偶奇は以下とわかる。

$\sinh x$：奇関数

$\cosh x$：偶関数

$\tanh x$：奇関数

$\mathrm {sech} \,x$：偶関数

$\mathrm {csch} \,x$：奇関数

$\mathrm {coth} \,x$：奇関数

定義式より、以下が導かれる（双曲線関数に関するピタゴラス恒等式）。

$\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1$

但し、三角関数と同様に$H^{2}(x)=\{H(x)\}^{2}(\neq (H\circ H)(x))$であることに注意。

この関係式から、以下の事実がわかる。

三角関数は単位円$x^{2}+y^{2}=1$の媒介変数表示${\begin{cases}x=\cos \theta \\y=\sin \theta \end{cases}}$として得られたが、同様に双曲線関数は単位双曲線$x^{2}-y^{2}=1$の媒介変数表示${\begin{cases}x=\cosh \theta \\y=\sinh \theta \end{cases}}$として得られる。

「"双曲線"関数」という名の由来はこれである。なお、三角関数に「円関数」という別名が存在するのもこれが理由である。

高校数学では双曲線${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$の媒介変数表示は${\begin{cases}x={\frac {a}{\cos \theta }}(=a\sec \theta )\\y=b\tan \theta \end{cases}}$と習ったであろう。

実は、一般に媒介変数表示は一意ではない。単位円の媒介変数表示も${\begin{cases}x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y={\frac {2t}{1+t^{2}}}\end{cases}}$という別形が存在する。

三角関数を用いた上記の媒介変数表示では媒介変数$\theta$は$(-{\frac {\tau }{4}},{\frac {\tau }{4}})$（及び類似区間）に制限されるが、双曲線関数を用いた媒介変数表示${\begin{cases}x=a\cosh \theta \\y=b\sinh \theta \end{cases}}$では媒介変数$\theta$は任意の実数値をとることが許される。

単位円の媒介変数表示${\begin{cases}x=\cos \theta \\y=\sin \theta \end{cases}}$に於いて、媒介変数$\theta$は点$(x,y)$の$x$軸からみた偏角を表した。それでは、単位双曲線の媒介変数表示${\begin{cases}x=\cosh \theta \\y=\sinh \theta \end{cases}}$に於いて媒介変数$\theta$は何を表すのだろうか？答えは後述する。

また、$1-\tanh ^{2}x=\mathrm {sech} ^{2}x$が成り立つ。

加法定理

三角関数と同様に、以下のような加法定理が成り立つ。

$\sinh(\theta \pm \phi )=\sinh \theta \cosh \phi \pm \cosh \theta \sinh \phi$

$\cosh(\theta \pm \phi )=\cosh \theta \cosh \phi \pm \sinh \theta \sinh \phi$

$\tanh(\theta \pm \phi )={\frac {\tanh \theta \pm \tanh \phi }{1\pm \tanh \theta \tanh \phi }}$

三角関数の場合と異なり、左辺と右辺で複号が一致している。

双曲正割関数・双曲余割関数・双曲余接関数の加法定理は各式の逆数をとれば求まる。

$\phi =\theta ,2\theta ,3\theta ,\cdots$とおけば倍角の公式を得る。

$\sinh 2\theta =2\sinh \theta \cosh \theta$

$\cosh 2\theta =\cosh ^{2}\theta +\sinh ^{2}\theta =2\cosh ^{2}\theta -1=1+2\sinh ^{2}\theta$

$\tanh 2\theta ={\frac {2\tanh \theta }{1+\tanh ^{2}\theta }}$

$\sinh 3\theta =3\sinh \theta +4\sinh ^{3}\theta$

$\cosh 3\theta =4\cosh ^{3}\theta -3\cosh \theta$

$\tanh 3\theta ={\frac {3\tanh \theta +\tanh ^{3}\theta }{1+3\tanh ^{2}\theta }}$

$\quad \vdots$

2倍角の公式を変形して半角の公式を得る。

$\sinh ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cosh \theta -1}{2}}$

$\cosh ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {\cosh \theta +1}{2}}$

$\tanh ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {\sinh \theta }{\cosh \theta +1}}={\frac {\cosh \theta -1}{\sinh \theta }}$

加法定理の式の和や差を考えて積和の公式を得る。

$\sinh \alpha \cosh \beta ={\frac {1}{2}}\{\sinh(\alpha +\beta )+\sinh(\alpha -\beta )\}$

$\cosh \alpha \cosh \beta ={\frac {1}{2}}\{\cosh(\alpha +\beta )+\cosh(\alpha -\beta )\}$

$\sinh \alpha \sinh \beta ={\frac {1}{2}}\{\cosh(\alpha -\beta )-\cosh(\alpha +\beta )\}$

更に変形して和積の公式を得る。

$\sinh A+\sinh B=2\sinh \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cosh \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

$\sinh A-\sinh B=2\cosh \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sinh \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

$\cosh A+\cosh B=2\cosh \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cosh \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

$\cosh A-\cosh B=2\sinh \left({\frac {A+B}{2}}\right)\sinh \left({\frac {A-B}{2}}\right)$

三角関数の正弦合成・余弦合成と同様に、引数の等しい双曲線関数の一次結合は、単一の双曲線関数で表すことができる。

$a\sinh \theta +b\cosh \theta ={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\sinh(\theta +\alpha )={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}\cosh(\theta +\beta )$

但し$|b|>|a|,\tanh \alpha ={\frac {b}{a}},\tanh \beta ={\frac {a}{b}}$である。

双曲線関数の定義式に着目すると、$t=e^{x}$と置換することで双曲線関数の媒介変数表示を得る。

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {t^{2}-1}{2t}}$

$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {t^{2}+1}{2t}}$

$\tanh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}}$

解析的な取り扱い

双曲線関数の微積分

1. ${d \over dx}\,{\rm {sinh}}\ x\,={\rm {cosh}}\ x$
2. ${d \over dx}\,{\rm {cosh}}\ x\,={\rm {sinh}}\ x$

どの性質も、三角関数にとてもよく似ています。このようにとてもよく似た性質を持つことが、三角関数と似た記号を使う理由です。

置換積分の計算をするときに、三角関数を使うと便利なことがありました。例えば、

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx$

は$x=sint$という置換によって

$\int _{0}^{\pi /2}cos^{2}t\,dt$

という簡単な積分に帰着できました。双曲線関数でも同じようなことができます。例として

$\int _{0}^{1}{\sqrt {1+x^{2}}}\,dx$

という積分を計算してみましょう。まず、$x=sinht$と置換すると

$\int _{0}^{\log(1+{\sqrt {2}})}cosh^{2}t\,dt$

となります。ここから先の計算でも三角関数と同様な公式が使えますし、あるいは直接指数関数の積分として計算してもかまいません。計算してみましょう。答えは

${\frac {{\sqrt {2}}+\log(1+{\sqrt {2}})}{2}}$

です。