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解析学基礎/双曲線関数

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

双曲線関数

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双曲線関数とは、次のような形の関数のことです。

「sinh」は「ハイパーボリックサイン(hyperbolic sine)」、「cosh」は「ハイパーボリックコサイン(hyperbolic cosine)」の略です。

性質

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双曲線関数には、次のような性質があります。いずれの性質も、の性質に従って計算すれば簡単に証明できます。

  1. cosh2 x − sinh2 x = 1
  2. sinh(α+β) = sinh α cosh β + cosh α sinh β
  3. cosh(α+β) = cosh α cosh β + sinh α sinh β

どの性質も、三角関数にとてもよく似ています。このようにとてもよく似た性質を持つことが、三角関数と似た記号を使う理由です。

単位円の上の点の座標は、三角関数を使ってと表すことができました。1番の性質から、双曲線関数を使うと双曲線の上の点の座標をと表すことができることがわかります。

使いかた

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置換積分の計算をするときに、三角関数を使うと便利なことがありました。例えば、

という置換によって

という簡単な積分に帰着できました。双曲線関数でも同じようなことができます。例として

という積分を計算してみましょう。まず、と置換すると

となります。ここから先の計算でも三角関数と同様な公式が使えますし、あるいは直接指数関数の積分として計算してもかまいません。計算してみましょう。答えは

です。