出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
双曲線関数とは、次のような形の関数のことです。
![{\displaystyle {\rm {sinh}}\ x={e^{x}-e^{-x} \over 2},\ \ {\rm {cosh}}\ x={e^{x}+e^{-x} \over 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71a4a5f345e40d32e1ef40e64d3a36b8f2d0326f)
「sinh」は「ハイパーボリックサイン(hyperbolic sine)」、「cosh」は「ハイパーボリックコサイン(hyperbolic cosine)」の略です。
双曲線関数には、次のような性質があります。いずれの性質も、
の性質に従って計算すれば簡単に証明できます。
- cosh2 x − sinh2 x = 1
- sinh(α+β) = sinh α cosh β + cosh α sinh β
- cosh(α+β) = cosh α cosh β + sinh α sinh β
![{\displaystyle {d \over dx}\,{\rm {sinh}}\ x\,={\rm {cosh}}\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67225fddd2d133804559f0082c1944ff0ac0c8f)
![{\displaystyle {d \over dx}\,{\rm {cosh}}\ x\,={\rm {sinh}}\ x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9e150eb83bddb125186f21fbc38fe80c2bf91a)
どの性質も、三角関数にとてもよく似ています。このようにとてもよく似た性質を持つことが、三角関数と似た記号を使う理由です。
単位円の上の点の座標は、三角関数を使って
と表すことができました。1番の性質から、双曲線関数を使うと双曲線の上の点の座標を
と表すことができることがわかります。
置換積分の計算をするときに、三角関数を使うと便利なことがありました。例えば、
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b580c851c665145ff949cb60564d40473680ea91)
は
という置換によって
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}cos^{2}t\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b606c224f290f23b6ed5d6f5e6af08aa5ad4c2)
という簡単な積分に帰着できました。双曲線関数でも同じようなことができます。例として
![{\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1+x^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e233f38e1df6e92aae101c6c683a1aa6feadec)
という積分を計算してみましょう。まず、
と置換すると
![{\displaystyle \int _{0}^{\log(1+{\sqrt {2}})}cosh^{2}t\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2f1d9ee69978b7e8732485c0e1aaddeac7e7c8)
となります。ここから先の計算でも三角関数と同様な公式が使えますし、あるいは直接指数関数の積分として計算してもかまいません。計算してみましょう。答えは
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}+\log(1+{\sqrt {2}})}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a57459059a8d57abad3e9580ada3275455707f5)
です。