コンテンツにスキップ

解析学基礎/微分可能関数

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

ロルの定理

[編集]
  • f(x)が閉区間[a,b]上で連続、開区間(a,b)上で微分可能で、f(a)=f(b)ならば、
    f'(c)=0 かつ c∈(a,b) を満たすcが存在する。

証明
f(x)が[a,b]上で定数なら、どのc∈(a,b)についても、f'(c)=0である。
f(x)が[a,b]上で、f(a)より大きい値をとるとき、最大値・最小値の定理より、あるc∈(a,b)に対して、f(c)≧f(x) (∀x∈[a,b])となる。このとき、f(x)の微分可能性から、



よって、f'(c)=0 となる。

f(x)が[a,b]上で定数でなくかつf(a)より大きい値を取らないなら、f(a)より小さい値をとるので、同様に示せる。(証明終)

ラグランジュの平均値の定理

[編集]
  • f(x)が閉区間[a,b]上で連続、開区間(a,b)上で微分可能ならば、
      を満たすcが存在する。

証明
とおく。このとき、であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在し、であるから、定理は成立する。(証明終)

f(x)=x2 (x∈[3,5])について、定理が成立していることを確かめよ。

(f(5)-f(3))/(5-3)=8、f'(x)=2xなので、f'(x)=(f(5)-f(3))/(5-3)なら、x=4である。これは確かに区間(3,5)上に存在している。

コーシーの平均値の定理

[編集]
  • 関数f(x)、g(x)が[a,b]上連続かつ(a,b)上微分可能ならば
       を満たす実数cが存在する。

証明
 とおく。

であるから、ここで

という関数φ(x)を考えれば となる。従ってロルの定理より

を満たす実数cが存在する。

ここで関数φ(x)を微分すれば  となるので  より  が成り立つ。(証明終)

平均値の定理の書き換え

[編集]

平均値の定理中の  は不等式  と同義である。ここで  とおけば   より が得られる。ここで、 である。

これらを平均値の定理に代入すれば

が得られる。この式や、分母を払った式

を用いると便利なことがある。

無論このような書き換えはコーシーの平均値の定理でも適用可能であり

なる等式が導かれる。ただし  すなわち  である。

テイラーの定理

[編集]
  • f(x)が[a,b]上でn回微分可能ならば、任意の正の実数pに対して、
      
    を満たすcが存在する。

証明
を満たすRを考える。 とおく。このとき、F(a)=F(b)=f(b)であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在する。実際にF'(x)を計算すると、



なので、F'(c)=0のとき、 である。(証明終)

テイラーの定理中の のことをシュレミルヒの剰余項といい、特にp=1のときのものをコーシーの剰余項、p=nのときのものをラグランジュの剰余項という。また、テイラーの定理は、近似計算やテイラー級数などに応用される。