解析学基礎/微分可能関数

ロルの定理

• 関数$f(x)$が閉区間$[a,b]$上で連続、開区間$(a,b)$上で微分可能で、$f(a)=f(b)$ならば、$f'(c)=0$ かつ$c\in (a,b)$を満たす$c$が存在する。
  

証明
$f(x)$が$[a,b]$上で定数なら、どの$c\in (a,b)$についても、$f'(c)=0$である。
$f(x)$が$[a,b]$上で、$f(a)$より大きい値をとるとき、最大値・最小値の定理より、ある$c\in (a,b)$が存在して、任意の$x\in [a,b]$に対して、$f(c)\geq f(x)$となる。このとき、$f(x)$の微分可能性から、

$\lim _{h\to +0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\leq 0$

$\lim _{h\to -0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}\geq 0$

であるから、$f'(c)=0$となる。

$f(x)$が$[a,b]$上で定数でなくかつ$f(a)$より大きい値を取らないなら、$f(a)$より小さい値をとるので、同様に示せる。(証明終)

ラグランジュの平均値の定理

• 関数$f(x)$が閉区間$[a,b]$上で連続、開区間$(a,b)$上で微分可能ならば、${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}=f'(c)$　　$\ (c\in (a,b))$を満たす$c$が存在する。

証明
$F(x)=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x$とおく。このとき、$F(a)=F(b)={\frac {bf(a)-af(b)}{b-a}}$であるから、ロルの定理より、$F'(c)=0(c\in (a,b))$を満たす$c$が存在し、$F'(x)=f'(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$であるから、定理は成立する。(証明終)

例 $f(x)=x^{2}(x\in [3,5])$について、定理が成立していることを確かめよ。

${\frac {f(5)-f(3)}{5-3}}=8,f'(x)=2x$なので、$f'(x)={\frac {f(5)-f(3)}{5-3}}$なら、$x=4$である。これは確かに区間$(3,5)$上に存在している。

コーシーの平均値の定理

• 関数$f(x),g(x)$が$[a,b]$上連続かつ$(a,b)$上微分可能で、$g(a)\neq g(b)$であり、また任意の$c\in (a,b)$に対して$g'(c)\neq 0$であるとする。このとき、${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$　　$\ (c\in (a,b))$　を満たす実数$c$が存在する。

証明
$g(b)-g(a)\neq 0$であるから、${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}=k$　とおくことができる。$f(b)-f(a)-k(g(b)-g(a))=0$ であるから、関数$\phi (x)$を$\phi (x)=f(x)-f(a)-k(g(x)-g(a))$ と定めると、$\phi (a)=\phi (b)=0$ となる。したがってロルの定理より、$\phi '(c)=0\ (c\in (a,b))$ を満たす実数cが存在する。

ここで$\phi '(x)=f'(x)-kg'(x)$であることに注意すると、$\phi '(c)=f'(c)-kg'(c)=0$である。$g'(c)\neq 0$であるから、$k={\frac {f'(c)}{g'(c)}}$が成り立つ。(証明終)

平均値の定理の書き換え

平均値の定理中の　$c\in (a,b)$　は不等式　$a<c<b$　と同義である。ここで　$a=x_{0},b=x_{0}+\Delta x,c=x_{0}+\theta \Delta x$　とおけば、$\Delta x>0$であり、$x_{0}<x_{0}+\theta \Delta x<x_{0}+\Delta x$より$0<\theta <1$が得られる。ここで、$\theta ={\frac {c-x_{0}}{\Delta x}}$　である。

これらをラグランジュの平均値の定理に現れる式に代入すれば

${\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=f'(x_{0}+\theta \Delta x)$

が得られる。この式や、分母を払った式

$f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=f'(x_{0}+\theta \Delta x)\Delta x$

を用いると便利なことがある。

無論このような書き換えはコーシーの平均値の定理でも適用可能であり

${\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{g(x_{0}+\Delta x)-g(x_{0})}}={\frac {f'(x_{0}+\theta \Delta x)}{g'(x_{0}+\theta \Delta x)}}$

なる等式が導かれる。ただし　$0<\theta <1$　すなわち　$\theta \in (0,1)$　である。

テイラーの定理

• f(x)が[a,b]上でn回微分可能ならば、任意の正の実数pに対して、
  $\quad f(b)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(b-a)^{k}+{\frac {f^{(n)}(c)}{(n-1)!p}}(b-c)^{n-p}(b-a)^{p}\$　　$(c\in (a,b))$
  を満たすcが存在する。

証明
$f(b)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(b-a)^{k}+R(b-a)^{p}$ を満たすRを考える。$F(x)=f(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}+R(b-x)^{p}$ とおく。このとき、F(a)=F(b)=f(b)であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在する。実際にF'(x)を計算すると、
$F'(x)=f'(x)+\sum _{k=1}^{n-1}\left({\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-{\frac {f^{(k)}(x)}{(k-1)!}}(b-x)^{k-1}\right)-pR(b-x)^{p-1}$

$=f'(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x)}{(k-1)!}}(b-x)^{k-1}-pR(b-x)^{p-1}$

$=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-\sum _{k=0}^{n-2}{\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-pR(b-x)^{p-1}:$

$={\frac {f^{(n)}(x)}{(n-1)!}}(b-x)^{n-1}-pR(b-x)^{p-1}$

なので、F'(c)=0のとき、 $R={\frac {f^{(n)}(c)}{(n-1)!p}}(b-c)^{n-p}$ である。(証明終)

テイラーの定理中の ${\frac {f^{(n)}(c)}{(n-1)!p}}(b-c)^{n-p}(b-a)^{p}$ のことをシュレミルヒの剰余項といい、特にp=1のときのものをコーシーの剰余項、p=nのときのものをラグランジュの剰余項という。また、テイラーの定理は、近似計算やテイラー級数などに応用される。