- f(x)が閉区間[a,b]上で連続、開区間(a,b)上で微分可能で、f(a)=f(b)ならば、
f'(c)=0 かつ c∈(a,b) を満たすcが存在する。
証明
f(x)が[a,b]上で定数なら、どのc∈(a,b)についても、f'(c)=0である。
f(x)が[a,b]上で、f(a)より大きい値をとるとき、最大値・最小値の定理より、あるc∈(a,b)に対して、f(c)≧f(x) (∀x∈[a,b])となる。このとき、f(x)の微分可能性から、
![{\displaystyle \lim _{h\to +0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}=f'(c)\leq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f75fbc0f21e8ca56e92f16200294644a6b3ddc7)
![{\displaystyle \lim _{h\to -0}{\frac {f(c+h)-f(c)}{h}}=f'(c)\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dc8b0a36d5150e9208e4e2a67646faf684503eb)
よって、f'(c)=0 となる。
f(x)が[a,b]上で定数でなくかつf(a)より大きい値を取らないなら、f(a)より小さい値をとるので、同様に示せる。(証明終)
- f(x)が閉区間[a,b]上で連続、開区間(a,b)上で微分可能ならば、
を満たすcが存在する。
証明
とおく。このとき、
であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在し、
であるから、定理は成立する。(証明終)
例 f(x)=x2 (x∈[3,5])について、定理が成立していることを確かめよ。
- (f(5)-f(3))/(5-3)=8、f'(x)=2xなので、f'(x)=(f(5)-f(3))/(5-3)なら、x=4である。これは確かに区間(3,5)上に存在している。
- 関数f(x)、g(x)が[a,b]上連続かつ(a,b)上微分可能ならば
を満たす実数cが存在する。
証明
とおく。
であるから、ここで
という関数φ(x)を考えれば
となる。従ってロルの定理より
を満たす実数cが存在する。
ここで関数φ(x)を微分すれば
となるので
より
が成り立つ。(証明終)
平均値の定理中の
は不等式
と同義である。ここで
とおけば
より
が得られる。ここで、
である。
これらを平均値の定理に代入すれば
![{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=f'(x_{0}+\theta \Delta x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe384261ca09b683edca0ef1f2c06871d4e66ee)
が得られる。この式や、分母を払った式
![{\displaystyle f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=f'(x_{0}+\theta \Delta x)\Delta x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64811c6f4e70fe62e39f30c6e0a15aec7dc3147a)
を用いると便利なことがある。
無論このような書き換えはコーシーの平均値の定理でも適用可能であり
![{\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{g(x_{0}+\Delta x)-g(x_{0})}}={\frac {f'(x_{0}+\theta \Delta x)}{g'(x_{0}+\theta \Delta x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737ddcf4ef6e0f787f3b7b7fd6a632baeb6a19dc)
なる等式が導かれる。ただし
すなわち
である。
- f(x)が[a,b]上でn回微分可能ならば、任意の正の実数pに対して、
![{\displaystyle (c\in (a,b))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765d570ef03efa959d49d54812b20d8a9e0db200)
を満たすcが存在する。
証明
を満たすRを考える。
とおく。このとき、F(a)=F(b)=f(b)であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在する。実際にF'(x)を計算すると、
![{\displaystyle F'(x)=f'(x)+\sum _{k=1}^{n-1}\left({\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-{\frac {f^{(k)}(x)}{(k-1)!}}(b-x)^{k-1}\right)-pR(b-x)^{p-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19fa031d05f527d54917d089ad67e7fce1ebfd3)
![{\displaystyle =f'(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(x)}{(k-1)!}}(b-x)^{k-1}-pR(b-x)^{p-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03682290ec5b97056158b89373a5f9c3debee4b9)
![{\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-\sum _{k=0}^{n-2}{\frac {f^{(k+1)}(x)}{k!}}(b-x)^{k}-pR(b-x)^{p-1}:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e791d55ed54dfc7fd82201ef76102c0984dea3f)
![{\displaystyle ={\frac {f^{(n)}(x)}{(n-1)!}}(b-x)^{n-1}-pR(b-x)^{p-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02636d13d059064678d7c78e050295d1a3b2990f)
なので、F'(c)=0のとき、
である。(証明終)
テイラーの定理中の
のことをシュレミルヒの剰余項といい、特にp=1のときのものをコーシーの剰余項、p=nのときのものをラグランジュの剰余項という。また、テイラーの定理は、近似計算やテイラー級数などに応用される。