- f(x)が閉区間[a,b]上で連続、開区間(a,b)上で微分可能で、f(a)=f(b)ならば、
f'(c)=0 かつ c∈(a,b) を満たすcが存在する。
証明
f(x)が[a,b]上で定数なら、どのc∈(a,b)についても、f'(c)=0である。
f(x)が[a,b]上で、f(a)より大きい値をとるとき、最大値・最小値の定理より、あるc∈(a,b)に対して、f(c)≧f(x) (∀x∈[a,b])となる。このとき、f(x)の微分可能性から、
よって、f'(c)=0 となる。
f(x)が[a,b]上で定数でなくかつf(a)より大きい値を取らないなら、f(a)より小さい値をとるので、同様に示せる。(証明終)
- f(x)が閉区間[a,b]上で連続、開区間(a,b)上で微分可能ならば、
を満たすcが存在する。
証明
とおく。このとき、であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在し、であるから、定理は成立する。(証明終)
例 f(x)=x2 (x∈[3,5])について、定理が成立していることを確かめよ。
- (f(5)-f(3))/(5-3)=8、f'(x)=2xなので、f'(x)=(f(5)-f(3))/(5-3)なら、x=4である。これは確かに区間(3,5)上に存在している。
- 関数f(x)、g(x)が[a,b]上連続かつ(a,b)上微分可能ならば
を満たす実数cが存在する。
証明
とおく。
であるから、ここで
という関数φ(x)を考えれば
となる。従ってロルの定理より
を満たす実数cが存在する。
ここで関数φ(x)を微分すれば となるので より
が成り立つ。(証明終)
平均値の定理中の は不等式 と同義である。ここで とおけば
より が得られる。ここで、 である。
これらを平均値の定理に代入すれば
が得られる。この式や、分母を払った式
を用いると便利なことがある。
無論このような書き換えはコーシーの平均値の定理でも適用可能であり
なる等式が導かれる。ただし すなわち である。
- f(x)が[a,b]上でn回微分可能ならば、任意の正の実数pに対して、
を満たすcが存在する。
証明
を満たすRを考える。 とおく。このとき、F(a)=F(b)=f(b)であるから、ロルの定理より、F'(c)=0 (c∈(a,b))を満たすcが存在する。実際にF'(x)を計算すると、
なので、F'(c)=0のとき、
である。(証明終)
テイラーの定理中の のことをシュレミルヒの剰余項といい、特にp=1のときのものをコーシーの剰余項、p=nのときのものをラグランジュの剰余項という。また、テイラーの定理は、近似計算やテイラー級数などに応用される。