解析学基礎/指数関数と対数関数

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指数関数[編集]

定義[編集]

指数が整数のとき[編集]

のとき、aをn回かけた数をであらわす。すなわち、 である。
また、とする。

このとき、は、のとき単調増加、のとき単調減少、のとき定数である。

指数が有理数のとき[編集]

のとき、として定義する。

のとき、

であることから、、は、のとき単調増加、のとき単調減少、のとき定数であることがわかる。

指数が実数のとき[編集]

を無理数とし、に収束する有理数の単調増加列をとする。アルキメデスの原理より、より大きい自然数Nが存在する。 とすると、そのようなNと十分大きいnに対しなので、有界で単調な数列は収束する。 この収束値は、によらないことを示す。

を、無理数に収束する有理数の単調増加列とし(したがって、)、とする。任意のに対して、を満たす自然数Nが存在し、に収束することから、nを十分大きくとれば、を満たす。そのようなnに対し、なので、である。

この収束値の値をの値として定義する。 についても同様である。また、のときはと定める。 定義から、指数関数のとき単調増加、のとき単調減少、のとき定数である。

性質[編集]

のとき、次の性質が成立している。この性質のことを、指数法則と呼ぶ。

証明

また、指数関数は実数上で連続であり、次の等式が成り立つ。

  • のとき
  • のとき
証明

対数関数[編集]

定義[編集]

指数関数の逆関数をと書き、これをaを底とする対数関数と呼ぶ。特に、ネイピア数eを底とする対数関数を自然対数と呼び、底を省略してと書く。

性質[編集]

定義と指数関数の性質から、直ちに次の公式が得られる。のとき、

  • 対数関数は連続である。
  • のとき
  • のとき
証明