指数関数[編集]
指数が整数のとき[編集]
、
のとき、aをn回かけた数を
であらわす。すなわち、
である。
また、
、
とする。
このとき、
は、
のとき単調増加、
のとき単調減少、
のとき定数である。
指数が有理数のとき[編集]
、
、
のとき、
として定義する。
のとき、
であることから、
は、
のとき単調増加、
のとき単調減少、
のとき定数であることがわかる。
指数が実数のとき[編集]
を無理数とし、
に収束する有理数の単調増加列を
とする。アルキメデスの原理より、
より大きい自然数Nが存在する。
とすると、そのようなNと十分大きいnに対し
なので、有界で単調な数列
は収束する。
この収束値は、
によらないことを示す。
を、無理数
に収束する有理数の単調増加列とし(したがって、
)、
とする。任意の
に対して、
を満たす自然数Nが存在し、
が
に収束することから、nを十分大きくとれば、
を満たす。そのようなnに対し、
なので、
である。
この収束値の値を
の値として定義する。
についても同様である。また、
のときは
と定める。
定義から、指数関数
は
のとき単調増加、
のとき単調減少、
のとき定数である。
のとき、次の性質が成立している。この性質のことを、指数法則と呼ぶ。



- 証明
また、指数関数は実数上で連続であり、次の等式が成り立つ。
のとき
のとき
- 証明
対数関数[編集]
指数関数
の逆関数を
と書き、これをaを底とする対数関数と呼ぶ。特に、ネイピア数eを底とする対数関数を自然対数と呼び、底を省略して
と書く。
定義と指数関数の性質から、直ちに次の公式が得られる。
のとき、



- 対数関数は連続である。
のとき
のとき
- 証明