数列
が、実数αに収束する、正の無限大に発散する、負の無限大に発散する、ということをそれぞれ
と書き、それぞれの定義を次のようにする。



例 数列
について、

[1]
のとき
- 任意の
に対して、アルキメデスの原理より、
を満たすNが存在する。
ならば、
より
。よって、
は正の無限大に発散する。
[2]
のとき
- 任意のε>0に対して、
。よって
は1に収束する。
[3]
のとき
- 任意のε>0に対し、アルキメデスの原理から、
を満たす自然数Nが存在する。
ならば、
に注意すると、
。よって、
は0に収束する。
のとき、次の等式が成立する。




証明は関数の極限の証明と同じであるので省略する。
ならば、α = β
証明
任意のε>0に対して、あるNが存在して
ならば
なので、

εは任意より、α=β
ならば
証明
任意の ε>0に対して、あるNが存在して
ならば
なので、

εは任意の正の数なので、α≤β
ならば、
証明は関数の極限と同じなので省略する。
証明
が有界な単調増加列とし、
とおく。上限の定義より、任意のεに対し、
を満たす自然数Nが存在し、
のとき、単調増加性より、
。つまり、数列
は収束する。
をそれぞれ、単調増加数列、単調減少数列としてすべての自然数iについて
かつ、
ならば、実数cが存在して、
(区間縮小法の原理)
証明
より、二つの数列は有界かつ単調で、収束する。それぞれの極限値をα , βとおくと、条件よりβ-α=0 ∴ α = β
- 有界な数列は収束部分列を持つ。(ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)
証明
数列
を有界とする。
とおく。
のうち、有限個の{an}の項しか含んでいない方でない方を
とおく。
このようにして数列
を作ると、この二つの数列は、前性質の条件を満たしているので、ともに収束する。
また、すべての自然数kに対して、
を満たす自然数
が存在し、はさみうちの原理から部分列
は収束する。
(これを満たす数列をコーシー列という)なら、数列
は収束する。
証明
ε1を固定して、ε =ε1のときのNをN1とおくと、n>N1のとき、
より、数列は有界で、前性質より収束する部分列
を持つ。この収束値をαとおくと、ある自然数Nが存在して、
が成り立つので、三角不等式より、