数列
が、実数αに収束する、正の無限大に発散する、負の無限大に発散する、ということをそれぞれ
と書き、それぞれの定義を次のようにする。
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha \Leftrightarrow \forall \epsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \ n>N\Rightarrow |a_{n}-\alpha |<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a67fea1d15cfc0d3dd24f5f5257d35e21eb26c)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty \Leftrightarrow \forall K\ \exists N\in \mathbb {N} \ \ n>N\Rightarrow a_{n}>K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a651b3456cfe83413d724fa6c1d70c2fa60c9e)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty \Leftrightarrow \forall K\ \exists N\in \mathbb {N} \ \ n>N\Rightarrow a_{n}<K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85844e9b1904a548504359ba8c84461d72cad4b8)
例 数列
について、
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}={\begin{cases}\infty ,&p\geq 1\\1,&p=0\\0,&p\leq -1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc571d65ecb398f24a0514faff3ce2ab8cbaed42)
[1]
のとき
- 任意の
に対して、アルキメデスの原理より、
を満たすNが存在する。
ならば、
より
。よって、
は正の無限大に発散する。
[2]
のとき
- 任意のε>0に対して、
。よって
は1に収束する。
[3]
のとき
- 任意のε>0に対し、アルキメデスの原理から、
を満たす自然数Nが存在する。
ならば、
に注意すると、
。よって、
は0に収束する。
のとき、次の等式が成立する。
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\alpha +\beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c72acc6a7ec192277d93119a86db3ba357f8ca)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\alpha \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3c2c76d28dc5ebc3071b6c6514b34299c75cdea)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\alpha \ (c\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8529d9478bf8575235d1df3686b5d40edf0e3d)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\alpha }{\beta }}\ (\beta \neq 0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea846cd703d9abe9c8887a8065b21ab66011b2a)
証明は関数の極限の証明と同じであるので省略する。
ならば、α = β
証明
任意のε>0に対して、あるNが存在して
ならば
なので、
![{\displaystyle |\alpha -\beta |\leq |\alpha -a_{n}|+|a_{n}-\beta |\leq \epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666e54c8d2b0a9fe93353fd807048f9f3a4773cc)
εは任意より、α=β
ならば![{\displaystyle \alpha \leq \beta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f69d89ecf7ee692d15f27bef8169ec175f08024)
証明
任意の ε>0に対して、あるNが存在して
ならば
なので、
![{\displaystyle \alpha -\epsilon <a_{n}\leq b_{n}<\beta +\epsilon \ \therefore \alpha -\beta <2\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f848118ae3f80880df72b31b56c170c336b397d7)
εは任意の正の数なので、α≤β
ならば、![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548c98a9a827226b11b5960ececf587c08a36e93)
証明は関数の極限と同じなので省略する。
証明
が有界な単調増加列とし、
とおく。上限の定義より、任意のεに対し、
を満たす自然数Nが存在し、
のとき、単調増加性より、
。つまり、数列
は収束する。
をそれぞれ、単調増加数列、単調減少数列としてすべての自然数iについて
かつ、
ならば、実数cが存在して、
(区間縮小法の原理)
証明
より、二つの数列は有界かつ単調で、収束する。それぞれの極限値をα , βとおくと、条件よりβ-α=0 ∴ α = β
- 有界な数列は収束部分列を持つ。(ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理)
証明
数列
を有界とする。
とおく。
のうち、有限個の{an}の項しか含んでいない方でない方を
とおく。
このようにして数列
を作ると、この二つの数列は、前性質の条件を満たしているので、ともに収束する。
また、すべての自然数kに対して、
を満たす自然数
が存在し、はさみうちの原理から部分列
は収束する。
(これを満たす数列をコーシー列という)なら、数列
は収束する。
証明
ε1を固定して、ε =ε1のときのNをN1とおくと、n>N1のとき、
より、数列は有界で、前性質より収束する部分列
を持つ。この収束値をαとおくと、ある自然数Nが存在して、
が成り立つので、三角不等式より、