第X章フーリエ変換 - 信号処理の基礎

フーリエ変換の基礎概念

周期信号の分解と合成

フーリエ変換は、複雑な信号を基本的な正弦波成分に分解する数学的手法である。この手法は、音声信号処理から電気回路の解析まで、幅広い工学分野で応用されている。

周期信号の分解において、任意の周期関数f(t)は、直流成分と正弦波および余弦波の重ね合わせとして表現することができる。この表現は以下の式で与えられる：

$f(t)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(n\omega _{0}t)+b_{n}\sin(n\omega _{0}t))$

この式において、a₀/2は信号の直流成分を表し、Σ以降の項は各周波数成分の寄与を表している。nは高調波の次数を示し、基本周波数の整数倍の周波数成分を表現する。各項の係数aₙとbₙは、その周波数成分の振幅を決定する。

フーリエ級数展開の基本原理

フーリエ級数展開は、周期信号を周波数領域で解析するための基礎となる。この展開により、時間領域で表現されている信号を周波数成分に分解することが可能となる。

フーリエ係数の導出は、信号の周期にわたる積分計算により行われる。具体的には以下の式により求められる：

${\begin{aligned}a_{0}&={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)dt\\a_{n}&={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\cos(n\omega _{0}t)dt\\b_{n}&={\frac {2}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}f(t)\sin(n\omega _{0}t)dt\end{aligned}}$

これらの式において、Tは信号の周期を表す。各係数は、対応する周波数成分の強度を示している。a₀は信号の直流成分を表し、aₙとbₙはそれぞれn次の余弦波と正弦波の振幅を示している。

時間領域と周波数領域の関係性

信号解析においては、時間領域と周波数領域という二つの視点が存在する。時間領域では、信号の瞬時的な値の変化を観察することができる。一方、周波数領域では、信号を構成する周波数成分のスペクトルを観察することができる。

この二つの領域には重要な対応関係が存在する。時間領域における畳み込み演算は、周波数領域における単純な積に対応する。逆に、時間領域における積は、周波数領域における畳み込みに対応する。これらの関係性は、信号処理システムの解析において重要な役割を果たす。

さらに、パーセバルの定理により、時間領域と周波数領域におけるエネルギーは等価であることが保証されている。この定理は、信号処理における重要な基礎原理の一つとなっている。

デルタ関数と単位インパルス応答

デルタ関数δ(t)は、理論的な信号処理において基礎となる数学的な概念である。この関数は、無限に鋭いインパルスを表現するものであり、以下の数学的性質を持つ：

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$

デルタ関数の重要な特性として、サンプリング性質がある。これは以下の式で表される：

$f(t)\delta (t-a)=f(a)\delta (t-a)$

この性質により、デルタ関数は信号の特定時点での値を抽出する道具として機能する。また、デルタ関数の積分性質は、システムの応答特性を解析する際に重要な役割を果たす。

フーリエ変換の数学的基礎

フーリエ変換の定義と性質

フーリエ変換は、時間領域の信号f(t)を周波数領域のスペクトルF(ω)に変換する数学的操作である。基本的なフーリエ変換対は以下の式で定義される：

$F(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

また、逆フーリエ変換は以下の式で与えられる：

$f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$

フーリエ変換は複数の重要な性質を持つ。線形性は、二つの信号のフーリエ変換の和が、各信号のフーリエ変換の和に等しいことを示している。時間シフトは、時間領域での信号の遅延が周波数領域では位相の変化として現れることを表している。これらの性質は、実際の信号処理システムの設計において重要な役割を果たす。

フーリエ変換対の基本例

実際の信号処理で頻繁に現れる基本的な関数のフーリエ変換対を理解することは重要である。矩形パルスのフーリエ変換はsinc関数となり、これは以下の式で表される：

${\text{rect}}(t)={\begin{cases}1,&|t|\leq {\frac {1}{2}}\\0,&|t|>{\frac {1}{2}}\end{cases}}$

$F(\omega )={\text{sinc}}(\omega )={\frac {\sin(\omega /2)}{\omega /2}}$

このフーリエ変換対は、帯域制限された信号の解析や、サンプリング理論の基礎となる。同様に、ガウス関数のフーリエ変換もガウス関数となり、この性質は信号処理における重要な特徴を示している。

フーリエ変換の畳み込み定理

畳み込み定理は、フーリエ変換理論における最も重要な定理の一つである。時間領域における二つの信号の畳み込みは、周波数領域においてそれらの信号のフーリエ変換の積として表される：

$f(t)*g(t)\Leftrightarrow F(\omega )G(\omega )$

この定理により、複雑な畳み込み演算を周波数領域での単純な積として扱うことが可能となる。この性質は、特に線形時不変システムの解析において重要である。システムの出力は、入力信号とシステムのインパルス応答との畳み込みとして表されるためである。

実信号のフーリエ変換

周期信号のフーリエ変換

周期信号のフーリエ変換は、離散的なスペクトル線として現れる。周期Tの信号f(t)に対して、そのフーリエ変換は以下の形式となる：

$F(\omega )=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\delta (\omega -n\omega _{0})$

ここで、ω₀は基本角周波数2π/Tを表し、cₙはフーリエ級数係数である。この表現は、周期信号が離散的な周波数成分の和として構成されることを明確に示している。

変調信号のフーリエ変換

振幅変調（AM）信号は、搬送波周波数ωcを用いて以下のように表される：

$s(t)=[A+m(t)]\cos(\omega _{c}t)$

このとき、m(t)は変調信号である。変調信号のスペクトルM(ω)が存在する場合、AM信号のフーリエ変換は以下となる：

$S(\omega )={\frac {A}{2}}[\delta (\omega -\omega _{c})+\delta (\omega +\omega _{c})]+{\frac {1}{2}}[M(\omega -\omega _{c})+M(\omega +\omega _{c})]$

この式は、AM信号のスペクトルが搬送波周波数を中心として変調信号のスペクトルが上下に複製されることを示している。この理解は、通信システムの設計において重要な役割を果たす。

サンプリングと離散フーリエ変換

サンプリング定理

サンプリング定理は、連続時間信号を離散時間信号に変換する際の基本原理である。帯域制限された信号f(t)に対して、そのスペクトルF(ω)が|ω| > ωmaxで0となる場合、サンプリング周波数ωsは以下の条件を満たす必要がある：

$\omega _{s}>2\omega _{max}$

この条件は、ナイキストのサンプリング定理として知られている。この定理に従わない場合、エイリアシングと呼ばれる現象が発生し、信号の正確な再構成が不可能となる。

離散フーリエ変換（DFT）の基礎

離散フーリエ変換は、離散時間信号の周波数解析において中心的な役割を果たす。N点の離散時間信号x[n]に対する離散フーリエ変換X[k]は、以下の式で定義される：

$X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N},\quad k=0,1,\ldots ,N-1$

対応する逆離散フーリエ変換は以下の式で与えられる：

$x[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2\pi kn/N},\quad n=0,1,\ldots ,N-1$

この変換により、離散時間信号の周波数成分を効率的に計算することが可能となる。DFTは周期Nの信号を仮定しており、これは実際の信号処理において窓関数の使用が必要となる理由の一つである。

高速フーリエ変換（FFT）のアルゴリズム

高速フーリエ変換は、離散フーリエ変換を効率的に計算するためのアルゴリズムである。Cooley-Tukeyアルゴリズムは、入力信号の長さNが2のべき乗である場合、計算量をO(N²)からO(N log N)に削減する。

このアルゴリズムは、信号を偶数インデックスと奇数インデックスの二つの部分に分割し、それぞれに対してDFTを再帰的に適用する。この過程は以下の式で表現される：

$X[k]=\sum _{n=0}^{N/2-1}x[2n]e^{-j2\pi k(2n)/N}+e^{-j2\pi k/N}\sum _{n=0}^{N/2-1}x[2n+1]e^{-j2\pi k(2n)/N}$

フーリエ変換の応用

周波数領域フィルタリング

周波数領域におけるフィルタリングは、信号処理における重要な応用の一つである。理想的な低域通過フィルタH(ω)は以下のように定義される：

$H(\omega )={\begin{cases}1,&|\omega |\leq \omega _{c}\\0,&|\omega |>\omega _{c}\end{cases}}$

実際のシステムでは、理想的なフィルタの実現は不可能であり、以下のようなガウス型フィルタなどが使用される：

$H(\omega )=e^{-\omega ^{2}/2\sigma ^{2}}$

フィルタリングの過程は、入力信号のスペクトルとフィルタの周波数応答の積として表現される：

$Y(\omega )=H(\omega )X(\omega )$

スペクトル解析と窓関数

実際の信号処理において、有限長の信号を扱う必要がある場合、窓関数の使用が不可欠となる。代表的なハミング窓は以下の式で定義される：

$w[n]=-0.46\cos \left({\frac {2\pi n}{N-1}}\right),\quad 0\leq n\leq N-1$

窓関数の使用は、スペクトル漏れを抑制する効果がある一方で、周波数分解能に影響を与える。この関係は以下の不確定性原理により表現される：

$\Delta t\cdot \Delta f\geq {\frac {1}{4\pi }}$

実践演習と応用例

ディジタル信号処理システムの設計

実際のディジタル信号処理システムの設計において、フーリエ変換は以下の手順で適用される：

システム要件の分析と仕様の決定
フィルタ特性の設計と周波数応答の決定
インパルス応答の導出とシステム関数の設計
離散時間システムへの変換と実装

システムの周波数応答H(ω)は、所望の振幅特性と位相特性を考慮して設計される：

$H(\omega )=|H(\omega )|e^{j\phi (\omega )}$

音声信号処理への応用

音声信号処理において、短時間フーリエ変換（STFT）は時間変化する周波数特性を解析するための重要なツールである。STFTは以下の式で定義される：

$X(m,\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]w[n-m]e^{-j\omega n}$

この変換により、信号の時間-周波数表現が得られ、音声信号の特徴抽出や音声認識などの応用が可能となる。

附録

重要な公式のまとめ

フーリエ変換における重要な公式と関係式を以下にまとめる：

${\begin{aligned}&{\text{パーセバルの定理：}}\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|^{2}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|F(\omega )|^{2}d\omega \\&{\text{時間シフト：}}f(t-t_{0})\Leftrightarrow F(\omega )e^{-j\omega t_{0}}\\&{\text{周波数シフト：}}f(t)e^{j\omega _{0}t}\Leftrightarrow F(\omega -\omega _{0})\\&{\text{スケーリング：}}f(at)\Leftrightarrow {\frac {1}{|a|}}F({\frac {\omega }{a}})\end{aligned}}$

これらの公式は、実際の信号処理システムの設計と解析において常に参照される基本的な関係式である。

第X章 フーリエ変換 - 信号処理の基礎