電磁気学/電磁場/第一類/初等ベクトル解析/ベクトル

ある量が大きさと方向を指定すると決められるとき，その量をベクトル (vector) といい，ここでは太文字 $\mathbf {A}$ などであらわす． 細文字 $A=|\mathbf {A} |$ はそのベクトルの大きさを示すものとする． いま二つのベクトル $\mathbf {a}$ と $\mathbf {b}$ を考えたとき，その合成ベクトル $\mathbf {c}$ は

$\mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} =\mathbf {b} +\mathbf {a}$

であらわされ，その方向と大きさは図A.1のように平行四辺形の法則であたえられる．

このとき，

$(\mathbf {a} +\mathbf {b} )+\mathbf {c} =\mathbf {a} +(\mathbf {b} +\mathbf {c} )$

がなりたつことが容易に確められる． ベクトル $A$ と同じ方向の大きさが $1$ のベクトルを $\mathbf {n}$ とかき， これを単位ベクトルという．すると，

(A.1)

$\mathbf {A} =A\mathbf {n}$

とかくことができる．図A.2 のような直交座標を考えよう．

このとき原典 $\mathrm {O}$ から点 $\mathrm {P}$ に向かってひいたベクトル ${\vec {\mathrm {OP} }}$ を位置ベクトルといい， $\mathbf {r}$ とかく．また $x,y,z$ 軸のそれぞれの方向を向く単位ベクトルを $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z}$ であらわすと， 任意のベクトル $\mathbf {A}$ は

(A.2)

$A=A_{x}\mathbf {e_{x}} +A_{y}\mathbf {e_{y}} +A_{z}\mathbf {e_{z}}$

とかくことができる．この $\mathbf {e_{x}} ,\mathbf {e_{y}} ,\mathbf {e_{z}}$ を基本ベクトルという． ここで $A_{x},A_{y},A_{z}$ はベクトル $\mathbf {A}$ のそれぞれの軸の方向の成分の大きさである． 明らかに

(A.3)

$A=|\mathbf {A} |={\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}$

である．