電磁気学/電磁場/第一類/初等ベクトル解析/ベクトルのスカラー積

2 個のベクトル $\mathbf {A}$ と $\mathbf {B}$ とのスカラー積 (scalar product) $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}$ を，

(A.4)

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =AB\cos(AB)$

で定義する．ここで $(AB)$ はベクトル $\mathbf {A} ,\mathbf {B}$ のあいだの角度である． (A.4) の定義から，

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}$

であることがわかる．さきの単位ベクトル $\mathbf {e_{x}} ,\mathbf {e_{y}} ,\mathbf {e_{z}}$ はその大きさが $1$ で，互いに直交しているから，

(A.5)

$\mathbf {e_{x}} \cdot \mathbf {e_{y}} =\mathbf {e_{y}} \cdot \mathbf {e_{z}} =\mathbf {e_{z}} \cdot \mathbf {e_{x}} =0,\quad \quad \mathbf {e_{x}} \cdot \mathbf {e_{x}} =\mathbf {e_{y}} \cdot \mathbf {e_{y}} =\mathbf {e_{z}} \cdot \mathbf {e_{z}} =1$

である．また

(A.6)

$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C}$

もすぐ証明できる．いまある単位ベクトル $\mathbf {n}$ を考えると

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} =A\cdot 1\cdot \cos(An)=Acos(An)$

となる．これはベクトル $\mathbf {A}$ の $\mathbf {n}$ 方向の成分の大きさをあらわすから

(A.7)

$A_{n}\equiv A\cos(An)=\mathbf {A} \cdot \mathbf {n}$

とかける．さて

$A=A_{x}\mathbf {e_{x}} +A_{y}\mathbf {e_{y}} +A_{z}\mathbf {e_{z}}$

であるから，$A_{n}$ を直角座標系の成分でかくと

$A_{n}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} =A_{x}(\mathbf {e_{x}} \cdot \mathbf {n} )+A_{y}(\mathbf {e_{y}} \cdot \mathbf {n} )+A_{z}(\mathbf {e_{z}} \cdot \mathbf {n} )$

(A.8)

$=A_{x}\cos(e_{x}n)+A_{y}\cos(e_{y}n)+A_{z}\cos(e_{z}n)$

となる．また，スカラー積 $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B}$ を直角座標系の成分でかくと，(A.5) の性質から

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(A_{x}\mathbf {e_{x}} +A_{y}\mathbf {e_{y}} +A_{z}\mathbf {ezy} )\cdot (B_{x}\mathbf {e_{x}} +B_{y}\mathbf {e_{y}} +B_{z}\mathbf {ezy} )$

(A.9)

$=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$

となる．