物理学 > 電磁気学II
電磁気学がからんでくる現象は数多いが、
これらの現象のうちの多くは
次の2つの方程式によって記述される。
ガウス単位系では、
![{\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=4\pi J_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf419e453fd2a5b49902109040c1956df36f4f8)
![{\displaystyle F_{\mu \nu .\rho }+F_{\rho \mu .\nu }+F_{\nu \rho .\mu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a8ba71e89c307f0fadffdb8dd4cb6fe6ccdb4e)
ここで、
![{\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77fbf0c39a13f9706357f83b041774749598ded1)
![{\displaystyle ={\begin{pmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cce54d8957565596c7608a073cad2fe0119dc37)
でありまた、
![{\displaystyle J_{\mu }={\begin{pmatrix}\rho \\{\vec {j}}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a92da75d454035a402c1b45964911269690c830)
である。
更に、
![{\displaystyle A_{,\mu }=\partial _{\mu }A={\frac {\partial {}}{\partial {x^{\mu }}}}A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b886ce6b0814e9e7f01a735a3061412f7eac4fb4)
(Aは、
![{\displaystyle x^{\mu }=t,x,y,z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5770da855ab469a6b0142f568f548d4a3a6d32c9)
のある関数。)
となる。
note:
実際には現在ではほとんどの分野で、古くなっているGauss単位系ではなく、
SI単位系が用いられている。(特に工学の分野ではそうであるようである。)
ただし、特殊相対論と組み合わせた
電磁気現象を見るぶんには、Gauss単位系でもそれほど不自由がないので、
こちらを用いている。
ここではこれらの式がどの様に書かれるかを見ていく。
comment:
過去の遺物である Gauss単位系を今さら用いるのは、教育的
見地からしても問題である。
Gauss単位系が相対論に適合しているというのは誤解である。
(たとえば電荷保存則を見れば明らかである。)
空間中に電荷を置くと、
その回りには、
等方的に
![{\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d147238b9c4893d3a58d496881fd837d9afefc92)
の電界が生じる。
ただし、これはSI単位系で書かれた式であり、
ガウス単位系では、
![{\displaystyle {\vec {E}}={\frac {q}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cf3e82d8df5235ed9424a500df315dd3ed74e49)
と書かれる。
放射状に電界が広がるという描像は変化していない
ことに注意。
これを一般化すると、
ある表面積分を行なったとき、
![{\displaystyle 4\pi r^{2}\cdot {\vec {E}}=4\pi r^{2}\cdot {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687f77c242a47cf88fca232f7548810edddcd343)
![{\displaystyle \iint d{\vec {S}}{\vec {E}}={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\iiint dV\rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8cb7f57c620eb379659c34f4aaa3c57b9f822e1)
が成り立つ。
ここで、
![{\displaystyle \iiint dV\rho =q}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62becce57ebea5a9688de9a109af2dba37357fd8)
である。(電荷密度の定義)
ここで、
![{\displaystyle \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7d439671d1289b6a816e6af7a304be40608d64)
は電荷密度である。
ガウスの定理を用いて
この式の
左辺を空間積分で書き変えると、
![{\displaystyle \iint d{\vec {S}}{\vec {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e6d1017e2b40f188865dbfea044be03ac8d0b1)
![{\displaystyle =\iiint dV{\textrm {div}}{\vec {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1af7252b8880bc3b4dc144bebaf8f59a35c66a6)
![{\displaystyle =\iiint dV\rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfee098c4bf67a120b2bca578368bd1ce2a379cf)
よって、
![{\displaystyle {\textrm {div}}{\vec {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19127a0b09c185142bcd2bd052fa9dc61858cd6)
が成り立つ。
同じ計算をすると、ガウス単位系では
![{\displaystyle {\textrm {div}}{\vec {E}}=4\pi \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4973e165fbe9d6841ec14bac846b35abcd768c55)
となることが分る。
ここで、
![{\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=4\pi J_{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98bfd5f965452e479ebfd6c807a3a75f4a60049)
の第0成分を書き変えると、
(
![{\displaystyle \partial ^{\mu }=(0,-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9d1465572212bcdf00b6aed74b26efdc392892)
![{\displaystyle F_{\mu 0}=(0,-E_{x},-E_{y},-E_{z})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c223c2f0c7ff96e3f9c80c1f8634136688c346f)
に注意。
)
![{\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db2922c75a0434b938bb899d7e09865bf8f5b55a)
![{\displaystyle ={\textrm {div}}{\vec {E}}=4\pi \rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f303d873d5bad24eb67149453b1ff6057742deef)
となり、確かに現象と一致する。
上で、ある電荷があるとその回りに放射状の電界が生じることを
述べたが、磁場についてはその様な対応物、つまり磁荷が存在しないことが
実験的に知られている。
(一般的な磁石はS極とN極が対になっているので磁荷と呼ぶことはできない。)
このことを用いて電荷の場合と同じ計算をすると
![{\displaystyle \iint d{\vec {S}}{\vec {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bc6df58a34428987dec0e31d11156a9f1d48d8)
![{\displaystyle =\iiint dV{\textrm {div}}{\vec {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35bc578e12a976bf2660bc9fc608c4b7b8c66e84)
![{\displaystyle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc9e66de468806365c20e32e83456cc526ce29e)
(これは磁荷密度が常に0であることによる。)
上と同様にガウスの定理を用いて書き換えると、
![{\displaystyle {\textrm {div}}{\vec {B}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33383a76960a6c7c39536f7060f0c387423bad37)
が成り立つことが分る。
ここで、
![{\displaystyle F_{\mu \nu .\rho }+F_{\rho \mu .\nu }+F_{\nu \rho .\mu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a8ba71e89c307f0fadffdb8dd4cb6fe6ccdb4e)
で、
![{\displaystyle \mu =1,\nu =2,\rho =3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11ea77c63a3e30b30f07d90c5743439b81c2c69)
と選ぶと、
![{\displaystyle {\textrm {lhs}}=\partial _{z}B_{z}+\partial _{y}B_{y}+\partial _{x}B_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8aa9f33334aab1497d680a7d2d068f157a3126a)
![{\displaystyle ={\textrm {div}}{\vec {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23284a99cdb8366d80920997e8c5f36b0c84e858)
![{\displaystyle =rhs=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2a87ea8049a19aeb0cb23a8e10f2e759622210f)
となり確かに式が現象を説明することがわかる。
(この結果は、ガウス単位系でもSI単位系でも同一である。)
磁場の時間変化が電場を引き起こすという法則が
レンツの法則として、知られている。
![{\displaystyle {\vec {E}}=-{\frac {1}{2\pi a}}{\frac {\partial {\Phi }}{\partial {t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44672c7b3965ca60d0bbd4238f838b3f6e83e016)
(SI単位系での式)
これは円形のコイル(半径a)を使ったときの表式であるが、
そうでないときに一般化すると、
![{\displaystyle 2\pi a{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\Phi }}{\partial {t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd8d5ed299d6eefc2e3aa08f411d0f6446b4656)
![{\displaystyle \int d{\vec {l}}\cdot {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\Phi }}{\partial {t}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13546778617adc983df570702dd87a90908c02e9)
![{\displaystyle =-{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}\iint dS{\vec {n}}\cdot {\vec {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b636aa8eb31c974a7b5c380665f10e82eb3aa3f2)
ストークスの定理を用いて書き変えると、
![{\displaystyle \int d{\vec {l}}{\vec {E}}=\iint dS{\vec {n}}\cdot {\textrm {rot}}{\vec {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/147f79f26fee8d93478fc751a1226ef23ce5daea)
よって、
![{\displaystyle {\textrm {rot}}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}{\vec {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe9b9ff03900921edb5e383e074275678b5f356)
が従う。
Gauss単位系では
![{\displaystyle {\textrm {rot}}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}{\vec {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/554158f5de02d1533dc54d8e88d1d14eaeeeb027)
となる。
ここで、
![{\displaystyle F_{\mu \nu .\rho }+F_{\rho \mu .\nu }+F_{\nu \rho .\mu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a8ba71e89c307f0fadffdb8dd4cb6fe6ccdb4e)
で例えば、
![{\displaystyle \mu =0,\nu =1,\rho =2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a7fd4c8e65621f8d5dd0125f57dcf176e42caaa)
と置くと、
![{\displaystyle {\textrm {lhs}}=\partial _{y}E_{x}+\partial _{x}(-E_{y})-\partial _{t}B_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5e2336733ff5ab157c28293643bfb2f1fa50a0)
![{\displaystyle =-{\textrm {rot}}{\vec {E}}|_{z}-{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}B_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c356d20828a3b290dd4bc071d3524c7fe0fe997)
![{\displaystyle ={\textrm {rhs}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f858a0b2f502f621bfc5b56bd0a53d78a55793)
となり、上で現象から得られた式のz成分と一致する。
x成分、y成分はそれぞれ
![{\displaystyle \mu =0,\nu =2,\rho =3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345db2facee5bef6cb8e551ff57ab18710feebe1)
,
![{\displaystyle \mu =0,\nu =3,\rho =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/038b5e1368054b62f2ee41cd6cad927af6600c6a)
と置くと求めることが出来る。
よってこの場合も式が現象を説明することが
わかる。
直線的に流れる電流の回りには、
![{\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}{\frac {I}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ac033d77c491e69586f2bd683ac1d5f8130a235)
の磁束密度が生じることが知られている。
(SI単位系での式。)
(aは電線からの距離。)
これを一般化すると、
![{\displaystyle \int d{\vec {l}}\cdot {\vec {B}}={\mu _{0}}I={\mu _{0}}\iint d{\vec {S}}\cdot {\vec {j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52872a86f6e35bf3fd3db1616831c108d54fa40)
となる。
ストークスの定理を用いて線積分を
面積分に変換すると、
![{\displaystyle \int d{\vec {l}}\cdot {\vec {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b38c1c1d541f458ed681cc55ec382086e6b39de)
![{\displaystyle =\iint d{\vec {S}}\cdot {\textrm {rot}}{\vec {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a383b4e8949723cbabbbd8991c178d2e931ca14e)
よって両辺を比べることで、
![{\displaystyle {\textrm {rot}}{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7928c0d1371f37474d113fe6a946381cd4a6b6)
が得られる。実際にはこの式が
上で得られた式と一致するには
もう1つ現象を付け加える必要がある。
例えば、平板
コンデンサに対して電荷が蓄積していくとき、
コンデンサの間の空間には電場の時間変化が現われる。
このとき、%電荷の時間変化には
コンデンサの間の空間には(電流からの寄与が無くても)
磁場が生じることが知られている。
この項は、通常の電流と比べて変位電流と呼ばれる。
数式では、(SI単位系では)
![{\displaystyle {\vec {j}}\rightarrow \epsilon _{0}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}{\vec {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b29c79c956883fd6d0694b93b2833966404907e)
としたものに等しい。
これら2つの寄与を足し合わせると、式
![{\displaystyle {\frac {1}{\mu _{0}}}{\textrm {rot}}{\vec {B}}={\vec {j}}+\epsilon _{0}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}{\vec {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a5480c8fafb8c26e44a3d544aa90c686ec012b1)
が得られる。
ガウス単位系では、
![{\displaystyle {\textrm {rot}}{\vec {B}}=4\pi {\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}{\vec {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8bfb5b3922cea9073065d352e1e266a177f1173)
ここで、
![{\displaystyle \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }=4\pi J_{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98bfd5f965452e479ebfd6c807a3a75f4a60049)
で例えば、
![{\displaystyle \nu =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ca7fd51cd02b2c4311446c6d6b0f53b2c529cf)
を代入すると、
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {t}}}-\partial _{y}{(B_{z})}-\partial _{z}{-B_{y}}=-4\pi j_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60eee445baae49d55a5b274fa3412cf0848e94c4)
![{\displaystyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial {E_{x}}}{\partial {t}}}-{\textrm {rot}}{\vec {B}}|_{x}=4\pi j_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ddcd06df0d1f699b904ac481ed45dd0ce276c6)
![{\displaystyle -{\textrm {rot}}{\vec {B}}|_{x}=-4\pi j_{x}-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}E_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0841815f838c7b6a3ec2b29419af50a12a26e40f)
![{\displaystyle {\textrm {rot}}{\vec {B}}|_{x}=4\pi j_{x}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {}}{\partial {t}}}E_{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d98a7eb9ebe31f1db4cebcd8d197207d19406e2)
となり確かに一致する。
y,z方向については
![{\displaystyle \nu =2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee1c73ce4eab82eba0794ecb5b252dd47cfd189)
,
![{\displaystyle \nu =3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff23f7aea3cc2a731be7831d061dea5df292e8b)
とおけばよい。
真空中では、
![{\displaystyle J^{\mu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd96f2e571f949f270a88664fce01666b70793cf)
が成り立つので、
![{\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e8ed9a78b783e80020756505dddcc3b4de2d3a)
![{\displaystyle \partial _{\mu }(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu })=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2127a02bc62025225d55d2bb1729d5b35eda27bb)
が得られる。
ここで、
![{\displaystyle A^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1da55ba40017c25d210f7e269efb2d6d539a1b6)
がゲージの自由度を持つことを考慮して
この方程式を簡単にすることが出来る。
ここでは、
![{\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b17a8264cb168bbfd9d94771dfcd998dbc46f3da)
(ローレンツゲージ)
をとる。
すると、上の式は簡単になって、
![{\displaystyle \partial ^{2}A^{\mu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78d60f1bd2f125332b1965593a049f7eb68c68c)
となる。
ここで、
![{\displaystyle \partial ^{2}=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{}}{\partial {t}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial {\vec {x}}^{2}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddace06cd845ab08c3f597a444a4cb30c0c5dacd)
である。
この式は速度cで伝搬する波の波動方程式であり、
真空中を電場や磁場が光の速さで伝搬することが分る。
実際にはこのことから光がこのような波(電磁波と呼ぶ)の
一種であることが知られた。
電磁波は振動数によって様々な名前で呼ばれる。