電磁気学II

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はじめに[編集]

電磁気学がからんでくる現象は数多いが、 これらの現象のうちの多くは 次の2つの方程式によって記述される。

ガウス単位系では、

ここで、

でありまた、

である。 更に、

(Aは、

のある関数。) となる。

note: 実際には現在ではほとんどの分野で、古くなっているGauss単位系ではなく、 SI単位系が用いられている。(特に工学の分野ではそうであるようである。) ただし、特殊相対論と組み合わせた 電磁気現象を見るぶんには、Gauss単位系でもそれほど不自由がないので、 こちらを用いている。

ここではこれらの式がどの様に書かれるかを見ていく。

comment: 過去の遺物である Gauss単位系を今さら用いるのは、教育的 見地からしても問題である。 Gauss単位系が相対論に適合しているというのは誤解である。 (たとえば電荷保存則を見れば明らかである。)

Gaussの法則[編集]

空間中に電荷を置くと、 その回りには、 等方的に

の電界が生じる。 ただし、これはSI単位系で書かれた式であり、 ガウス単位系では、

と書かれる。 放射状に電界が広がるという描像は変化していない ことに注意。 これを一般化すると、 ある表面積分を行なったとき、

が成り立つ。 ここで、

である。(電荷密度の定義) ここで、

は電荷密度である。 ガウスの定理を用いて この式の 左辺を空間積分で書き変えると、

よって、

が成り立つ。 同じ計算をすると、ガウス単位系では

となることが分る。

ここで、

の第0成分を書き変えると、 (

に注意。 )

となり、確かに現象と一致する。

単極磁子は存在しない。[編集]

上で、ある電荷があるとその回りに放射状の電界が生じることを 述べたが、磁場についてはその様な対応物、つまり磁荷が存在しないことが 実験的に知られている。 (一般的な磁石はS極とN極が対になっているので磁荷と呼ぶことはできない。) このことを用いて電荷の場合と同じ計算をすると

(これは磁荷密度が常に0であることによる。) 上と同様にガウスの定理を用いて書き換えると、

が成り立つことが分る。

ここで、

で、

と選ぶと、

となり確かに式が現象を説明することがわかる。 (この結果は、ガウス単位系でもSI単位系でも同一である。)

電磁誘導[編集]

磁場の時間変化が電場を引き起こすという法則が レンツの法則として、知られている。

(SI単位系での式) これは円形のコイル(半径a)を使ったときの表式であるが、 そうでないときに一般化すると、

ストークスの定理を用いて書き変えると、

よって、

が従う。 Gauss単位系では

となる。

ここで、

で例えば、

と置くと、

となり、上で現象から得られた式のz成分と一致する。 x成分、y成分はそれぞれ

,

と置くと求めることが出来る。 よってこの場合も式が現象を説明することが わかる。


電流の回りの磁場と変位電流[編集]

直線的に流れる電流の回りには、

の磁束密度が生じることが知られている。 (SI単位系での式。) (aは電線からの距離。) これを一般化すると、

となる。 ストークスの定理を用いて線積分を 面積分に変換すると、

よって両辺を比べることで、

が得られる。実際にはこの式が 上で得られた式と一致するには もう1つ現象を付け加える必要がある。 例えば、平板 コンデンサに対して電荷が蓄積していくとき、 コンデンサの間の空間には電場の時間変化が現われる。 このとき、%電荷の時間変化には コンデンサの間の空間には(電流からの寄与が無くても) 磁場が生じることが知られている。 この項は、通常の電流と比べて変位電流と呼ばれる。 数式では、(SI単位系では)

としたものに等しい。 これら2つの寄与を足し合わせると、式

が得られる。 ガウス単位系では、

ここで、

で例えば、

を代入すると、

となり確かに一致する。 y,z方向については

,

とおけばよい。


電磁波の伝搬[編集]

真空中では、

が成り立つので、

が得られる。 ここで、

がゲージの自由度を持つことを考慮して この方程式を簡単にすることが出来る。 ここでは、

(ローレンツゲージ) をとる。 すると、上の式は簡単になって、

となる。 ここで、

である。 この式は速度cで伝搬する波の波動方程式であり、 真空中を電場や磁場が光の速さで伝搬することが分る。 実際にはこのことから光がこのような波(電磁波と呼ぶ)の 一種であることが知られた。 電磁波は振動数によって様々な名前で呼ばれる。