音響学の基礎

音楽 > 音楽理論 > 音響学 > 音響学の基礎

音は、気体、液体、固体を伝わる圧力の振動であり、進行波の形で、媒体中の任意の局所的な圧力変動によって発生することができます。音の伝わり方を理解するには、空間を薄い層に分割して考えるとわかりやすいでしょう。この層がある速度で振動（圧縮と緩和を繰り返す）することで、音は伝播し、波が発生します。音の速さは、媒質の圧縮性と密度に依存します。

この章では、均質な流体中の、音源のない領域での音波の伝播についてのみ考えることとします。

波動方程式

音波は、音響的な過圧というスカラー量の伝播で成り立っています。静止した媒質（静止した空気や水など）中の音波の伝播は、次の方程式で支配されます（波動方程式を参照して下さい）。

$\nabla ^{2}p-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=0$

この式は、理想気体（または理想的に圧縮可能な固体や液体）の保存式（質量、運動量、エネルギー）と熱力学的状態方程式を用いて、圧力変動が小さいと仮定し、音の減衰を考慮し、他の項を与える粘性と熱伝導を無視したものです。

音波の伝搬方程式において、$c_{0}$は音波の伝搬速度（空気層の振動速度とは関係ない）です。この伝搬速度は次のような式になります。

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\rho _{0}\chi _{s}}}}$

ここで、$\rho _{0}$は密度、$\chi _{S}$は伝搬媒質の圧縮率を表します。

ヘルムホルツ方程式　

音響波の速度場${\underline {v}}$は回転しないので、音響ポテンシャル$\Phi$を次のように定義することができます。

${\underline {v}}={\text{grad }}\Phi$

前項の伝搬方程式を用いると、簡単に新しい方程式を得ることができます。

$\nabla ^{2}\Phi -{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}=0$

フーリエ変換を適用すると、広く使われているヘルムホルツの方程式が得られます。

$\nabla ^{2}{\hat {\Phi }}+k^{2}{\hat {\Phi }}=0$

ここでいう$k$は、$\Phi$に関連する波数です。この方程式を使うのが、音響問題を解決する最も簡単な方法であることが多いのです。

音響インテンシティとデシベル　

音響インテンシティは、波の伝搬に伴う音響エネルギー束を表します。

${\underline {i}}(t)=p{\underline {v}}$

次に、平均強度を定義することができます。

${\underline {I}}=\langle {\underline {i}}\rangle$

しかしながら、私たちの耳の感度は対数であるため、音響インテンシティでは音の大きさがよくわからないのです。そこで私たちは、音響過大圧または音響平均強度を用いてデシベルを定義しているのです。

$p^{\rm {dB}}=20\log \left({\frac {p}{p_{\mathrm {ref} }}}\right)$  ; $L_{I}=10\log \left({\frac {I}{I_{\mathrm {ref} }}}\right)$

波動方程式を解く

平面波

音源から遠く離れた音波の伝搬を調べると、平面1次元波として考えることができます。伝播の方向をx軸とすると、解は

$\Phi (x,t)=f\left(t-{\frac {x}{c_{0}}}\right)+g\left(t+{\frac {x}{c_{0}}}\right)$

ここで、f と g は任意の関数であり、f は x が増加する方向の波の動きを表し、g は x が減少する方向の波の動きを表します。

運動量の方程式は、$p$と${\underline {v}}$の関係を提供し、次のように定義される比インピーダンスの表現につながります。

${\frac {p}{v}}=Z=\pm \rho _{0}c_{0}$

そして、やはり平面波の場合、音響インテンシティは次のような式になります。

${\underline {i}}=\pm {\frac {p^{2}}{\rho _{0}c_{0}}}{\underline {e_{x}}}$

球面波

一般的には、波は任意の方向に伝搬し、球面波となる。このような場合、音響ポテンシャル$\Phi$の解は

$\Phi (r,t)={\frac {1}{r}}f\left(t-{\frac {r}{c_{0}}}\right)+{\frac {1}{r}}g\left(t+{\frac {r}{c_{0}}}\right)$

音源までの距離が伸びるとポテンシャルが直線的に減少するのは、エネルギー保存則の帰結に過ぎません。球面波の場合、音響インテンシティだけでなく、比インピーダンスも簡単に計算できます。

境界条件

波動方程式を解くための境界条件については、2つの状況に分けることができます。媒質が吸収性でない場合、境界条件は通常の力学の方程式を用いて設定されます。しかし、吸収性のある物質の場合には、音響インピーダンスの概念を用いるのが簡単です。

非吸収性材料　

この場合、界面での応力と速度のどちらかについて、明示的な境界条件を得ることができます。これらの条件は、媒体が固体であるか、非粘性流体であるか、粘性流体であるかによって異なります。

吸収性材料　

この場合、音響インピーダンスを境界条件とします。このインピーダンスは、多くの場合、実験的な測定によって与えられ、材料、流体、音波の周波数に依存します。