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この項は高等学校数学I 二次関数の演習問題Aである。
二次関数
のグラフを平行移動して、頂点が次の点に来るようにしたとき、その放物線の式を求めよ。
![{\displaystyle (2,3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b31c93ba409b1d9834540d2a9fa66e8ab5a3d8dc)
![{\displaystyle (-1,4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f28d2e1cccecb605d9a336b548762e3c3e879d)
![{\displaystyle (-4,-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6dc5958a7219bf23418f2d14147d2dc7ad624b0)
解答
の二次関数
のグラフが三点
を通るとき、
を
の式で表せ。
解答
四次関数
の最小値、最大値を(あれば)求めよ。また
がそれらの値を取るときの
の値も求めよ。
解答
二次関数
の定義域
における最大値
と最小値
を求めよ。
解答
あるいは
。
あるいは
。
あるいは
。
求める式を
とおく。これらが与えられた点を通るから、
![{\displaystyle {\begin{cases}3=4a+2b+c&\cdots (1)\\4=a+b+c&\cdots (2)\\2=a-b+c&\cdots (3)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ee789da38da3667e505c260212806443dfd906)
がなりたつ。
- (2) - (3) より
。 よって、
… (4)。
- (1) - (3) より
。(4) を代入して、
。
- (1) より
。
以上より、求める式は
。
と置くことで、
は
の二次関数となる。
![{\displaystyle y=x^{4}+2x^{2}+1=(x^{2})^{2}+2(x^{2})+1=t^{2}+2t+1=(t+1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479632c418aa242c51408f7e247dd5cc10cfbbc3)
であることに注意すると、この関数は
のとき最小値1をとる。すなわち、
のとき最小値1をとる。
最大値は存在しない。ほぼ明らかだが、ここでは丁寧に示してみよう。ある実数
が
の最大値であるとする。
であるから、
は実数である。そして、この
に対して
![{\displaystyle y=(x^{2}+1)^{2}=M+1>M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2704627187483df679415f1f6a166c475a2828dd)
である。これは
が最大値であることと矛盾する。よって、最大値は存在しない。
![{\displaystyle f(x)=2\left(x-{\frac {a}{4}}\right)^{2}-{\frac {a^{2}}{8}}+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a95f1e9c8bfc362a3ae23d6be120fcc826d34a)
であるから、グラフの軸
の位置により場合分けする。
最大値については、
のとき、すなわち
のとき、
である。
のとき、すなわち
のとき、
である。
最小値については、
のとき、すなわち
のとき、
である。
のとき、すなわち
のとき、
である。
のとき、すなわち
のとき、
である。