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高等学校数学I 二次関数 演習A

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

この項は高等学校数学I 二次関数の演習問題Aである。

問題

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問1

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二次関数 のグラフを平行移動して、頂点が次の点に来るようにしたとき、その放物線の式を求めよ。

解答

問2

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の二次関数のグラフが三点 を通るとき、の式で表せ。

解答

問3

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四次関数 の最小値、最大値を(あれば)求めよ。また がそれらの値を取るときの の値も求めよ。

解答

問4

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二次関数の定義域における最大値と最小値を求めよ。

解答

解答

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問1

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  1. あるいは
  2. あるいは
  3. あるいは

問2

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求める式を とおく。これらが与えられた点を通るから、

がなりたつ。

(2) - (3) より 。 よって、 … (4)。
(1) - (3) より 。(4) を代入して、
(1) より

以上より、求める式は

問3

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と置くことで、の二次関数となる。

であることに注意すると、この関数はのとき最小値1をとる。すなわち、のとき最小値1をとる。

最大値は存在しない。ほぼ明らかだが、ここでは丁寧に示してみよう。ある実数の最大値であるとする。 であるから、は実数である。そして、このに対して

である。これはが最大値であることと矛盾する。よって、最大値は存在しない。

問4

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であるから、グラフの軸の位置により場合分けする。

最大値については、

のとき、すなわちのとき、である。
のとき、すなわちのとき、である。

最小値については、

のとき、すなわちのとき、である。
のとき、すなわちのとき、である。
のとき、すなわちのとき、である。