高等学校数学I 二次関数 演習A

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この項は高等学校数学I 二次関数の演習問題Aである。

問題[編集]

問1[編集]

二次関数 のグラフを平行移動して、頂点が次の点に来るようにしたとき、その放物線の式を求めよ。

(1) (2,3)
(2) (-1,4)
(3) (-4,-2)

解答

問2[編集]

xの二次関数yのグラフが三点 (2,3), (1,4), (-1,2) を通るとき、yをxの式で表せ。

解答

問3[編集]

四次関数 がある。次の設問に答えよ。

解答

問3-1
この四次関数を二つの二次関数の積に書き直せ。
例:
問3-2
この四次関数の最小値、最大値を求めよ。また y がそれらの値を取る時の x の値も求めよ。

解答[編集]

問1[編集]

(1) あるいは
(2) あるいは
(3) あるいは

問2[編集]

求める式を とおく。これらが与えられた点を通るから、

がなりたつ。

(2) - (3) より 。 よって、 … (4)。
(1) - (3) より 。(4) を代入して、
(1) より

以上より、求める式は

問3[編集]

四次関数の問題で驚いたかもしれないが、式を変形していけば、最終的に二次関数の問題として捉えられる。二次関数の形として整理できれば、後は自分の持っている知識で解けるだろう。

問3-1

このような問題では、適当な式を文字に置き換える。この場合では、文字を 、適当な式を として、 とすればうまく式をまとめられる。

t を元に戻して、

問3-2

結局、 だということがわかったので、このことをもとにこの四次関数の最大値、最小値を考えてみる。

ここでもまた、適当な式を文字におきかえて考えてみる。ここでは、 とする。そうすると、 となり、単純な二次関数の形になる。 の定義域に注目する。まず s の定義から、 であるから、 である。よって、

()

という単純な二次関数の最大最小問題に帰結することができた。 の最小値は、 の時、 である。 よって、 すなわち、 のとき、与えられた四次関数の最小値は

最大値は存在しない。通常は示す必要はないと思うが、ここではこれを示しておく。仮に、そのような最大値が存在すると仮定して、その最大値を その時の の値を とする。 である。さらに、 とする。

仮定から が最大値であるので、少なくとも である。 このとき、

が成り立つはずである。しかし、 から であるので、これは矛盾を生じてしまう。したがって最大値は存在しない。