高等学校数学 数学活用

社会生活における数理的な考察

社会生活と数学

利息の複利

合法的な借金の利子（りし）・利息（りそく）のつきかたの計算法には、主に単利（たんり）と複利（ふくり）という2種類があります。

最初の時期の金額にだけ利率が掛かるのが単利です。

いっぽう、利率によって増額した金額にも利率が掛かるのが複利です。

たとえば、例として8万円を貸した場合を考えてみます。年間の利率を10％とします。

単利では、1年後には合計で8万8千円を返すことになります（ 80000 ＋ 0.1×80000 ）。1年後に1円も返さないでいると、単利では2年後には9万6000円を返す必要があります（ 80000 ＋ 0.1×80000 ＋ 0.1×80000 ）。 3年後は10万4000円です（ 104000 ＝ 80000 ＋ 0.1×80000 ＋ 0.1×80000 ＋ 0.1×80000 ）。

このように、利率のぶんの足し算で、どんどんと合計金額が増えていくのが単利です。

指数関数のグラフ

いっぽう、複利では、どうなるでしょうか。

複利でも、1年後には88000円とここまでは同じですが、しかし2年後には 88000×1.1＝96800 として（2年後は） 96800円、さらに3年後には 96800×1.1円として合計金額は106480円になります。

これが複利です。

公式にすると、期間を n とすると、

（単利の合計金額） ＝ （元の金額）×（1＋ n× 利率/100 ）

（複利の合計金額） ＝ （元の金額）×（1＋ 利率/100 ）ⁿ

です。

数学的に重要なこととしては、複利では、指数関数のように早いスピードで量が増加していきます。

なお、金融の用語ですが、この問題での8万円のように、利子の掛かる前のもともとの金額のことを 元金（がんきん）といいます。