2のi乗の求め方

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
ナビゲーションに移動 検索に移動

物理数学I 解析学 > 【コーヒーブレーク】2のi乗の求め方


i乗?虚数乗なんて求められるのか?と思う方もいらっしゃるかもしれませんが、求められます。この本では2のi乗の求め方について解説します。

はじめに[編集]

2のi乗をGoogleで検索してみましょう。0.769238901 + 0.638961276iと表示されましたね。このような値はどのようにして求めるのでしょうか?

など、指数部分が整数であればのように、2を指数部分回掛けることで簡単に求めることができます。しかし、指数部分が虚数ではこのような定義は使えません。

そこで登場するのがオイラーの公式と呼ばれるものです。このオイラーの公式を次に示します:

次のセクションで、このオイラーの公式を使って2のi乗を求める方法について述べます。

オイラーの公式を使って2のi乗を求める[編集]

では、オイラーの公式を使って2のi乗を求めてみましょう。オイラーの公式を見ると、左辺の指数関数の底がeとなっています。まずの底をeに変換することを考えます。
次のように、のk倍で表されると考えましょう:

kについて式を整理すると

両辺の自然対数をとって

右辺を変形して

kについて式を整理して

このようにしてkが求められました。元の式にkを代入すると

以上のように、の底をeに変換できました。求めたいのはの値ですから、この式にx=iを代入します:

ここでオイラーの公式を使います。オイラーの公式とすると:

となり、2のi乗の値が求められました! 右辺はコンピュータの電卓ソフトウェアを使うか、関数電卓等で計算してみましょう。0.769238901... + 0.638961276i...となるはずです。 この求め方は2のi乗だけでなく、任意の正の数aについて、aのi乗を求めることにも応用できます。

参考文献[編集]

  1. オイラーの公式 東北大学情報通信工学科 [1]