線型代数学/計量ベクトル空間

出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』

< 線型代数学

移動: ナビゲーション, 検索

このページでは、２、３次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ（ノルム）や内積を定義する。

２、３次元の数ベクトルの場合は、高等学校数学B ベクトルを参照のこと。

[編集] 数ベクトルのノルム・内積

[編集] ノルム

ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは||a||で表され、

$||\mathbf{a}||=\sqrt {\sum^{n}_{i=1} |a_i|^2}$

と定義される。これをaのノルムと言う。

例

$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 3\\ 5\\ 6\\ 2\\ 4\\ \end{pmatrix}$

$||\mathbf{a}||=\sqrt{3^2+5^2+6^2+2^2+4^2}=3\sqrt 10$

演習

次のベクトルのノルムを求めよ

$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}$
$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ 0\\ 8\\ 6\\ 9\\ 3\\ \end{pmatrix}$
$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}$
$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} 3\\ 4\\ \end{pmatrix}$
$\mathbf{a}= \begin{pmatrix} a\\ \sqrt a\\ 3a\\ \sqrt 3a\\ \end{pmatrix}$

[編集] 内積

ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。

$(\mathbf{a},\mathbf{b}) = \sum^{n}_{i=1} a_ib_i$

をaとbの内積という。

特に2,3次元空間ベクトルaとbとの内積は、aとbのなす角をθとすると、

$(\mathbf{a},\mathbf{b})=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$

と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。

内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。

(a,a)=||a||²
aとbが直交する⇔(a,b)=0^[1]
c(a,b)=(ca,b)=(a,cb)
(a,b+c)=(a,b)+(a,c)
(a+b,c)=(a,c)+(b,c)
(a,b)=(b,a)
||a||+||b||≧||a+b||（三角不等式）
|(a,b)|≦||a||||b||(シュワルツの不等式）

^ なす角について上で述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。

演習

空間ベクトル

$\mathbf{x}= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}$

とのなす角が $\pi\over6$ であり、かつ

$\mathbf{y}= \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 4\\ \end{pmatrix}$

とのなす角が $\pi\over4$ であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。

注）そのようなベクトルはただひとつではない。

[編集] $\R,\C$ 上の線型空間でのノルム・内積

次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。

[編集] 定義

$\ V$ 　を　 $\R$ 　または　 $\C$ 上の線型空間とする。（以下、 $\bold K$ は一般の体ではなく、実数体 $\R$ または複素数体 $\C$ を指すことにする）

$\bold x,\bold y \in \ V$ に対して、 $\bold K$ の元をかえすような演算 $(\bold x, \bold y)$ が次の（Ⅰ）～（Ⅳ）の性質をみたすとき、 $(\bold x, \bold y)$ を内積という。

（Ⅰ） $(\bold x,\bold y_1 + \bold y_2) = (\bold x,\bold y_1) + (\bold x,\bold y_2)$: $(\bold x_1 +\bold x_2, \bold y) = (\bold x_1,\bold y) + (\bold x_2,\bold y)$

（Ⅱ） $(c\bold x,\bold y) = c(\bold x,\bold y) ,(\bold x,c\bold y) = \bar c(\bold x,\bold y)$: （ $\bar c$ は $\ c$ の複素共役）

（Ⅲ） $(\bold x,\bold y) = \overline {(\bold y,\bold x)}$

（Ⅳ） $(\bold x, \bold x) \geq 0$: $(\bold x,\bold x) = 0$ が成り立つのは、 $\bold x = \bold 0$ のときに限る。

また、

$|| \bold x || = \sqrt{(\bold x ,\bold x)}$

で定義される量をxのノルムという。

このように、内積が定義された線型空間を計量ベクトル空間（計量線型空間）という。

[編集] 例

１． $\ V = \C^n ,\bold x,\bold y \in \C^n$ のとき、

$(\bold x,\bold y) = \sum^{n}_{i=1} x_i\bar y_i$

とすれば、これは内積になっている。

２． $\ V = \ M(m,n;\R) ,\ A,\ B \in \ M(m,n;\R)$ 　のとき、

$(\ A,\ B) = \ Tr(^tA \ B)$

とすれば、これは内積になっている。（Trについては行列概論を参照）

３． $\ V =$ { $0 \leq x \leq 1$ 上連続な関数} , $\ f(x),\ g(x)$ は $0 \leq x \leq 1$ 上連続な関数のとき、

$(\ f(x),\ g(x)) = \int^{1}_{0} f(x)g(x) dx$

とすれば、これは内積になっている。

[編集] 三角不等式・シュワルツの不等式

ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。

定理　 $\forall \bold x,\forall \bold y \in \ V$ に対して、次の（１）,（２）の不等式が成り立つ。

（１） $|(\bold x,\bold y)| \leq ||\bold x|| \cdot ||\bold y||$ （シュワルツの不等式）

等号が成り立つのは、 $\bold x = \alpha \bold y$ と書ける場合のみ。

（２） $|| \bold x + \bold y || \leq || \bold x || + || \bold y ||$

等号が成り立つのは、実数 $\beta \geq 0$ を用いて、 $\bold y = \beta \bold x$ と書ける場合のみ。

（証明）（１） $\ a,b \in \bold K$ 　とすると

$0 \leq ||a\bold x + b\bold y||^2 = (a\bold x + b\bold y,a\bold x + b\bold y) = |a|^2||\bold x||^2 + a\bar b(\bold x,\bold y) + \bar a b(\bold y,\bold x) + |b|^2||\bold y||^2$

ここで、 $\ a = ||\bold y||^2 ,\ b = -(\bold x,\bold y)$ とおけば、

$\begin{align} 0 & \leq ||\bold y ||^4 ||\bold x||^2 - ||\bold y||^2 \overline{(\bold x,\bold y)} (\bold x,\bold y) - ||\bold y||^2 (\bold x,\bold y)\overline{(\bold x,\bold y)} + |(\bold x,\bold y)|^2||\bold y||^2 \\ &= ||\bold y||^2(||\bold x||^2||\bold y||^2- |(\bold x,\bold y)|^2)\\ \end{align}$

両辺を　 $||\bold y||^2$ で割り、正の平方根をとれば、

$|(\bold x,\bold y)| \leq ||\bold x|| \cdot ||\bold y||$ 　　となる。

等号が成り立つのは、 $0 = ||a\bold x + b\bold y||^2$ すなわち、 $\bold 0 = a\bold x + b\bold y$ となるときだから、 $\bold x = \alpha \bold y$ 　と書ける。

逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□

（２） $\begin{align} ||\bold x + \bold y||^2 = (\bold x + \bold y,\bold x + \bold y) & = ||\bold x||^2 + (\bold x, \bold y) + (\bold y,\bold x) + ||\bold y||^2\\ & \leq ||\bold x||^2 + 2|(\bold x, \bold y)|+ ||\bold y||^2 \\ & \leq ||\bold x||^2 + 2||\bold x|| ||\bold y|| + ||\bold y||^2 \\&= (||\bold x + \bold y||)^2\\ \end{align}$

したがって、正の平方根をとれば　 $|| \bold x + \bold y || \leq || \bold x || + || \bold y ||$ 　となる。

1つ目の等号は $(\bold x, \bold y)$ が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は　 $\bold x = \alpha \bold y$ 　と書けるとき成り立つ。この２つの条件から、実数 $\beta \geq 0$ を用いて、 $\bold y = \beta \bold x$ と書けるときのみ等号が成立する□

[編集] 基底の直交化

[編集] 種々の特徴的な変換

[編集] 随伴変換

[編集] ユニタリ変換と直交変換

[編集] エルミート変換と対称変換

[0] なす角について上で述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。

[1]

線型代数学/計量ベクトル空間

出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』

目次

[編集] 数ベクトルのノルム・内積

[編集] ノルム

[編集] 内積

[編集] $\R,\C$ 上の線型空間でのノルム・内積

[編集] 定義

[編集] 例

[編集] 三角不等式・シュワルツの不等式

[編集] 基底の直交化

[編集] 種々の特徴的な変換

[編集] 随伴変換

[編集] ユニタリ変換と直交変換

[編集] エルミート変換と対称変換

表示

個人用ツール

ナビゲーション

ヘルプ

印刷/エクスポート

検索

ツールボックス

線型代数学/計量ベクトル空間

出典: フリー教科書『ウィキブックス（Wikibooks）』

目次

[編集] 数ベクトルのノルム・内積

[編集] ノルム

[編集] 内積

[編集] 上の線型空間でのノルム・内積

[編集] 定義

[編集] 例

[編集] 三角不等式・シュワルツの不等式

[編集] 基底の直交化

[編集] 種々の特徴的な変換

[編集] 随伴変換

[編集] ユニタリ変換と直交変換

[編集] エルミート変換と対称変換

表示

個人用ツール

ナビゲーション

ヘルプ

印刷/エクスポート

検索

ツールボックス

[編集] $\R,\C$ 上の線型空間でのノルム・内積