ガロア理論/代数的閉体

定義

定義 (代数的閉体 algebraically closed field)

体 $F$ が代数的閉(algebraically closed)であるとは、任意の定数でない多項式 $f(x)\in F[x]$ に対して $\alpha \in F$ があって $f(\alpha )=0$ となることをいう。

例

• 複素数体 $\mathbb {C}$ は代数的閉体である。これは 代数学の基本定理と呼ばれる事実である。
• 有理数体上代数的である複素数を代数的数という。${\bar {\mathbb {Q} }}$ を代数的数全体とすると、これは代数的閉体である。

(証明) 体であることはガロア理論/代数拡大#定理 6から明らか。$f(x)\in {\bar {\mathbb {Q} }}[x]$ を定数でない多項式として、複素数体 $\mathbb {C}$ が代数的閉体であることから、$\alpha \in \mathbb {C}$ で $f(\alpha )=0$ となるものがある。この $\alpha$ が実は代数的数であることを示せば良い。

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ として、$\alpha$ は $\mathbb {Q} (a_{0},\cdots ,a_{n})$ 上代数的であり、$\mathbb {Q} (a_{0},\cdots ,a_{n})$ は $\mathbb {Q}$ 上代数的である (ガロア理論/代数拡大#系 7より) ので、ガロア理論/代数拡大#定理 5より $\alpha$ は $\mathbb {Q}$ 上代数的である。

命題1

代数的閉体 $K$ について、$K[x]$ の多項式は一次の式に分解される。つまり、任意の多項式が $a_{0}(X-a_{1})\cdots (X-a_{n})$ という形である。

証明

次数に関する帰納法。

代数的閉包とその存在性

定義 (代数的閉包 algebraic closure)

体 $F$ の代数的閉包(代数閉包) ${\bar {F}}$ とは、$F$ の拡大体であり、かつ代数的閉であるような体のことをいう。

さて、このページで最も重要な定理は次である。

定理2

$F$ を体とする。
(i) $F$ の代数的閉包が存在する。
(ii) $K/F,K'/F$ を代数拡大とし、$f:K\rightarrow K'$ が $F$ 上の体の同型であるとする。また、${\bar {K}},{\bar {K'}}$ をそれぞれの代数的閉包とする。このとき、同型 ${\bar {f}}:{\bar {K}}\rightarrow {\bar {K'}}$ で $f:K\rightarrow K'$ の拡張になっているものがある。
(iii) $F$ の代数的閉包はみな $F$ 上同型である。
(注) (ii) において、${\bar {K}},{\bar {K'}}$ はそれぞれ $F,F'$ の代数閉包でもある。

この定理は重要であるが、その証明はガロア理論の本質に関係のあるものではないため、読み飛ばすことを推奨する。