ガロア理論/準備

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体とは[編集]

定義 ()

集合 と写像 について、 と書くことにする。このとき、 が(可換)体であるとは、以下の条件を満たすことを言う。

  1. 結合法則 : 任意の に対して
  2. 単位元の存在 : が存在して、任意の に対して この 0 という元を加法の単位元という。
  3. 逆元の存在 : 加法の単位元 に対して、任意の に対して が存在して
  4. 交換法則 : 任意の に対して
  5. 結合法則 : 任意の に対して
  6. 単位元の存在 : が存在して、任意の に対して この 1 という元を加法の単位元という。
  7. 逆元の存在 : 加法の単位元 に対して、任意の に対して、 が存在して ただし、 は加法の単位元である。
  8. 交換法則 : 任意の に対して
  9. 結合法則 : 任意の に対して

基本的には「 は体である」というより、演算を省略して「 は体である」ということが多い。

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  • は、自然な加法と乗法について体となる。
  • は、自然な加法と乗法について体にはならない。乗法の逆元が常に存在するとは限らないからである。
  • 有限体

命題 1[編集]

の加法の単位元、乗法の単位元は共にただ一つ存在する。

証明

省略。群論参照。

命題 2[編集]

の元 の加法の逆元はただひとつ存在する。 なら、乗法の逆元はただひとつ存在する。

証明

省略。群論参照。

このことから、加法の逆元を 、乗法の逆元 などと書く。

準同型[編集]

定義

の間の準同型 とは、以下を満たす写像である。

  • 任意の に対して
  • 任意の に対して

簡単に分かる性質として以下を挙げる。

  • より、
  • より
  • のとき、 より

命題 3[編集]

体の準同型 は単射である。

証明

のとき、乗法の逆元が存在し、なので、である。 よって、のとき、なので、、すなわちである。 すなわち、fは単射である。

定義

体の同型写像とは、準同型であり、かつ全単射であることを言う。

体という数学的構造を扱う際、同型な体は同じ構造を持っているとみなすことができる。

命題 4[編集]

体の同型写像の逆写像はまた準同型写像である。

証明

練習問題。

体の拡大[編集]

定義

とその部分集合 について、 の演算 上に制限したときの行き先が必ず に入り、かつ、その制限写像によって が体になるとき、 の部分体である、 は体の拡大である、という。

このとき包含写像が準同型になることに注意。

体の準同型 があるとき、 が同型であることから、命題 4 とあわせて、体の準同型があれば同型を除けばそれは体の拡大である、と思うことができる。

  • は体の拡大である。
  • は体の拡大。ただし、

体上の準同型[編集]

定義

を体の拡大とする。 が体 上の(準)同型であるとは、体の(準)同型であり、かつ 上では恒等写像であることをいう。

その他の定義[編集]

定義

体の拡大 について、 がその中間体であるとは、 が体の拡大になっていることをいう。


命題 5[編集]

体の拡大 および中間体 について、 は中間体である。

証明

体の演算について閉じていることを機械的に確かめるだけなので、省略。群論参照。


命題 6[編集]

体の拡大 および集合 について、 を含むような の中間体のうち、包含順序について最小の中間体が存在する。

証明

を含むような の中間体全体の集合として、命題 5 を適用する。

定義

命題 6 で存在が保証される体を と書く。特に が有限集合である場合、 とも書く。


命題 7[編集]

体の拡大 および集合 について、 が存在して
ただし、 上の 変数有理関数体であり、その元は 係数多項式 と表せるもの全体からなる。

証明

命題の主張にある集合 が体であることを確認する(省略)。そうすると、明らかに であり、 を含む中間体である。逆に、そのような任意の中間体は を含む。


命題 8[編集]

体の拡大 と体 上の準同型 について、 であるならば である。

証明

命題7 より。詳細は読者に委ねる。