ガロア理論/準備

体とは

定義 (体)

集合 $K$ と写像 $+:K\times K\rightarrow K,\ \cdot :K\times K\rightarrow K$ について、 $+(a,b)=a+b,\ \cdot (a,b)=ab$ と書くことにする。このとき、 $(K,+,\cdot )$ が(可換)体であるとは、以下の条件を満たすことを言う。

結合法則 : 任意の $a,b,c\in K$ に対して $(a+b)+c=a+(b+c).$
単位元の存在 : $0\in K$ が存在して、任意の $a\in K$ に対して $a+0=0+a=a.$ この 0 という元を加法の単位元という。
逆元の存在 : 加法の単位元 $0$ に対して、任意の $a\in K$ に対して $a'\in K$ が存在して $a+a'=a'+a=0.$
交換法則 : 任意の $a,b\in K$ に対して $a+b=b+a$
結合法則 : 任意の $a,b,c\in K$ に対して $(ab)c=a(bc).$
単位元の存在 : $1\in K$ が存在して、任意の $a\in K$ に対して $a1=1a=a.$ この 1 という元を加法の単位元という。
逆元の存在 : 加法の単位元 $1$ に対して、任意の $0\neq a\in K$ に対して、 $a'\in K$ が存在して $aa'=a'a=1.$ ただし、 $0$ は加法の単位元である。
交換法則 : 任意の $a,b\in K$ に対して $ab=ba.$
結合法則 : 任意の $a,b,c\in K$ に対して $a(b+c)=ab+ac,(a+b)c=ac+bc.$
$0\neq 1.$

基本的には「 $(K,+,\cdot )$ は体である」というより、演算を省略して「 $K$ は体である」ということが多い。

例

$\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ は、自然な加法と乗法について体となる。
$\mathbb {Z}$ は、自然な加法と乗法について体にはならない。乗法の逆元が常に存在するとは限らないからである。
有限体 $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} .$

命題 1

体 $K$ の加法の単位元、乗法の単位元は共にただ一つ存在する。

証明

体は加法に関して群なので一般論より成り立つ。群論参照。

命題 2

体 $K$ の元 $x$ の加法の逆元はただひとつ存在する。 $x\neq 0$ なら、乗法の逆元はただひとつ存在する。

証明

体 $K$ は加法に関して、またその部分集合 $K^{\ast }:=K\setminus \{0\}$ は乗法に関してそれぞれ群を成すので、一般論より成り立つ。群論参照。

このことから、加法の逆元を $-x$ 、乗法の逆元 $x^{-1}$ などと書く。

準同型

定義

体 $K,F$ の間の準同型 $f:K\rightarrow F$ とは、以下を満たす写像である。

任意の $a,b\in K$ に対して $f(a+b)=f(a)+f(b).$
任意の $a,b\in K$ に対して $f(ab)=f(a)f(b).$
$f(1)=1.$

簡単に分かる性質として以下を挙げる。

$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$ より、 $f(0)=0.$
$f(x)+f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=0$ より $f(-x)=-f(x).$
$x\neq 0$ のとき、 $1=f(1)=f(xx^{-1})=f(x)f(x^{-1})$ より $f(x^{-1})=f(x)^{-1}.$

命題 3

体の準同型 $f:K\rightarrow F$ は単射である。

証明

$x\neq 0$ のとき、乗法の逆元 $x^{-1}$ が存在し、 $f(x)f(x^{-1})=1$ なので、 $f(x)\neq 0$ である。よって、 $x\neq y$ のとき、 $x-y\neq 0$ なので、 $f(x-y)\neq 0$ 、すなわち $f(x)\neq f(y)$ である。すなわち、fは単射である。 $\Box$

定義

体の同型写像とは、準同型であり、かつ全単射であることを言う。

体という数学的構造を扱う際、同型な体は同じ構造を持っているとみなすことができる。

命題 4

体の同型写像の逆写像はまた準同型写像である。

証明

練習問題。

体の拡大

定義

体 $K$ とその部分集合 $F$ について、 $K$ の演算 $+,\cdot :K\times K\rightarrow K$ を $F\times F$ 上に制限したときの行き先が必ず $F$ に入り、かつ、その制限写像によって $F$ が体になるとき、 $F$ は $K$ の部分体である、 $K/F$ は体の拡大である、という。

このとき包含写像が準同型になることに注意。

体の準同型 $f:K\rightarrow F$ があるとき、 $K,f(K)$ が同型であることから、命題 4 とあわせて、体の準同型があれば同型を除けばそれは体の拡大である、と思うことができる。

例

$\mathbb {C} /\mathbb {R} ,\ \mathbb {R} /\mathbb {Q}$ は体の拡大である。
$\mathbb {Q} ({\sqrt {-2}})/\mathbb {Q}$ は体の拡大。ただし、 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-2}})=\{a+b{\sqrt {-2}}\in \mathbb {C} |a,b\in \mathbb {Q} \}.$

体上の準同型

定義

$K/F,\ K'/F$ を体の拡大とする。 $f:K\rightarrow K'$ が体 $F$ 上の(準)同型であるとは、体の(準)同型であり、かつ $F$ 上では恒等写像であることをいう。

自己同型群

定義

$K/F$ を体の拡大とする。 $K/F$ の自己同型とは、 $F$ 上の同型写像 $f:K\rightarrow K$ のことをいう。自己同型全体の集合 $\operatorname {Aut} (K/F)$ には、写像の合成を積とする群構造が入る。これを自己同型群という。

その他の定義

定義

体の拡大 $K/F$ について、 $L$ がその中間体であるとは、 $K/L,\ L/F$ が体の拡大になっていることをいう。

命題 5

体の拡大 $K/F$ および中間体 $L_{i}\ \ \ (i\in I)$ について、 $L=\bigcap _{i\in I}L_{i}$ は中間体である。

証明

体の演算について閉じていることを機械的に確かめるだけなので、省略。群論参照。

命題 6

体の拡大 $K/F$ および集合 $S\subseteq K$ について、 $S$ を含むような $K/F$ の中間体のうち、包含順序について最小の中間体が存在する。

証明

$\{L_{i}\}_{i}$ を $S$ を含むような $K/F$ の中間体全体の集合として、命題 5 を適用する。

定義

命題 6 で存在が保証される体を $F(S)$ と書く。特に $S=\{\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\}$ が有限集合である場合、 $F(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})$ とも書く。

命題 7

体の拡大 $K/F$ および集合 $S\subseteq K$ について、 $F(S)=\{\alpha \in K\ :\ f(X_{1},\cdots ,X_{n})\in F(X_{1},\cdots ,X_{n}),\ \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\in S$ が存在して $\alpha =f(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\}.$
ただし、 $F(X_{1},\cdots ,X_{n})$ は $F$ 上の $n$ 変数有理関数体であり、その元は $F$ 係数多項式 $f,g(\neq 0)\in F[X]$ で $f/g$ と表せるもの全体からなる。