ガロア理論/Galoisの基本定理

命題 ( Galoisの基本定理 )

$K/F$ を有限次 Galois 拡大、$G$ をその Galois 群とする。$G$ の部分群 $H$ に対して

$\Phi (H)=\{\;\alpha \in K\;|\;\alpha ^{\sigma }=\alpha \;(\forall \sigma \in H)\;\}$

は $K/F$ の中間体であり、また $K/F$ の中間体 $E$ に対して、

$\Gamma (E)=G(K/E)=\{\;\sigma \in G\;|\;\alpha ^{\sigma }=\alpha \;(\forall \alpha \in E)\;\}$

は $G$ の部分群であって，関係

$\Gamma (\Phi (H))=H,\;\Phi (\Gamma (E))=E$

が成り立つ。それゆえ、$K/F$ の中間体 $E$ と $G$ の部分群 $H$との間には、互いに他の逆である 1 対 1 の対応

$H\to \Phi (H),\;E\to \Gamma (E)$

が存在する。