一般相対性理論

自然科学 > 物理学 > 一般相対性理論

ここではミンコフスキー空間の計量を ${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$ とする。

リーマン幾何学

ベクトル解析では基底は、${𝒆}_i=\frac{\frac{\partial 𝒓}{\partial x^i}}{\left|\frac{\partial 𝒓}{\partial x^i}\right|}$ と定義していた。ここで、$\left|\frac{\partial 𝒓}{\partial x^i}\right|$ で割っているのは、規格化のためで必須ではない。そこで、基底として $\frac{\partial 𝒓}{\partial x^i}$ を取ることが出来るだろう。基底として重要なものは変換則である。$\frac{\partial 𝒓}{\partial x^i}$ と $\frac{\partial }{\partial x^i}$ は同じ変換を受けるから、$\frac{\partial }{\partial x^i}$ を基底として採用しても問題ない。これからは微分作用素のことをベクトルとして扱うことになる。これを、${\partial }_{\mu }=\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}$ と略記する。

さて、基底 ${\partial }_{\mu }$ によって張られる $A=A^{\mu }{\partial }_{\mu }$ を反変ベクトルという。

双対空間の基底として、$d{x}^{\mu }({\partial }_{\nu })={\delta }^{\mu }{}_{\nu }$ となる線形作用素 $d{x}^{\mu }$ を定義すると、$d{x}^{\mu }(A)=A^{\nu }d{x}^{\mu }({\partial }_{\nu })=A^{\mu }$ となる。これは反変ベクトル $A$ から成分 $A^{\mu }$ を取り出す演算子である。$d{x}^{\mu }$ を基底して $B_{\mu }d{x}^{\mu }$ で表されるものを共変ベクトルという。

多様体において大きさを導入するためには、ベクトル解析における内積が必要である。リーマン幾何学における内積の対応物は計量 $g$ と呼ばれる。計量は内積と同様に双線型形式である必要がある。したがって、

$g(A,B)=g(A^{\mu }{\partial }_{\mu },B^{\nu }{\partial }_{\nu })=A^{\mu }{B}^{\nu }g({\partial }_{\mu },{\partial }_{\nu })$

となる。ここで $g({\partial }_{\mu },{\partial }_{\nu })=g_{\mu \nu }$ と定義する。

基底は ${\partial }_{\mu }=\frac{\partial x{\text{'}}^{\nu }}{\partial x^{\mu }}\partial {\text{'}}_{\nu }$ と変換する。反変ベクトルを別の座標系で表すと、$A=A{\text{'}}^{\mu }\partial {\text{'}}_{\mu }$となる。２つの基底の間の成分の関係は、

$A=A^{\mu }{\partial }_{\mu }=A^{\mu }\frac{\partial x{\text{'}}^{\nu }}{\partial x^{\mu }}\partial {\text{'}}_{\nu }=A{\text{'}}^{\nu }\partial {\text{'}}_{\nu }$

より、$A{\text{'}}^{\mu }=\frac{\partial x{\text{'}}^{\mu }}{\partial x^{\nu }}{A}^{\nu }$ と変換することが分かる。これは反変ベクトルの変換則である。

$dx{\text{'}}^i(A)=A{\text{'}}^i=\frac{\partial x{\text{'}}^i}{\partial x^j}{A}^j=\frac{\partial x{\text{'}}^i}{\partial x^j}d{x}^j(A)$

であるから、

$dx{\text{'}}^i=\frac{\partial x{\text{'}}^i}{\partial x^j}d{x}^j$

との変換則を得る。

基底 ${\partial }_{\mu }$ の平行移動を

${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{\partial }_{\mu }={\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \mu }^{\beta }{\partial }_{\beta }$

で定義する。このとき

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }A& ={\mathrm{\nabla }}_{\alpha }(A^{\mu }{\partial }_{\mu })\\ & ={\mathrm{\nabla }}_{\alpha }(A^{\mu }){\partial }_{\mu }+A^{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{\partial }_{\mu }\\ & ={\partial }_{\alpha }(A^{\mu }){\partial }_{\mu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \mu }^{\beta }{A}^{\mu }{\partial }_{\beta }\\ & ={\partial }_{\alpha }(A^{\mu }){\partial }_{\mu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }{A}^{\beta }{\partial }_{\mu }\end{array}$

より、

${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }{A}^{\mu }=A^{\mu }{}_{,\alpha }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }{A}^{\beta }$

となる。

${\partial }_{\mu }$と $d{x}^{\mu }$をいつくか組み合わせて、 ${\partial }_{{\mu }_1}\otimes \cdots \otimes {\partial }_{{\mu }_r}\otimes d{x}^{{\nu }_1}\otimes \cdots \otimes d{x}^{{\nu }_s}$ という量を作って、これによって張られるものをテンソルという。すなわち、テンソルは $T=T^{{\mu }_1\cdots {\mu }_r}{}_{{\nu }_1\cdots {\nu }_s}{\partial }_{{\mu }_1}\otimes \cdots \otimes {\partial }_{{\mu }_r}\otimes d{x}^{{\nu }_1}\otimes \cdots \otimes d{x}^{{\nu }_s}$ と書かれる。

$g$ を計量テンソルの行列式とする。計量テンソルの $(\mu ,\nu )$ 小行列式を ${\tilde{g}}_{\mu \nu }$ とすると、

$\frac{\partial g}{\partial g_{\mu \nu }}={\tilde{g}}_{\mu \nu }=g{g}^{\mu \nu }$

となるから、

$dg=g{g}^{\mu \nu }d{g}_{\mu \nu }$

を得る。

$d\sqrt{-g}=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}dg=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}g{g}^{\mu \nu }d{g}_{\mu \nu }$

は、

$\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^{\lambda }}=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\lambda }}$

となるから、

${\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \mu }^{\mu }=\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }\frac{\partial g_{\mu \nu }}{\partial x^{\lambda }}=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^{\lambda }}$

を得る。

また、ベクトル $A^{\mu }$ に対して、

$A^{\mu }{}_{;\mu }=A^{\mu }{}_{,\mu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\lambda \mu }^{\mu }{A}^{\lambda }=A^{\mu }{}_{,\mu }+\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^{\lambda }}{A}^{\lambda }=\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial (\sqrt{-g}{A}^{\lambda })}{\partial x^{\lambda }}$

となる。

ついでに、ラプラシアンの極座標における表式を求めてみよう。

$f^{;\mu }{}_{;\mu }={\left(g^{\mu \nu }\frac{\partial f}{\partial x^{\nu }}\right)}_{;\mu }=\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\mu }\left(\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\frac{\partial f}{\partial x^{\nu }}\right)$

極座標では、 $g_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,r^2,r^2{\sin }^2\theta )$ であるから、その逆行列は $g^{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1,\frac{1}{r^2},\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta })$ となる。また、$\sqrt{g}=r^2\sin \theta$ である。これらを代入することで、ラプラシアンが簡単に計算できる：

$\mathrm{△}f=f^{;\mu }{}_{;\mu }=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}.$

曲率テンソル

曲率テンソル $R^{\alpha }{}_{\beta \mu \nu }$ を

$[{\mathrm{\nabla }}_{\mu },{\mathrm{\nabla }}_{\nu }]A^{\alpha }=R^{\alpha }{}_{\beta \mu \nu }{A}^{\beta }$

で定義する。ここで、$[{\mathrm{\nabla }}_{\mu },{\mathrm{\nabla }}_{\nu }]A^{\alpha }=({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu })A^{\alpha }$ である。

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{A}^{\alpha }& ={\mathrm{\nabla }}_{\mu }(A^{\alpha }{}_{,\nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \nu }{A}^{\beta })\\ & =(A^{\alpha }{}_{,\nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \nu }{A}^{\beta }{)}_{,\mu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \lambda }(A^{\lambda }{}_{,\nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\beta \nu }{A}^{\beta })-{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \nu }(A^{\alpha }{}_{,\lambda }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \lambda }{A}^{\beta })\\ & =A^{\alpha }{}_{,\nu \mu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \nu ,\mu }{A}^{\beta }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \nu }{A}^{\beta }{}_{,\mu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \lambda }{A}^{\lambda }{}_{,\nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\beta \nu }{A}^{\beta }-{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \nu }(A^{\alpha }{}_{,\lambda }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \lambda }{A}^{\beta })\end{array}$

となるが、$A^{\alpha }{}_{,\nu \mu }$ と ${\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \nu }{A}^{\beta }{}_{,\mu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \lambda }{A}^{\lambda }{}_{,\nu }$ と $-{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\mu \nu }(A^{\alpha }{}_{,\lambda }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \lambda }{A}^{\beta })$ は $\mu \leftrightarrow \nu$ の入れ替えで変わらないから $-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu }{A}^{\alpha }$ の対応する部分と打ち消し合う。${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{A}^{\alpha }$ の残る部分は

${\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \nu ,\mu }{A}^{\beta }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\beta \nu }{A}^{\beta }$

である。よって、$\mu \leftrightarrow \nu$ と入れ替えたものを引くと

$({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{\mathrm{\nabla }}_{\nu }-{\mathrm{\nabla }}_{\nu }{\mathrm{\nabla }}_{\mu })A^{\alpha }=({\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \nu ,\mu }-{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \mu ,\nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\beta \nu }-{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\nu \lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\beta \mu })A^{\beta }$

となる。従って、

$R^{\alpha }{}_{\beta \mu \nu }={\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \nu ,\mu }-{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\beta \mu ,\nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\mu \lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\beta \nu }-{\mathrm{\Gamma }}^{\alpha }{}_{\nu \lambda }{\mathrm{\Gamma }}^{\lambda }{}_{\beta \mu }$

を得る。

リッテンソルを $R_{\mu \nu }=R^{\alpha }{}_{\mu \alpha \nu }$ で定義する。また、リッチスカラーを $R=R^{\alpha }{}_{\alpha }$ で定義する。

弱い重力場の計量テンソル

速度 $v\ll c$ で、重力ポテンシャル $\varphi$ の場の中にある質量 $m$ の粒子の作用は

$S=\int (-m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2-m\varphi )dt$

で与えられる。一方、

$S=-mc\int ds$

であるから、

$ds=(c-\frac{v^2}{2c}+\frac{\varphi }{c})dt$

を得る。両辺を二乗して、$v\ll c$ となるから、

$d{s}^2=(c^2+2\varphi -v^2)d{t}^2=(c^2+2\varphi )d{t}^2-d{𝒓}^2$

ここで、$v^{2}d{t}^2=d{𝒓}^2$ を使った。また、計量テンソルは

$d{s}^2=c^2{g}_{00}d{t}^2+g_{11}d{x}^2+\cdots$

で定義されるものだから、

$g_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1+\frac{2\varphi }{c^2},-1,-1,-1)$

を得る。

アインシュタイン方程式

電磁場との類推から、重力場のラグランジアンは、計量テンソルの一回微分 $g_{\mu \nu ,\lambda }$ に関する二次の量 $G$ であろう。しかし、 $g_{\mu \nu ,\lambda }$ は任意の一点ですべて0とすることができる。このことは、局所慣性系で ${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }$ がすべて0となることから明らかである。したがって、 $G$ はスカラーではない。ところで、リッチスカラー $R$ は

$R\sqrt{-g}=G\sqrt{-g}+{\partial }_{\mu }{D}^{\mu }$

の形に変形することができ、作用は

$\int R\sqrt{-g}{d}^{4}x=\int G\sqrt{-g}{d}^{4}x+\int {\partial }_{\mu }{D}^{\mu }{d}^{4}x$

のようになる。第二項の積分はガウスの定理よって、四次元の面積分に変換され、境界で $\delta g_{\mu \nu ,\lambda }=0$ という条件を課せば変分で第二項は消えることになる。

重力場のラグランジアンは $\kappa$ を定数として

${ℒ}_g=-\frac{1}{2\kappa }R$

で与えられることが分かる。物質場のラグランジアンを ${ℒ}_m$ とすれば、全系の作用は

$S=\frac{1}{c}\int (-\frac{1}{2\kappa }G+{ℒ}_m)\sqrt{-g}{d}^{4}x$

となる。変分は、

$\begin{array}{cc}\delta S& =\delta \frac{1}{c}\int (-\frac{1}{2\kappa }G+{ℒ}_m)\sqrt{-g}{d}^{4}x\\ & =-\frac{1}{2\kappa c}\int (\frac{\partial (G\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }}-\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}\frac{\partial (G\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }{}_{,\lambda }})\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x+\frac{1}{c}\int \frac{\partial ({ℒ}_m\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }}\delta g^{\mu \nu }{d}^{4}x\\ & =\frac{1}{c}\int (-\frac{1}{2\kappa }{G}_{\mu \nu }+\frac{1}{2}{T}_{\mu \nu })\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{d}^{4}x\end{array}$

である。ただし、$G_{\mu \nu },T_{\mu \nu }$ はそれぞれアインシュタインテンソルとエネルギー・運動量テンソルで、

$G_{\mu \nu }=\frac{1}{\sqrt{-g}}(\frac{\partial (G\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }}-\frac{\partial }{\partial x^{\lambda }}\frac{\partial (G\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }{}_{,\lambda }})$

$T_{\mu \nu }=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\partial ({ℒ}_{𝓂}\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }}$

で定義される。

$\delta S=0$ という条件から、アインシュタイン方程式

$G_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

を得る。

しかし、まだアインシュタインテンソルの具体的な表式を得ていない。これを $G$ から計算することは大変だから、直接変分することによって求める。

$\delta \int g^{\mu \nu }{R}_{\mu \nu }\sqrt{-g}{d}^{4}x=\int (\delta g^{\mu \nu }(R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R)+g^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu })\sqrt{-g}{d}^{4}x$

ここで、ある一点で ${\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }=0$ となる局所慣性系を使うと、リッチテンソルは

$R_{\mu \nu }={\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu ,\lambda }^{\lambda }-{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda ,\nu }^{\lambda }$

となり、その変分は、

$\delta R_{\mu \nu }=\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu ,\lambda }^{\lambda }-\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda ,\nu }^{\lambda }$

で与えられる。

また、 $\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\beta \gamma }^{\alpha }$ はテンソルだから、任意の座標系で

$\delta R_{\mu \nu }=\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu ;\lambda }^{\lambda }-\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda ;\nu }^{\lambda }$

となることがわかる。

よって、

$\begin{array}{cc}\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\delta R_{\mu \nu }& =\sqrt{-g}(g^{\mu \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }{)}_{;\lambda }-\sqrt{-g}(g^{\mu \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \lambda }^{\lambda }{)}_{;\nu }\\ & =\sqrt{-g}(g^{\mu \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }{)}_{;\lambda }-\sqrt{-g}(g^{\mu \lambda }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\nu }{)}_{;\lambda }\\ & ={\partial }_{\lambda }(\sqrt{-g}{g}^{\mu \nu }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\lambda }-\sqrt{-g}{g}^{\mu \lambda }\delta {\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\nu })\end{array}$

となるから、これは積分して0となる。

最終的に、

$\begin{array}{cc}\delta \int R\sqrt{-g}{d}^{4}x& =\delta \int G\sqrt{-g}{d}^{4}x\\ & =\int G_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{d}^{4}x\\ & =\int (R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R)\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{d}^{4}x\end{array}$

となるから、アインシュタインテンソルは、

$G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R$

である。

したがって、アインシュタイン方程式は、

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R=\kappa T_{\mu \nu }$

(1)

となる。添字を上げて、

$R_{\nu }^{\mu }-\frac{1}{2}{\delta }_{\nu }^{\mu }R=\kappa T_{\nu }^{\mu }$

縮約を取ると、

$R=-\kappa T$

となる。よって、アインシュタイン方程式は、$T=T_{\mu }^{\mu }$ と置いて、

$R_{\mu \nu }=\kappa (T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }T)$

(2)

とも変形することが出来る。特に、真空中（$T_{\mu \nu }=0$）では、

$R_{\mu \nu }=0$

(3)

となる。

エネルギー運動量テンソルの表式を求める。電磁場のラグランジアン

${ℒ}_m=-\frac{1}{4{\mu }_0}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }$

について、公式

$\frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial g^{\mu \nu }}=\frac{1}{2\sqrt{-g}}g{g}_{\mu \nu }$

を使ってテンソルの微分を実行すれば

$T_{\mu \nu }=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\partial ({ℒ}_{𝓂}\sqrt{-g})}{\partial g^{\mu \nu }}=2\frac{\partial {ℒ}_m}{\partial g^{\mu \nu }}-g_{\mu \nu }{ℒ}_m$

となる。ここで、

${ℒ}_m=-\frac{1}{4{\mu }_0}{g}^{\mu \alpha }{g}^{\nu \beta }{F}_{\alpha \beta }{F}_{\mu \nu }=-\frac{1}{4{\mu }_0}{g}^{\mu \nu }{g}^{\alpha \beta }{F}_{\nu \beta }{F}_{\mu \alpha }$

となるから、

$\frac{\partial {ℒ}_m}{\partial g^{\mu \nu }}=-\frac{1}{4{\mu }_0}\times 2g^{\alpha \beta }{F}_{\mu \alpha }{F}_{\nu \beta }=-\frac{1}{2{\mu }_0}{F}_{\mu \alpha }{F}_{\nu }{}^{\alpha }$

となる。すなわち、

$T_{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}(-F_{\mu \alpha }{F}_{\nu }{}^{\alpha }+\frac{1}{4}{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }{g}_{\mu \nu })$

を得る。これは、ミンコフスキー空間では、特殊相対性理論での電磁場のエネルギー運動量テンソルに一致する。

最後に、アインシュタイン定数 $\kappa$ の値を求める。アインシュタイン方程式が、弱い重力場

$g_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(1+\frac{2\varphi }{c^2},-1,-1,-1)$

の極限で、さらに、静的な場合に、ニュートンの重力理論

$\mathrm{△}\varphi =4\pi G\rho$

に一致することを示し、定数を決定する。ここで、$G$ は重力定数、$\rho$ は質量密度である。

エネルギー・運動量テンソルは、

$T_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}\rho c^2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

$T=g^{00}\rho c^2$

となる。アインシュタイン方程式の00成分は

$R_{00}=\frac{\kappa c^2}{2}\rho$

となる。クリストッフェル記号は

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\alpha }& =\frac{1}{2}{g}^{\alpha \beta }({\partial }_{\nu }{g}_{\mu \beta }+{\partial }_{\mu }{g}_{\nu \beta }-{\partial }_{\beta }{g}_{\mu \nu })\\ & \approx \frac{1}{2}{\eta }^{\alpha \beta }({\partial }_{\nu }{g}_{\mu \beta }+{\partial }_{\mu }{g}_{\nu \beta }-{\partial }_{\beta }{g}_{\mu \nu })\end{array}$

と近似することができる。

また、リッチテンソルの $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\Gamma }$ の項は、二次の微小量となるから無視すると、

$R_{\mu \nu }\approx {\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\alpha }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \alpha }^{\alpha }$

と近似できる。

さらに、静的な場合だから、 $t$ に関する微分が0となることに注意すると、

$\begin{array}{cc}{R}_{00}& ={\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\alpha }-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{0\alpha }^{\alpha }\\ & \approx {\partial }_i{\mathrm{\Gamma }}_{00}^i\\ & =-\frac{1}{2}{\partial }_i({\partial }_0{g}_{0i}+{\partial }_0{g}_{0i}-{\partial }_i{g}_{00})\\ & \approx \frac{1}{2}{\partial }_i{\partial }_i{g}_{00}\\ & \approx \frac{\mathrm{△}\varphi }{c^2}\end{array}$

となる。従って、

$\mathrm{△}\varphi =\frac{\kappa c^4}{2}\rho$

となる。この係数は $4\pi G$ であるから、

$\kappa =\frac{8\pi G}{c^4}$

を得る。最終的にアインシュタイン方程式は、

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

となる。

宇宙項

$S=\frac{1}{c}\int (-\frac{1}{2\kappa }(R-2\mathrm{\Lambda })+{ℒ}_m)\sqrt{-g}{d}^{4}x$

とすると、

$\delta \int 2\mathrm{\Lambda }\sqrt{-g}{d}^{4}x=-\int \mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\sqrt{-g}{d}^{4}x$

となるから、アインシュタイン方程式は、

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}{g}_{\mu \nu }R+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

となる。宇宙定数 $\mathrm{\Lambda }$ は通常小さい値のため無視することができるが、宇宙論的な議論をする際には重要になる。

シュワルツシルト解

球対称な物質が作り出す重力場の真空解について考えよう。球対称な空間の計量は

$d{s}^2=A(t,r)d{t}^2-B(t,r)d{r}^2-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2)$

の形になる。計算を簡単にするために、$A=c^2{e}^{2\nu }B=e^{2\lambda }$ とすると

$d{s}^2=e^{2\nu }{c}^{2}d{t}^2-e^{2\lambda }d{r}^2-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2)$

となる。すなわち、

$g_{\mu \nu }=\mathrm{diag}(e^{2\nu },-e^{2\lambda },-r^2,-r^2{\sin }^2\theta )$

$g^{\mu \nu }=\mathrm{diag}(e^{-2\nu },-e^{-2\lambda },-\frac{1}{r^2},-\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta })$

となる。真空中のアインシュタイン方程式(3)の $R_{\mu \nu }$ を求める前に ${\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }$ を求めなくてはならない。一見計算量が膨大だと思うかもしれないが、$g_{\mu \nu }$ は非対角成分が0であることによって割と簡単に計算できる。例えば、

${\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\frac{1}{2}{g}^{\mu \nu }(g_{\alpha \nu ,\beta }+g_{\beta \nu ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\nu })$

は、

${\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\frac{1}{2}{g}^{\mu \mu }(g_{\alpha \mu ,\beta }+g_{\beta \mu ,\alpha }-g_{\alpha \beta ,\mu })$

となる。さらに、$\mu ,\alpha ,\beta$ が相異なる場合は括弧内の部分に対角成分は存在し得ないから0となる。また、$\mu ,\alpha ,\beta$ の２つのみが同じ整数の場合、括弧内の対角項のみが残る。例えば、

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{00}^1& =\frac{1}{2}{g}^{11}(g_{01,0}+g_{01,0}-g_{00,1})\\ & =-\frac{1}{2}{g}^{11}{g}_{00,1}\\ & ={\nu }^{\prime }{e}^{2(\nu -\lambda )}\end{array}$

である。$\mu ,\alpha ,\beta$ がすべて等しい整数の場合は、

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \alpha }^{\alpha }& =\frac{1}{2}{g}^{\alpha \alpha }(g_{\alpha \alpha ,\alpha }+g_{\alpha \alpha ,\alpha }-g_{\alpha \alpha ,\alpha })\\ & =\frac{1}{2}{g}^{\alpha \alpha }{g}_{\alpha \alpha ,\alpha }\end{array}$

となる。これに従って計算してみよう。$\dot{}$ は $ct$ についての微分、${{\displaystyle }}^{\prime }$ は $r$ についての微分を表す。

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{00}^0& =\frac{1}{2}{g}^{00}{g}_{00,0}\\ & =\dot{\nu }\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{10}^0& =\frac{1}{2}{g}^{00}{g}_{00,1}\\ & ={\nu }^{\prime }\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{11}^0& =-\frac{1}{2}{g}^{00}{g}_{11,0}\\ & =\dot{\lambda }{e}^{2(\lambda -\nu )}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{20}^0& =-\frac{1}{2}{g}^{00}{g}_{00,2}\\ & =0\end{array}$

${\mathrm{\Gamma }}_{21}^0=0$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{22}^0& =-\frac{1}{2}{g}^{00}{g}_{22,0}\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{30}^0& =-\frac{1}{2}{g}^{00}{g}_{00,3}\\ & =0\end{array}$

${\mathrm{\Gamma }}_{31}^0=0$

${\mathrm{\Gamma }}_{32}^0=0$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{33}^0& =-\frac{1}{2}{g}^{00}{g}_{33,0}\\ & =0\end{array}$

次に ${\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^1$ について：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{00}^1& =-\frac{1}{2}{g}^{11}{g}_{00,1}\\ & ={\nu }^{\prime }{e}^{2(\nu -\lambda )}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{10}^1& =\frac{1}{2}{g}^{11}{g}_{11,0}\\ & =\dot{\lambda }\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1& =\frac{1}{2}{g}^{11}{g}_{11,1}\\ & ={\lambda }^{\prime }\end{array}$

${\mathrm{\Gamma }}_{20}^1=0$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{21}^1& =\frac{1}{2}{g}^{11}{g}_{11,2}\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1& =\frac{1}{2}{g}^{11}{g}_{22,1}\\ & =-r{e}^{-2\lambda }\end{array}$

${\mathrm{\Gamma }}_{30}^1=0$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{31}^1& =\frac{1}{2}{g}^{11}{g}_{11,3}\\ & =0\end{array}$

${\mathrm{\Gamma }}_{32}^1=0$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{33}^1& =-\frac{1}{2}{g}^{11}{g}_{33,1}\\ & =-r{\sin }^2\theta e^{-2\lambda }\end{array}$

次に ${\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^2$ について：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{00}^2& =-\frac{1}{2}{g}^{22}{g}_{00,2}\\ & =0\end{array}$

${\mathrm{\Gamma }}_{10}^2=0$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2& =-\frac{1}{2}{g}^{22}{g}_{11,2}\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{20}^2& =\frac{1}{2}{g}^{22}{g}_{22,0}\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2& =\frac{1}{2}{g}^{22}{g}_{22,1}\\ & =\frac{1}{r}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2& =\frac{1}{2}{g}^{22}{g}_{22,2}\\ & =0\end{array}$

${\mathrm{\Gamma }}_{30}^2=0$

${\mathrm{\Gamma }}_{31}^2=0$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{32}^2& =\frac{1}{2}{g}^{22}{g}_{22,3}\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{33}^2& =-\frac{1}{2}{g}^{22}{g}_{33,2}\\ & =-\sin \theta \cos \theta \end{array}$

最後に ${\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^3$ について：

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{00}^3& =-\frac{1}{2}{g}^{33}{g}_{00,3}\\ & =0\end{array}$

${\mathrm{\Gamma }}_{10}^3=0$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{11}^3& =-\frac{1}{2}{g}^{33}{g}_{11,3}\\ & =0\end{array}$

${\mathrm{\Gamma }}_{20}^3=0$

${\mathrm{\Gamma }}_{21}^3=0$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{22}^3& =-\frac{1}{2}{g}^{33}{g}_{22,3}\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{30}^3& =\frac{1}{2}{g}^{33}{g}_{33,0}\\ & =0\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3& =\frac{1}{2}{g}^{33}{g}_{33,1}\\ & =\frac{1}{r}\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{32}^3& =\frac{1}{2}{g}^{33}{g}_{33,2}\\ & =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{33}^3& =\frac{1}{2}{g}^{33}{g}_{33,3}\\ & =0\end{array}$

となる。

次に、リッチテンソルを計算する。まずは、$R_{10}$ を計算する。

$\begin{array}{cc}{R}_{10}& ={\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{01}^{\alpha }-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 1}^{\alpha }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{01}^{\beta }-{\mathrm{\Gamma }}_{0\beta }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 1}^{\beta }\\ & ={\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0+{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{01}^1-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3\\ & +({\mathrm{\Gamma }}_{00}^0+{\mathrm{\Gamma }}_{10}^1){\mathrm{\Gamma }}_{01}^0+({\mathrm{\Gamma }}_{00}^0+{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{33}^3){\mathrm{\Gamma }}_{01}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{00}^0{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0-{\mathrm{\Gamma }}_{00}^1{\mathrm{\Gamma }}_{11}^0-{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0{\mathrm{\Gamma }}_{01}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{01}^1{\mathrm{\Gamma }}_{01}^1{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1\end{array}$

となる。ここで、

${\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{01}^{\alpha }={\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0+{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{01}^1$

$\begin{array}{cc}{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 1}^{\alpha }& ={\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0+{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1+{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2+{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3\\ & ={\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0+{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1\end{array}$

である。${\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{01}^1={\dot{\lambda }}^{\prime },{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1={\dot{\lambda }}^{\prime }$ であるから、

${\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{01}^{\alpha }-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 1}^{\alpha }=0$

となる。よって、

$\begin{array}{cc}{R}_{10}& ={\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{01}^{\beta }-{\mathrm{\Gamma }}_{0\beta }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 1}^{\beta }\\ & =({\mathrm{\Gamma }}_{00}^0+{\mathrm{\Gamma }}_{10}^1){\mathrm{\Gamma }}_{01}^0+({\mathrm{\Gamma }}_{00}^0+{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{33}^3){\mathrm{\Gamma }}_{01}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{00}^0{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0-{\mathrm{\Gamma }}_{00}^1{\mathrm{\Gamma }}_{11}^0-{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0{\mathrm{\Gamma }}_{01}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{01}^1{\mathrm{\Gamma }}_{01}^1{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1\\ & =(\dot{\nu }+\dot{\lambda }){\nu }^{\prime }+({\nu }^{\prime }+{\lambda }^{\prime }+\frac{2}{r})\dot{\lambda }-\dot{\nu }{\nu }^{\prime }-{\nu }^{\prime }{e}^{2(\nu -\lambda )}\dot{\lambda }{e}^{2(\lambda -\nu )}-{\nu }^{\prime }\dot{\lambda }-\dot{\lambda }{\lambda }^{\prime }\\ & =2\frac{\dot{\lambda }}{r}\end{array}$

となる。アインシュタイン方程式より $R_{10}=0$ となるから、

$\dot{\lambda }=0$

を得る。すなわち、$\lambda$ は $t$ に依存しない。クリストッフェル記号のうち $\dot{\lambda }$ を含む ${\mathrm{\Gamma }}_{11}^0=\dot{\lambda }{e}^{2(\lambda -\nu )}$, ${\mathrm{\Gamma }}_{10}^1=\dot{\lambda }$ は0となる。

次に $R_{00}$ を計算しよう。

$\begin{array}{cc}{R}_{00}& ={\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\alpha }-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 0}^{\alpha }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\beta }-{\mathrm{\Gamma }}_{0\beta }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 0}^{\beta }\\ & ={\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{00}^0+{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{00}^1-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{00}^0+{\mathrm{\Gamma }}_{00}^0{\mathrm{\Gamma }}_{00}^0+({\mathrm{\Gamma }}_{01}^0+{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3){\mathrm{\Gamma }}_{00}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{00}^0{\mathrm{\Gamma }}_{00}^0-{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0{\mathrm{\Gamma }}_{00}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{00}^1{\mathrm{\Gamma }}_{10}^0\\ & ={\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{00}^1+({\mathrm{\Gamma }}_{01}^0+{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3){\mathrm{\Gamma }}_{00}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0{\mathrm{\Gamma }}_{00}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{00}^1{\mathrm{\Gamma }}_{10}^0\end{array}$

より、

$e^{2(\lambda -\nu )}{R}_{00}={\nu }^{″}-{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }+\frac{2{\nu }^{\prime }}{r}+\nu {\text{'}}^2$

を得る。また、$R_{11}$ を計算すると、

$\begin{array}{cc}{R}_{11}& ={\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{11}^{\alpha }-{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 1}^{\alpha }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{11}^{\beta }-{\mathrm{\Gamma }}_{1\beta }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 1}^{\beta }\\ & ={\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1-{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0-{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1-{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2-{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3+({\mathrm{\Gamma }}_{01}^0+{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3){\mathrm{\Gamma }}_{11}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{10}^0{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0-{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{13}^3{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3\\ & =-{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0-{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2-{\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3+({\mathrm{\Gamma }}_{01}^0+{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3){\mathrm{\Gamma }}_{11}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{10}^0{\mathrm{\Gamma }}_{01}^0-{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{13}^3{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3\\ & =-{\nu }^{″}+{\nu }^{\prime }{\lambda }^{\prime }+\frac{2{\lambda }^{\prime }}{r}-\nu {\text{'}}^2\end{array}$

となる。アインシュタイン方程式 $R_{00}=R_{11}=0$ より、$e^{2(\lambda -\nu )}{R}_{00}+R_{11}=0$ となるから、

${\lambda }^{\prime }+{\nu }^{\prime }=0$

を得る。積分すると、

$\lambda +\nu =f(t)$

となる。これは $t=g(t^{\prime })$ の形の変換を施すことによって一般性を失うことなく

$\lambda +\nu =0$

とすることができる。

最後に $R_{22}$ を計算しよう。

$\begin{array}{cc}{R}_{22}& ={\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{22}^{\alpha }-{\partial }_2{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 2}^{\alpha }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{22}^{\beta }-{\mathrm{\Gamma }}_{2\beta }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 2}^{\beta }\\ & ={\partial }_1{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1-{\partial }_2{\mathrm{\Gamma }}_{32}^3+({\mathrm{\Gamma }}_{01}^0+{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2+{\mathrm{\Gamma }}_{31}^3){\mathrm{\Gamma }}_{22}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{23}^3{\mathrm{\Gamma }}_{32}^3\\ & =(-1+r{\lambda }^{\prime }-r{\nu }^{\prime })e^{-2\lambda }+1\end{array}$

となる。$\lambda +\nu =0$ とアインシュタイン方程式 $R_{22}=0$ より、

$(-1-2r{\nu }^{\prime })e^{2\nu }+1=0$

となる。

$(r{e}^{2\nu }{)}^{\prime }=1$

を積分して、

$e^{2\nu }=e^{-2\lambda }=1-\frac{r_g}{r}$

を得る。ここで、$r_g$ は積分定数であり重力半径と呼ばれる量である。最終的に計量は

$d{s}^2=(1-\frac{r_g}{r})c^{2}d{t}^2-\frac{d{r}^2}{1-\frac{r_g}{r}}-r^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\phi }^2)$

となる。さて、$r\to \mathrm{\infty }$ の極限では弱い重力場

$g_{00}\approx 1+\frac{2\varphi }{c^2}$

に一致する。ニュートン力学おけるポテンシャル

$\varphi =-\frac{Gm}{r}$

を代入すると、

$r_g=\frac{2Gm}{c^2}$

となる。

重力波

重力の効果が弱いとき、$h_{\mu \nu }$ を十分微小な量として、

$g_{\mu \nu }={\eta }_{\mu \nu }+h_{\mu \nu }$

と書くことができる。真空中のアインシュタイン方程式(3)によって計算する。クリストッフェル記号は、

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\alpha }& =\frac{1}{2}{g}^{\alpha \beta }({\partial }_{\nu }{g}_{\mu \beta }+{\partial }_{\mu }{g}_{\nu \beta }-{\partial }_{\beta }{g}_{\mu \nu })\\ & \approx \frac{1}{2}{\eta }^{\alpha \beta }({\partial }_{\nu }{h}_{\mu \beta }+{\partial }_{\mu }{h}_{\nu \beta }-{\partial }_{\beta }{h}_{\mu \nu })\end{array}$

となる。リッチテンソルは $h_{\mu \nu }$ に対する二次の項を無視すれば、

$\begin{array}{cc}{R}_{\mu \nu }& \approx {\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \nu }^{\alpha }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \alpha }^{\alpha }\\ & =\frac{1}{2}(-{\eta }^{\alpha \beta }{h}_{\mu \nu ,\alpha \beta }+h^{\alpha }{}_{\nu ,\alpha \mu }+h^{\alpha }{}_{\mu ,\alpha \nu }-h_{,\mu \nu })\end{array}$

となる。$h=h^{\alpha }{}_{\alpha }$ である。ここで、${\xi }^{\mu }$ を微小量として、座標変換 $x{\text{'}}^{\mu }=x^{\mu }+{\xi }^{\mu }$ をすることによって、ゲージ条件

$h^{\alpha }{}_{\beta ,\alpha }=\frac{1}{2}{\delta }_{\beta }^{\alpha }{h}_{,\alpha }$

を課す事が出来る。ゲージ条件により、最後の三項は打ち消し合い、

$R_{\mu \nu }=-\frac{1}{2}{\eta }^{\alpha \beta }{h}_{\mu \nu ,\alpha \beta }=-\frac{1}{2}◻h_{\mu \nu }$

となるから、アインシュタイン方程式は、

$◻h_{\mu \nu }=0$

と変形できる。これは波動方程式である。

参考文献

• エリ・デ・ランダウ、イェ・エム・リフシッツ著、恒藤敏彦、広重徹訳『場の古典論（原著第6版）』東京図書（1978）
• 中嶋慧、松尾衛『一般ゲージ理論と共変解析力学』現代数学社（2020）