一般相対性理論:微分可能多様体

<一般相対性理論

集合$\mathrm {M}$が滑らかな$n$次元多様体であるとは、次のような性質をもつ部分集合の族$\{O_{\alpha }\}$を持つことである。

1. 任意の点$p\in \mathrm {M}$は少なくとも一つの$O_{\alpha }$に属す。すなわち、$\mathrm {M} =\cup _{\alpha }O_{\alpha }$
2. 任意の$\alpha$から、$\mathbb {R} ^{n}$の開部分集合$U_{\alpha }$への全単射$\psi _{\alpha }:O_{\alpha }\longrightarrow U_{\alpha }$が存在する。
3. $O_{\alpha }\cap O_{\beta }$が空でないとき、写像$\psi _{\alpha }\circ \psi _{\beta }^{-1}:\psi _{\beta }[O_{\alpha }\cap O_{\beta }]\longrightarrow \psi _{\alpha }[O_{\alpha }\cap O_{\beta }]$は滑らか。

2つ目の公理の全単射を局所座標といい、局所座標の族を局所座標系という。局所座標系はMに（局所座標が連続写像になるような）位相を誘導する。

例

• ユークリッド空間$\mathbb {R} ^{n}$は恒等写像を局所座標として自明に$n$次元多様体となる。
• 2次元球面$S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}$は多様体である。

ただしこの場合、$S^{2}$は$\mathbb {R} ^{3}$の開部分集合ではないので、包含写像は局所座標ではない。$S^{2}$の一部（たとえば、半円をひとつ）を除いた領域から$\mathbb {R} ^{2}$への写像を定めることができ、除く部分が重ならないようにすればこの定義域の全体は$S^{2}$となるので、局所座標系を構成できる。したがって$S^{2}$は2次元多様体となる。