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一般相対性理論:微分可能多様体

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

<一般相対性理論

集合が滑らかな次元多様体であるとは、次のような性質をもつ部分集合の族を持つことである。

  1. 任意の点は少なくとも一つのに属す。すなわち、
  2. 任意のから、の開部分集合への全単射が存在する。
  3. が空でないとき、写像は滑らか。

2つ目の公理の全単射を局所座標といい、局所座標の族を局所座標系という。局所座標系はMに(局所座標が連続写像になるような)位相を誘導する。

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  • ユークリッド空間は恒等写像を局所座標として自明に次元多様体となる。
  • 2次元球面は多様体である。
ただしこの場合、の開部分集合ではないので、包含写像は局所座標ではない。の一部(たとえば、半円をひとつ)を除いた領域からへの写像を定めることができ、除く部分が重ならないようにすればこの定義域の全体はとなるので、局所座標系を構成できる。したがっては2次元多様体となる。