中学受験算数/数の性質

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数の性質[編集]

整数問題[編集]

倍数の判定[編集]

ある整数が、どんな倍数なのかを判定する方法を紹介します。もちろん、全ての倍数を判定するものではありませんが、ここで挙げているものだけでも覚えておくと大変便利です。

倍数 判定方法
2の倍数(偶数) 一の位が0か偶数
3の倍数 各位の数字の和が3の倍数
4の倍数 下2ケタが00または4の倍数
5の倍数 一の位が0または5
6の倍数 一の位が偶数かつ3の倍数の条件をみたす
7の倍数 何ケタでも使える方法:一の位の2倍と一の位を取った数の差が7の倍数か0のとき。(例 658→65-8×2=49で、49は7の倍数なので658は7の倍数。)
4ケタ以上の整数:下の位(一の位、十の位、……)から3ケタずつ組み分けし、奇数番目の組と偶数番目の組の和をもとめ、その差が7の倍数か0のとき。
8の倍数 百の位が偶数:下2ケタが8の倍数または00。
百の位が奇数:下2ケタが8の倍数ではない4の倍数。
9の倍数 各位の数字の和が9の倍数。
10の倍数 一の位が0
11の倍数 一の位から一つとばしに加えた数字の和と、十の位から一つとばしに加えた数の和について、それらの差が11の倍数か0。(例 3619→(9+6)-(1+3)=11だから、3619は11の倍数。)

素因数分解とその応用[編集]

2,3,5,7… のように、1とその数自身でしか、わりきれない数を 素数 といいます(1は素数には、ふくめません)。整数を、素数のかけ算のかたちに分解することを 素因数分解 といいます。たとえば12は 2×2×3 と素因数分解することができます。45の素因数分解は 3×3×5 です。

素因数分解を利用すると、ある数の約数の個数を調べることができます。

約数の個数を調べる[編集]

素因数分解を利用して、約数の個数を数えてみましょう。

  • 以下の数の約数の数をこたえなさい。
    • (1)50 (2)143 (3)2013 (4)1080 (5)5040

(1)について。まず、1とその数自身は必ず約数になります。ですから、1と50が出てきます。50を素因数分解すると、2×5×5となります。この結果から、2と5も約数です。そして、10と25もこの計算からわかります。ですから、答えは6個です。

(2)について。これも同じように考えます。素因数分解すると、11×13ですから、答えは4個です。

(3)について。ケタが多いですが、先ほどの整数の判別法を使えば3でわれそうです。その商、671も、判別法を使えば11でわれます。そして、その商61は素数です。そのため、3×11×61に因数分解できます。あとは、3×11、3×61、11×61がありますので、約数は8個です。

(4)について。素因数分解してみましょう。2×2×2×3×3×3×5です。これを先ほどの3問のように計算すると、時間もかかりますし、まちがえやすいです。 ここで、今までの問題で約数を書きだすとき、どうやっていたのかをもう一度振り返ってみましょう。素因数分解2×2×2×3×3×3×5に注目します。この素因数分解で重要なことは、1080は、2と3と5という素数でできています。そして、2は3個、3も3個、5が1個あります。つまり、2と3と5をそれぞれ何回か使えば約数ができるのです。

  • 2を使う回数:3回使う・2回使う・1回使う・0回使う(=使わない)……計4通り
  • 3を使う回数:3回使う・2回使う・1回使う・0回使う……計4通り
  • 5を使う回数:1回使う・0回使う……計2通り

あとで紹介する場合の数の考え方から、4通り×4通り×2通り=32で、答えは32個となります。

(5)について。これも(4)と同じように計算しましょう。すると、2×2×2×2×3×3×5×7となります。(4)のようにしてもいいのですが、もっと簡単にする方法があります。(4)をよく見てみましょう。どれも「0回使う(=使わない)」というのがありますね。ですから、回数はある素数の個数+1になるのです。この問題の場合、2は4個、3は2個、5と7は1個です。先ほどのことから、それぞれの個数に1を足してかけ算すると、5×3×2×2=60で、60個です。

約数の個数
  • ある数を素因数分解して、Aがp個×Bがq個×Cがr個×…… となるときの約数の個数
    • (p+1)×(q+1)×(r+1)×…… 個

0はいくつあるかを確かめる[編集]

1から10までの数をかけ算をしたとき、その積は一の位から0がいくつ続くでしょうか。

これをすべてかけ算する必要はありません。なぜなら、一の位が0になるには10をかけるしかないからです。そして、10の倍数の個数は0の数と同じです。たとえば100は 10×10 で10の倍数は2つ、100000は 10×10×10×10×10 で10の倍数は5個ですね。1から10までの数に10は一つしかありません。また、2×5もあります。ですから、このときには10の倍数は2個あります。したがって、1から10までの積には一の位から2個の0が並びます。なお、実際に求めてみると3628800となり、2個で正しいことがわかります(このような問題は計算が非現実的なことが多いです。)。

もう一問考えてみましょう。今度は1から300までの数をかけ算したときにその積は一の位から0がいくつ続くかを考えます。今度は10の倍数の数をすぐに数えることはできません。10,20,30…のほかに2×15、4×25などもあるからです。ここでポイントが2つあります。まず、10は2×5に素因数分解できる点です。このことから2×5の組がいくつ作れるかを考えます。そしてもう一つは2の個数と5の個数です。2×5の組を考えるのですが、明らかに5の個数が少ないはずです(例えば1から10までには2は8個ありますが、5は2個しかありません)。2×5の組の数は5の個数と同じなのです。

では5の倍数はいくつあるのでしょうか。それを確かめるためにまず300を5でわります。すると60となります。これは5の倍数が60個あることと同じです。次に25の倍数(つまり5が2個あるもの)の個数を考えます。これも同じように計算すると300÷25=12個です。最後に125の倍数(5が3つあるもの)の個数を計算すると、300÷125=2…50となりますが、あまりは考えませんので2個となります。以上の計算で出てきた個数をすべてたし算します。60+12+2=74となり、答えは「74個」となります。

数の性質の問題[編集]

  • 例題 2にかけても、1にかけても、整数になる最小の分数を求めなさい。
  • 考え方 最小の分数をとすると、が整数になればよいわけだから、は8と4の最小公倍数である8となる。また、は21と7の最大公約数である7となる。よって、答えは(=1)となります。

N進法[編集]