中学受験算数/文章題

つるかめ算

公式を使う方法

古い中国の数学の本や江戸時代の数学の本にものっている問題です。もともとはウサギとキジの数をきく問題でしたが、江戸時代の数学の本でおめでたい生き物とされたツルとカメにかわったといわれています。それでは、問題を見ていきましょう。

• ツルとカメがあわせて10匹います。そして、足が32本ありました。ツルとカメはそれぞれ、何匹ずついるでしょうか。

この問題では、まずカメしかいないとします。カメが10匹なら、足が40本ですね。では、ここでカメを1匹のぞいて、ツルを1羽いれてみましょう。すると、足の数は40-4+2=38本となります。さらに、ここからもう一匹、カメとツルを変えてみましょう。すると、38-4+2=36本ですね。もうお気づきでしょうか。すべてカメだとした時、一匹ずつカメとツルをかえていくと、足が2本ずつへっていくのです。問題を見ると、32本ですから、全てカメのときよりも8本へっています。ですから、4匹のカメをツルにかえたことがわかります。ですから、ツルは4羽、カメは6匹が答えとなります。

つるかめ算の問題は、ツルとカメの数をきくだけとはかぎりません。次の問題も見ていきましょう。

1. 160円のサンドイッチと190円のハンバーガーをあわせて20個買ったところ、3650円になりました。サンドイッチとハンバーガーはそれぞれ何個買いましたか。
2. 太郎さんは2つのアルバイトをしています。一つは時給850円で、もう一つは時給970円です。太郎さんは今月は120時間アルバイトをして、110400円の給料をもらいました。時給850円のアルバイトをした時間と時給970円のアルバイトをした時間をそれぞれこたえなさい。
3. 花子さんは正解すると5点もらえ、まちがうと3点引かれるクイズを20問行いました。結果は、68点でした。花子さんは何問正解したでしょうか。

どれもつるかめ算の考え方を使います。まず、1から。全部190円のハンバーガーを買ったとすれば3800円となります。ハンバーガー1個をサンドイッチ1個におきかえると3800-190+160=3770円となります。ですから、ハンバーガーをサンドイッチにかえると、30円ずつへっていきます。ここで大切な点は、ハンバーガー1個をサンドイッチ1個におきかえたとき、へっていく値段はハンバーガーとサンドイッチの値段の差と等しいということです。全部ハンバーガーのときと問題になっている3650円の差は150円です。そのため、サンドイッチの個数□×30=150で、□=5となります。答えは、サンドイッチ5個とハンバーガー15個となります。

2.について。これまでと同じように、全部時給970円のアルバイトをしていれば、970×120=116400です。そして、970円のアルバイトと850円のアルバイトの差は970-850=120です。もらった給料は110400円でしたから、116400-110400=6000円へっています。ここで、850円のアルバイトの時間を□とすると、□×120=6000で、□=50となります。よって、こたえは時給850円のアルバイトが50時間、970円のアルバイトが70時間となります。なお、この計算では、ケタが多く、計算ミスしやすいです。この問題では一の位がすべて0ですから、途中式では0を消してもかまいませんし、その方が計算ミスが減ります。ただし、最後の計算は□=5となりますが、0をもどして50とすることを忘れないようにしましょう。

3について。ここでも全問正解したと考えると100点になります。この問題では1問まちがうと、もらえるはずの5点だけでなく、さらに3点引かれることに注意しましょう。たとえば、19問正解した場合、100-5-3=92点になります。ですから、1問まちがうたびに100点から8点ずつ引かれると考えましょう。花子さんの点数は68点でしたから、32点へっています。ということは、1問で8点引かれる→4問で32点引かれるといえます。ただし、これは間違えた問題の数ですが、答えなければならないのは正解した問題数です。したがって、答えは「花子さんは16問正解した」です。

最後につるかめ算の公式を紹介しますが、これまでに見た考え方も忘れないようにしましょう。

つるかめ算の公式

1個当たりの数量をa，bとし、a<bとする。(例:ツル(足2本)とカメ(足4本)なら、a=2,b=4) (全個数×b-実際の合計数)÷(b-a)=aの個数

植木算

植木算のきほん

• 問1「10mの直線道路に2mごとに木を植えるとき、木は何本必要でしょうか。木は道の両はじにも植えます。」

まず、実際に図を書いて考えてみましょう。|を木、―を間の1mとします。

|――|――|――|――|――|

これを見ると6本の木が必要になることがわかりますね。

• 問2「12mの直線道路に3mごとに木を植えるとき、木は何本必要でしょうか。木は道の両はじにも植えます。」

これも同じようにしてみましょう。

|―――|―――|―――|―――|

これから5本の木が必要になることがわかります。

• 問3「100mの直線道路に4mごとに木を植えるとき、木は何本必要でしょうか。木は道の両はじにも植えます。」

今度は図を書くのはたいへんです。しかし、前の2つの問題の図をよく見てみましょう。問1では間が5つあり、木が6本あることがわかります。問2では間が4つ、木が5本でした。このことから、つぎのことが言えます。「間の数=道の長さ÷間の長さ」「木の本数=間の数＋1」この式を使うと、100÷4+1=26となり、答えは26本です。

• 問4「120mの直線道路に5mごとに木を植えるとき、木は何本必要でしょうか。なお、道の両はしには電柱があるので木は植えられません。」

問3の公式を使いたくなりますが、ちょっと気をつけてください。今度は両はしには木が植えられません。ですから、今度はすぐには公式が使えません。問1・2の図を使って考えてみましょう。今度は電柱を「?」で書きます。

?――|――|――|――|――? このとき、木は4本ですね。

?―――|―――|―――|―――? そして、こちらでは3本ですね。

このことから、このようなことがいえます。「両はしに木を植えられないとき:木の本数=間の数－1」間の数の求め方は同じです。ですから、これは120÷5－1=23で、答えは23本です。

• 問5「一辺が6mの正方形の土地の周りに2mごとに木を植えたい。木は何本必要でしょうか。」

今度も図を書いてみましょう。「・」を木、たて線とよこ線を1mとしてみてください。(レイアウトの都合からここでは図をのせません)そして、木の本数と線の本数を見てください。すると、間の数と木の本数が同じとなるはずです。このことからつぎのことが言えます。

「円や四角形などのまわりに立っている場合:木の本数＝間の数」。

土地は1辺6mの正方形ですから、長さは6×4=24mです。間の求め方は同じですので、24÷2=12で、答えは12本です。

植木算の公式

間の数=道の長さ÷間の長さ 一直線上に立っていて、両はしに木を植えるとき：木の本数＝木の間の数＋1 一直線上に立っていて、両はしに木を植えないとき：木の本数＝木の間の数－1 円などのまわりに立っている場合：木の本数＝間の数

公式を忘れそうになったら、自分でえんぴつやペンをならべてみるか、自分の手を見るといいでしょう。

植木算の応用問題

植木算はかならずしも木を植えたり、柱やコーンを立てたりする問題だけとは限りません。ここでは植木算の応用問題を見ていきます。

• 「2mの丸太があるとします。この丸太40cmをごとに切っていきます。丸太を切るのに1分30秒かかり、一回切るごとに30秒休むことにします。この丸太を切るのに必要な時間を答えなさい。」

これは「一直線上に立っていて、両はしに木を植えないとき」の植木算と同じとき方です。このことは図をかいてみるとわかります。ですから、「一直線上に立っていて、両はしに木を植えないとき」の植木算と同じ式を使うと切れ目の数がわかります。2mは200cmですから、200÷40=5で、切れ目が5つ入ります。そして、木を切るのに1分30秒、休みに30秒かかるので、一回の切れ目を入れるのに必要な時間は120秒(2分)として計算します。しかし、気をつけてください。最後の切れ目だけは休まなくてもいいので、90秒(1分30秒)で計算します。したがって、式は「120(秒)×4+90(秒)×1」となり、答えは570秒(9分30秒)となります。

• 「長さ10cmの短冊(たんざく)がたくさんあります。これを2cmののりしろをつけてつなげていきます。」

1. 10枚の短冊をつなげたときの長さを答えなさい。
2. 長さを130cmにするにはたんざくが何枚必要ですか。

1について。まず、同じ長さの5枚の短冊で簡単な図を書いてみましょう。「||」を2cmののりしろ、「―」を1cm、両はしを「?」とします。

?――――――――||――――――||――――――||――――――||――――――――?

両はしの短冊はのりしろが片方だけなので、のりしろのない部分は8cmですが、間の短冊はのりしろが2つあるので、のりしろのない部分は6cmとなります。そして短冊の数とのりしろのない部分は同じ数であること、のりしろのない部分は植木算の「間」と同じこと、のりしろの部分の数は「一直線上に立っていて、両はしに木を植えないときの植木算」で求められることがわかります。ですから、10-1=9で、のりしろの数は9つです。そしてのりしろの長さは2cmでしたから、9つ×2cm=18cmとなります。

つぎに、のりしろのない部分の長さを求めます。ここでは両はしを無視して考えます。なぜなら、両はしだけは長さがことなるからです。両はしの2枚をのぞいて考えるので、その間ののりしろのない部分は8つあることになります。そして、その長さは6cmでした。したがって、両はしではない部分の長さは8つ×6cm=48cmです。最後に両はしののりしろのない部分の長さは2つ×8cm=16cmです。

これをまとめると、「(9×2)+(8×6)+(2×8)」という式が出来ます。よって、「18+48+16=82」で、答えは82cmです。

2について。まず、先ほどの式を使って、3枚、4枚、5枚の短冊をつなげたときの長さを求めてみましょう。

• 3枚のとき:(2×2)+(1×6)+(2×8)=26cm
• 4枚のとき:(3×2)+(2×6)+(2×8)=34cm
• 5枚のとき:(4×2)+(3×6)+(2×8)=42cm

このことから1枚つなげるごとに8cmずつ長くなっていますね。つまり短冊の枚数と長さには比例の関係があることがわかります。

1の答えから10枚のとき、82cmでした。130cmにするには、「130-82=48」で、あと48cm必要ですね。よって、「48÷8=6」で、答えは「10枚+6枚=16枚」となります。

消去算

いきなりですが、例題を見てみましょう。

• 例題　えんぴつ3本とノート2冊を買うと410円に、えんぴつ5本とノート7冊を買うと1050円になります。えんぴつ1本とノート1冊の値段は、それぞれ何円ですか。

ここで、えんぴつ1本の値段を(1)、ノート1冊の値段を[1]としてみましょう。

仕事算

ある仕事を終えるのにかかる時間がことなる人が数人あつまって共同作業をしたとき、仕事を終えるまでに要する時間はいくらかを求める問題のことを仕事算と言います。まず、問題を見ていきましょう。

• 太郎さんは10日で仕事を終わらせます。次郎さんは15日で仕事を終わらせます。太郎さんと次郎さんがいっしょに仕事をしたら、何日で仕事を終わらせられますか。

まず、仕事の量を1とします。そうすると、太郎さんが一日にする仕事は${\frac {1}{10}}$と書けます。同じように次郎さんの一日にする仕事は${\frac {1}{15}}$と書けます。二人がいっしょに仕事をするのですから、一日の仕事は${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{6}}$となりますね。仕事にかかる日数は仕事の量÷一日にする仕事で求められますから、$1\div {\frac {1}{6}}=6$となります。ですから、答えは6日です。

実際の仕事の量がどれだけかはわからないのですから、仕事の量を1にする必要はありません。計算の中で分数が出てこないようにするには、太郎さんの仕事の日数と次郎さんの仕事の日数の最小公倍数を求めます。この最小公倍数を仕事の量とするのです。10と15の最小公倍数は30です。この問題では30が仕事の量です。太郎さんは一日に3の仕事を、次郎さんは2の仕事をすることになります。二人で一緒に仕事をするのですから、3+2=5が一日にする仕事の量です。仕事の量は30でしたから、30÷5=6で、やはり答えは6日です。

以上のように、この問題は整数・分数どちらでも解くことができます。ただ、中学受験の算数では分数を上手に使うことがもとめられるので、できれば分数を使った計算の方になれるようにしましょう。

では、次に応用問題を見ていきましょう。

• 教室をそうじするのに花子さんは15分、梅子さんは20分かかります。二人で一緒にそうじをしていましたが、途中で花子さんが6分間、先生に呼び出されました。そのあいだ、梅子さんが一人でそうじをしていました。先生に呼び出された花子さんが帰ってきたとき、ちょうどそうじが終わりました。二人が一緒にそうじをしていたのは何分ですか。先生に呼び出された花子さんが教室を出る時間や、教室に帰る時間は考えません。

まず、そうじの量を1とすると、花子さんが1分間にするそうじの量は${\frac {1}{15}}$、梅子さんは${\frac {1}{20}}$です。梅子さんは6分間一人でそうじをしていたのですから、${\frac {1}{20}}\times 6={\frac {3}{10}}$のそうじをしたことになります。ですから、のこりの${\frac {7}{10}}$を二人でそうじしたことになります。二人でそうじをした場合、${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{20}}={\frac {4}{60}}+{\frac {3}{60}}={\frac {7}{60}}$です。

あとは、そうじの量÷一分間にするそうじの量で計算します。つまり、${\frac {7}{10}}\div {\frac {7}{60}}=6$となり、答えは6分間です。

ニュートン算

ニュートン算という名前は、万有引力の法則を発見したニュートンが書いた数学の本にのっている問題から名付けられました。さっそく問題を見ていきましょう。

1. あるスーパーにお客が100人いました。午後8時30分となり、閉店時間が近くなったため、1分間に5人のお客が店を出ますが、あらたに1分間に1人のお客が店にやってきます。スーパーからお客がいなくなるのは何時何分ですか。
2. ウィキ牧場に牛を15頭放牧すると、30日で草を食べつくします。また、20頭放牧すると、20日で草を食べつくします。ただし、草は毎日決まった数だけ生えてきて、牛1頭が1日に食べる草の量は全て同じだとします。
   1. 55頭の牛を放牧すると、何日で草を食べつくしますか。
   2. 50日で草を食べつくすようにするには、何頭の牛を放牧すればいいですか。

ニュートンが書いた本に近いものは2の方ですが、1の方がやさしく、また、ニュートン算の基本を理解するのに向いています。

では、1から。1分間に店を出るお客は5人ですが、1人ずつお店に来るので、1分間に減る人数は4人です。今、お店には100人のお客がいるので、100÷4＝25で、25分後にお客がいなくなります。ですから、答えは午後8時55分となります。このように、はじめの量を実際にへる量(＝へらす量 － ふえる量)でわることで、なくなるまでの時間を求めることができます。これが、ニュートン算の基本的な考え方です。

ニュートン算の公式

はじめの量÷(へらす量 － ふえる量)＝はじめの量がなくなるまでの時間

2について。1とちがって、はじめにどれだけの草が生えているのかわかりませんね。ここで重要なことは仕事算の考え方です。ここでは、牛1頭が一日で食べる草の量を1とします。そうすると、15頭の牛が30日で食べた草の量は15×30＝450とすることができます。また、20頭の牛が20日で食べた草の量は20×20＝400です。ここで重要なことは「もし、20頭の牛が草を食べつくした後で、牛がいなくなったらどうなるか」ということです。牛がいなくなるのですから、草はそのまま生えてきます。では、どれだけ増えるのでしょうか。このときに15頭の牛が30日で食べた草の量である450がカギとなります。そうです。450-400＝50から、10日で50の草が生えることがわかります。このことから、1日に5の草が生えることもわかります。

15頭の牛が30日で食べた草の量450のうち、30日は草が生えたわけです。ですから、新しく生えた草の量は150、もともと生えていた草の量は300となります。

では、いよいよ問題を解いていきましょう。2の1はニュートン算の公式から「もともと生えていた草の量300÷(牛が1日に食べる草の量 － 1日に生えてくる草の量)」で求めることができます。式は、300÷(55－5)＝300÷50＝6で、答えは6日です。

2の2について。この場合、牛の頭数はわかりませんから、□としましょう。先ほどのことから、最初に生えていた草は300、50日で生える草は5×50＝250です。そのため、牛が食べる草の量は550となります。以上のことから、□×50＝550となりますから、□＝11となり、答えは11頭です。