中学受験算数/立体図形

立体図形

すい（錐）

すい（錐）とは、先がとがっている立体のことです。

角すい

底面が多角形になっているすいのことを角すいといいます。角すいの名前は底面の形によって決まります。たとえば、三角形ならば三角すい、四角形ならば四角すい、五角形ならば五角すいといいます。

三角すい

底面が三角形で、先がとがっている立体のことを三角すいと言います。

三角すいには、面が 4個あります。三角すいの頂点は 4個あります。三角すいには、辺は 6本あります。

正四面体の展開図のうち、展開の仕方のひとつは、つぎのようになります。

もうひとつ、正四面体のべつの展開のしかたがあるのですが、画像が見つからないので、必要なら外部のサイトなどで探してください。

四角すい

底面が四角形で、先がとがっている立体のことを四角すいと言います。

四角すいには、面が 4個あります。四角すいの頂点は 5個あります。四角すいには、辺は 8本あります。

円すい

カラーコーンのように、底面が円で先がとがっている立体のことを円すいと言います。

円すいには、面が 2つあります。（底面は円の面です。）

円すいの面のうち、底面は円です。

円すいの展開図で、扇形の部分の開いている角度を中心角 と言います。

円すいの表面積は、円の面積と、おうぎ形の面積を合わせた合計です。

円すいの側面は、展開すると、おうぎ形になる曲面の部分です。展開したときの、おうぎ形の半径を母線(ぼせん) と言います。ですから、（側面を展開したおうぎ形の弧の長さ）＝（底面の円の円周）となります。
つまり、（母線×2×3.14× 中心角/360 ）＝（底面の円の半径×2×円周率）です(a/bは、b分のaのことです）。
それぞれを2×3.14でわると、（母線×中心角/360）＝（底面の円の半径）となります。
側面のおうぎ形の面積は、母線×母線×円周率×中心角/360 で求められますが、上の「母線×中心角/360 ＝底面の円の半径」より、
「底面の円の半径×母線×円周率」という式で求められます。

角錐・円錐の体積

角錐や円錐の体積は、三角錐も四角錐も、どんな角錐や円錐でも、

底面積×高さ $\times {\frac {1}{3}}$

で求められます。

なぜ、角錐の体積の式が、こうなるかの説明は、むずかしいので、このまま式を、おぼえてください。(角錐の体積の求め方は、小学校では習わないため、注意書きで書いてある場合があります[書いていない学校もある]。)

正多面体

全ての面が合同な正多角形で、1つの頂点に集まる面の数が全て同じ多面体を 正多面体といいます。以下の5種類があります。この5種類以外にはありません。

正四面体

同じ大きさの正三角形が4個集まってできた立体です。三角錐のうちの、すべての辺の長さが等しいものでもあります。

正六面体

同じ大きさの正方形が6個集まってできた立体です。立方体ともいいます。

正八面体

同じ大きさの正三角形が8個集まってできた立体です。すべての辺の長さが等しい正四角錐2つの底面をぴったりと重ねたものです。立方体の各面の中心を結ぶことでつくることができます。

正十二面体

同じ大きさの正五角形が12個集まってできた立体です。

正二十面体

同じ大きさの正三角形が20個集まってできた立体です。

正多面体
名前	面の形	頂点に集まる面の数	頂点の数	辺の数
正四面体	正三角形	3	4	6
正六面体(立方体)	正方形	3	8	12
正八面体	正三角形	4	6	12
正十二面体	正五角形	3	20	30
正二十面体	正三角形	5	12	30

体積比と表面積比

相似比が $a:b$ の2つの相似な立体 P と Q があるとき、 P と Q の体積比は $(a\times a\times a):(b\times b\times b)$ 、
P と Q の表面積比は $(a\times a):(b\times b)$
となります。

特別な三角すい

辺の比が1:1:2の三角錐のことです。展開図は正方形になります。体積は一辺2の立方体の1/24で、表面積は1/6です。

立体の切断

切断は平行になります。立方体ならば三〜六角形の切断面ができます。正四面体ならば三〜四角形、正四角錐ならば三〜五角形の切断面となります。

三角柱を切断したものを断頭三角柱と言います。体積は(底面積)×(高さの平均)です。

回転体の体積

パップス＝ギュルダンの定理という公式があります。(図形の重心の移動距離)×(図形の面積)で求められます。ただし、円や正方形など中心がわかりきっているものに限ります。

最短きょり

次の問題について考えましょう。

底面の半径が5cm、母線の長さが30cmである円錐の底面の点Aから、側面を最短きょりで通って点Aにもどってきました。この線の長さは何cmですか。

答え　30㎝

水量の問題

棒を入れる容器の底面積をX㎠棒の底面積をy㎠元の水の深さをz㎝とします。ただしzは棒の長さより明らかに小さいものです。この時棒を容器の底につけると水の深さはy×z÷(X−y)㎝上がります。よって水の深さはX＋y×z÷(X−y)㎝になります。