中学数学3年 円

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この章では、2年生で学んだ三角形と四角形の性質をもとにして、円周角と中心角の性質を扱います。

円周角と中心角

円周角と中心角

中心がOである円を円Oと呼ぶ。円Oにおいて、円周上の2点A , Bをとったとき、AからBまでの円周の部分を 弧AB （こAB）といい、${\begin{array}{c}\frown \\[-9pt]\scriptstyle {\rm {AB}}\end{array}}$と書く。$\angle AOB$ を弧ABに対する 中心角（ちゅうしんかく） という。また、弧ABを中心角 $\angle AOB$ に対する弧（こ）という。

円Oの周上の点で、弧AB上にはない点Pをとったとき、$\angle APB$ を弧ABに対する 円周角（えんしゅうかく） という。また、弧ABを円周角 $\angle APB$ に対する弧という。

右の図のように、弧ABに対する円周角は $\angle APB\ ,\ \angle AP'B\ ,\ \angle AP''B$ のようにいくつもできる。しかし、弧ABに対する中心角 $\angle AOB$ は1つに決まる

円周角の定理

中心角と円周角には次の性質がある。

円周角の定理

1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。

この定理を証明するためには、円Oの弧ABに対する円周角の1つを $\angle APB$ として、$\angle APB={\frac {1}{2}}\angle AOB$ を示せばよい。

中心Oが 直線PAまたは直線PB上にある場合

中心Oが $\angle APB$ の辺上にある場合

Oが直線PB上にある場合について示せば十分である。$\angle AOB$ は $\triangle AOP$ の外角であるから、三角形の1つの外角はそれととなり合わない2つの内角の和に等しいので

$\angle AOB=\angle APO+\angle PAO\cdots \cdots (1)$

$\triangle AOP$ の辺OP , OAは等しいから

$\angle APO=\angle PAO\cdots \cdots (2)$

(1)、(2)より

$\angle AOB=2\angle APO$

したがって

$\angle APB={\frac {1}{2}}\angle AOB$

よって、中心Oが 直線PB上にある場合、$\angle APB={\frac {1}{2}}\angle AOB$ が成り立つ。

中心Oが ∠APB の内部にある場合

中心Oが $\angle APB$ の内部にある場合

直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、$\angle AOC$ は $\triangle AOP$ の外角であるから

$\angle AOC=\angle APO+\angle PAO$

$\triangle AOP$ の辺OP , OAは等しいから

$\angle APO=\angle PAO$

したがって

$\angle AOC=2\angle APO\cdots \cdots (1)$

$\angle BOC$ は $\triangle BOP$ の外角であるから

$\angle BOC=\angle BPO+\angle PBO$

$\triangle BOP$ の辺OP , OBは等しいから

$\angle BPO=\angle PBO$

したがって

$\angle BOC=2\angle BPO\cdots \cdots (2)$

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれ加えると

$\angle AOC+\angle BOC=2(\angle APO+\angle BPO)$

したがって

$\angle AOB=2\angle APB$

すなわち

$\angle APB={\frac {1}{2}}\angle AOB$

よって、中心Oが $\angle APB$ の内部にある場合、$\angle APB={\frac {1}{2}}\angle AOB$ が成り立つ。

中心Oが ∠APB の外部にある場合

中心Oが $\angle APB$ の外部にある場合

直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、$\angle AOC$ は $\triangle AOP$ の外角であるから

$\angle AOC=\angle APO+\angle PAO$

$\triangle AOP$ の辺OP , OAは等しいから

$\angle APO=\angle PAO$

したがって

$\angle AOC=2\angle APO\cdots \cdots (1)$

$\angle BOC$ は $\triangle BOP$ の外角であるから

$\angle BOC=\angle BPO+\angle PBO$

$\triangle BOP$ の辺OP , OBは等しいから

$\angle BPO=\angle PBO$

したがって

$\angle BOC=2\angle BPO\cdots \cdots (2)$

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれひくと

$\angle AOC-\angle BOC=2(\angle APO-\angle BPO)$

したがって

$\angle AOB=2\angle APB$

すなわち

$\angle APB={\frac {1}{2}}\angle AOB$

よって、中心Oが $\angle APB$ の外部にある場合、$\angle APB={\frac {1}{2}}\angle AOB$ が成り立つ。

以上で考えられるすべてのPの位置について証明されたので、「1つの弧に対する円周角の大きさはすべて等しい」ことが成り立つことがわかった。

半円の弧に対する円周角

半円の弧に対する中心角は $180{}^{\circ }$ であるから、円周角は $90{}^{\circ }$ である。半円の弧に対する弦は直径であるから、次の定理が得られる。

直径と円周角(ターレスの定理)

線分ABを直径とする円の周上にA、Bと異なる点Pをとれば $\angle APB=90{}^{\circ }$ である。

円周角と弧

円周角と弧

右の図の円Oで、円周角 $\angle APB\ ,\ \angle CQD$ が等しい場合、円周角の定理により

$\angle AOB=2\angle APB\cdots \cdots (1)$

$\angle COD=2\angle CQD\cdots \cdots (2)$

となる。

$\angle APB=\angle CQD$ であるから、(1)、(2)より

$\angle AOB=\angle COD$

となる。

1つの円において等しい中心角に対する弧の長さは等しいので、

${\begin{array}{c}\frown \\[-9pt]\scriptstyle {\rm {AB}}\end{array}}={\begin{array}{c}\frown \\[-9pt]\scriptstyle {\rm {CD}}\end{array}}$

が成り立つ。

また、右の図の円Oで、${\begin{array}{c}\frown \\[-9pt]\scriptstyle {\rm {AB}}\end{array}}\ ,\ {\begin{array}{c}\frown \\[-9pt]\scriptstyle {\rm {CD}}\end{array}}$が等しい場合、1つの円において等しい長さの弧に対する中心角は等しいので

$\angle AOB=\angle COD$

となる。

よって、円周角の定理により

$\angle APB=\angle CQD$

が成り立つ。

円周角と弧

1つの円において 　等しい円周角に対する弧は等しい。 　等しい弧に対する円周角は等しい。

円周角の定理の逆

円Oの周上の点をA,B,Cとし、$\angle ACB=\angle a$ とする。また、直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとる。このとき、Pが円Oの周上、内部、外部にある場合について、$\angle APB$ と $\angle a$ との大きさを比べる。

点Pが円Oの周上にある場合

点Pが円Oの周上にある場合

円周角の定理により

$\angle APB=\angle a$

点Pが円Oの内部にある場合

点Pが円Oの内部にある場合

APの延長と円周の交点をQとする。$\angle APB$ は $\triangle PBQ$ における $\angle P$ の外角であるから

$\angle APB=\angle PQB+\angle PBQ$

となる。 円周角の定理により、$\angle AQB=\angle ACB=\angle a$ であるから、

$\angle APB=\angle a+\angle PBQ$

よって

$\angle APB>\angle a$

点Pが円Oの外部にある場合

点Pが円Oの外部にある場合

APと円周の交点をQとする。$\angle AQB$ は $\triangle QBP$ における $\angle Q$ の外角であるから

$\angle AQB=\angle QPB+\angle PBQ$

となる。 円周角の定理により、$\angle AQB=\angle ACB=\angle a$ であるから、

$\angle a=\angle APB+\angle PBQ$

式を変形すると

$\angle APB=\angle a-\angle PBQ$

よって

$\angle APB<\angle a$

円周角の定理の逆

上で調べたことから、点Pを直線ABについて点Cと同じ側にとったとき

$\angle APB=\angle a$

ならば、点Pは円Oの周上にあることがわかった。したがって、円周角の定理の逆として次のようにまとめられる。

円周角の定理の逆

円周角の定理の逆 4点A,B,P,Qについて、P,Qが直線ABについて同じ側にあるとき， $\angle APB=\angle AQB$ ならば，この4点は1つの円周上にある。

円周角の定理の応用

円の接線

まずは1年生で学んだ円の接線について復習する。

直線が円とただ1点で出あうとき、この直線は円に接する（せっする）といい、この直線を円の 接線（せっせん） といい、出あう1点を 接点（せってん） という。

円の接線

円の接線 円の接線は、接点を通る半径に垂直である。

円外の点からの接線

円外の点からの接線

円O外の点Aから円Oにひけたとし、その接点をP,P'とする。 AP,AP'は円Oの接線であるから、

$\angle APO=90{}^{\circ }$

$\angle AP'O=90{}^{\circ }$

であるから、点P,P'はAOを直径上とする円周上にあることがわかる。

このことをふまえて、円O外の点Aから円Oに接線をひくには、次のようにすればよい。

円外の点からの接線のひき方

1. 　点AとOを結ぶ。
2. 　線分AOの垂直二等分線をひき、AOとの交点をO'とする。
3. 　点O'を中心として半径OO'の円を書き、円Oとの交点をP,P'とする。
4. 　直線AP,AP'をひく。

接線の長さ

接線の長さの証明

$\triangle APO$ と $\triangle AP'O$ において

AP,AP'は接線だから

$\angle APO=\angle AP'O=90{}^{\circ }\cdots \cdots (1)$

共通な辺だから

$AO=AO=\cdots \cdots (2)$

円Oの半径だから

$OP=OP'\cdots \cdots (3)$

(1)、(2)、(3)より斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから

$\triangle APO\equiv \triangle AP'O$

したがって、$AP=AP'$

線分APまたはAP'の長さを、Aから円Oにひいた接線の長さという。

上で調べたことから、次のようにまとめられる。

接線の長さ

円外の1点からその円にひいた2つの接線の長さは等しい。