中学校数学 3年生-図形/円周角

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この章では、2年生で学んだ三角形と四角形の性質をもとにして、円周角と中心角の性質を扱います。

円周角と中心角[編集]

円周角と中心角

中心がOである円を円Oと呼ぶ。円Oにおいて、円周上の2点A , Bをとったとき、AからBまでの円周の部分を 弧AB (こAB)といい、と書く。 を弧ABに対する 中心角(ちゅうしんかく、英:central angle) という。また、弧ABを中心角 に対する弧(こ、英:arc)という。

円Oの周上の点で、弧AB上にはない点Pをとったとき、 を弧ABに対する 円周角(えんしゅうかく、英:inscribed angle) という。また、弧ABを円周角 に対する弧という。

右の図のように、弧ABに対する円周角は のようにいくつもできる。しかし、弧ABに対する中心角 は1つに決まる

円周角の定理[編集]

中心角と円周角には次の性質がある。

円周角の定理

1つの弧に対する円周角の大きさは一定であり、その弧に対する中心角の半分である。

この定理を証明するためには、円Oの弧ABに対する円周角の1つを として、 を示せばよい。

中心Oが 直線PAまたは直線PB上にある場合[編集]

中心Oが の辺上にある場合

Oが直線PB上にある場合について示せば十分である。 の外角であるから、三角形の1つの外角はそれととなり合わない2つの内角の和に等しいので

の辺OP , OAは等しいから

(1)、(2)より

したがって

よって、中心Oが 直線PB上にある場合、 が成り立つ。

中心Oが の内部にある場合[編集]

中心Oが の内部にある場合

直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、 の外角であるから

の辺OP , OAは等しいから

したがって

の外角であるから

の辺OP , OBは等しいから

したがって

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれ加えると

したがって

すなわち

よって、中心Oが の内部にある場合、 が成り立つ。

中心Oが の外部にある場合[編集]

中心Oが の外部にある場合

直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、 の外角であるから

の辺OP , OAは等

したがって

の外角であるから

の辺OP , OBは等しいから

したがって

(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれひくと

したがって

すなわち

よって、中心Oが の外部にある場合、 が成り立つ。

以上で考えられるすべてのPの位置について証明されたので、「1つの弧に対する円周角の大きさはすべて等しい」ことが成り立つことがわかった。

半円の弧に対する円周角[編集]

半円の弧に対する中心角は であるから、円周角は である。半円の弧に対する弦は直径であるから、次の定理が得られる。

直径と円周角(ターレスの定理)
円周角5.jpg

線分ABを直径とする円の周上にA、Bと異なる点Pをとれば

である。

円周角と弧[編集]

円周角と弧

右の図の円Oで、円周角 が等しい場合、円周角の定理により

となる。

であるから、(1)、(2)より

となる。

1つの円において等しい中心角に対する弧の長さは等しいので、

が成り立つ。


また、右の図の円Oで、が等しい場合、1つの円において等しい長さの弧に対する中心角は等しいので

となる。

よって、円周角の定理により

が成り立つ。


円周角と弧

1つの円において

  1.  等しい円周角に対する弧は等しい。
  2.  等しい弧に対する円周角は等しい。

円周角の定理の逆[編集]

円Oの周上の点をA,B,Cとし、 とする。また、直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとる。このとき、Pが円Oの周上、内部、外部にある場合について、 との大きさを比べる。

点Pが円Oの周上にある場合[編集]

点Pが円Oの周上にある場合

円周角の定理により

点Pが円Oの内部にある場合[編集]

点Pが円Oの内部にある場合

APの延長と円周の交点をQとする。 における の外角であるから

となる。 円周角の定理により、 であるから、

よって

点Pが円Oの外部にある場合[編集]

点Pが円Oの外部にある場合

APと円周の交点をQとする。 における の外角であるから

となる。 円周角の定理により、 であるから、

式を変形すると

よって

円周角の定理の逆[編集]

上で調べたことから、点Pを直線ABについて点Cと同じ側にとったとき

ならば、点Pは円Oの周上にあることがわかった。したがって、円周角の定理の逆として次のようにまとめられる。

円周角の定理の逆
円周角の定理の逆

4点A,B,P,Qについて、P,Qが直線ABについて同じ側にあるとき,

ならば,この4点は1つの円周上にある。

円周角の定理の応用[編集]

円の接線[編集]

まずは1年生で学んだ円の接線について復習する。

直線が円とただ1点で出あうとき、この直線は円に接する(せっする)といい、この直線を円の 接線(せっせん、英:tangent) といい、出あう1点を 接点(せってん、英:point of contact) という。

円の接線
円の接線

円の接線は、接点を通る半径に垂直である。

円外の点からの接線[編集]

円外の点からの接線

円O外の点Aから円Oにひけたとし、その接点をP,P'とする。 AP,AP'は円Oの接線であるから、

であるから、点P,P'はAOを直径上とする円周上にあることがわかる。


このことをふまえて、円O外の点Aから円Oに接線をひくには、次のようにすればよい。

円外の点からの接線のひき方
  1.  点AとOを結ぶ。
  2.  線分AOの垂直二等分線をひき、AOとの交点をO'とする。
  3.  点O'を中心として半径OO'の円を書き、円Oとの交点をP,P'とする。
  4.  直線AP,AP'をひく。

接線の長さ[編集]

接線の長さの証明

において

AP,AP'は接線だから

共通な辺だから

円Oの半径だから

(1)、(2)、(3)より斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから

したがって、


線分APまたはAP'の長さを、Aから円Oにひいた接線の長さという。

上で調べたことから、次のようにまとめられる。

接線の長さ

円外の1点からその円にひいた2つの接線の長さは等しい。