出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』
- 異なる
個から
個を取る順列(Permutation パーミテーション):
![{\displaystyle {}_{n}{\rm {P}}_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)={\frac {n!}{(n-r)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc2ec2bd6b3a67638fd62ea9b889c08563a43e5)
- 異なる
個から
個を取るとき、重複を許す場合の順列(重複順列):
![{\displaystyle \displaystyle n^{r}={}_{n}{\rm {\Pi }}_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c2f53bab4c4d83f061b99148e060e8996a1a548)
個のもののうち、
個は同じもの、
個は別の同じもの、
個はさらに別の同じもの、……であるとき、これら
個のもの全部で作られる順列:
ただし、![{\displaystyle n=p^{1}+p^{2}+p^{3}+\cdots +p^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f436c2d63e20324a028e3ddbb0e1d5f4eeef46)
- 異なる
個のものを円形に並べる順列(円順列):
![{\displaystyle \displaystyle (n-1)!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5b440820112e640fdbfc5492fc75e9637c06fa)
- 異なる
個のものを(時計・反時計回り関係無く)円形に並べる順列(数珠順列) :
![{\displaystyle \displaystyle {\frac {(n-1)!}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd4183597b661535a8d8a084b7ccb538c7242afa)
- 異なる
個から
個を取る組合せ(Combination コンビネーション):
![{\displaystyle {}_{n}{\rm {C}}_{r}={n\times (n-1)\times \cdots \times (n-r+1) \over r\times (r-1)\times \cdots \times 1}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dfcea182469296e6cb37314c79ae89acabd7421)
- 異なる
個から
個を取るとき、重複を許す場合の組合せ(重複組合せ):
![{\displaystyle \displaystyle {}_{n+r-1}{\rm {C}}_{r}={}_{n}{\rm {\mathrm {H} }}_{r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c9aecebb8612316d5e85ee333a687234508667)
![{\displaystyle _{n}C_{r}={\frac {_{n}P_{r}}{r!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b46c77a3205422923e533c3f22cc59e727389fa)
![{\displaystyle _{n}C_{r}=_{n}C_{n-r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a841f2f80c96a3e6e0a80bcadb21dc950611b2)
![{\displaystyle _{n}C_{r}=_{n-1}C_{r}+_{n-1}C_{r-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401be8f716134cfcb89d0072227f47ab62eea401)
![{\displaystyle r_{n}C_{r}=n_{n-1}C_{r-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea415fd18b382873170cf79d0447afa50014754)
- Aが起こらない確率(Aの余事象が起きる確率)
:
回試行して、少なくとも1回はAが起こる確率 -
回試行して、1回もAが起こらない事象の余事象
![{\displaystyle P_{n}(A)=1-(1-P(A))^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae2a003a99e201017cb8d348fe2ce65984629e0a)
- 条件付き確率 - ある事象 B が起こるという条件の下での別の事象 A の確率:
又は、 ![{\displaystyle \displaystyle P_{B}(A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7e99655806533f6403f7d699cd38fde6e24a4e2)
- 事象Bにかかわらず、事象Aがおこるとき、A,Bは独立と言い、
となる。
- 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこる場合、AはBに完全従属と言い、
となる。
- 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこらない場合、AはBに排反、または、A,Bは排反と言い、
となる。
- 事象A,Bが同時に起きる(すなわち積事象
の)確率:
![{\displaystyle \displaystyle P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0872b7d1058a9431ccf11c76c70cc36b809b7145)
- 特に事象A,Bが独立、すなわち
のとき:
![{\displaystyle \displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a55a2b5494c4195d567cce9235c778b3ecb6a2a)
- 事象AまたはBが起きる(すなわち和事象
の)確率:
![{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8de5b03034abcef68b1d393382856497e295a0)
- 特に事象A, Bが排反、すなわち
のとき:
![{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b5945043e1ac5caa5484b0a10a2d5f19d3ca40)
- 確率pで事象Aが起こる試行を独立に
回行うとき、事象Aがちょうど
回起こる確率(反復試行の確率):
![{\displaystyle \displaystyle {}_{n}{\rm {C}}_{r}p^{r}(1-p)^{n-r}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1429b165e58e1f7cfd32eb52e045321bb9cc5927)
以下、この節では度数分布表の階級値を
とし、それに対応する度数を
、総度数を
とする。
- 度数分布表からの平均値
:
![{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a01684c5ffbd7a25d232705a125ab7351904090)
- また、このときの分散
と標準偏差s:
![{\displaystyle s^{2}={\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}f_{1}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}f_{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}f_{n}}{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861680a1db06a33378f2eaf40bb3056551b1ff4a)
![{\displaystyle s={\sqrt {\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}f_{1}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}f_{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}f_{n}}{N}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f19ef9d50b5bfe1f9a64c7c8ea32f3a10fc6e1e6)
- ある階級値を仮平均aとし、階級の幅をc、仮平均からの偏差をcで割った数値を
とする (すなわち
)ときの平均値
:
ただし、![{\displaystyle {\overline {u}}={\frac {u_{1}f_{1}+u_{2}f_{2}+\cdots +u_{n}f_{n}}{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f798b36fa381232756608a74e26a30db81a8c95)
- また、このときの標準偏差s:
ただし、![{\displaystyle s_{u}^{2}={\frac {(u_{1}-{\overline {u}})^{2}f_{1}+(u_{2}-{\overline {u}})^{2}f_{2}+\cdots +(u_{n}-{\overline {u}})^{2}f_{n}}{N}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b73b92b0844be2ba67197ada1aaa4a8655eaa359)
- 分散
について、
![{\displaystyle V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28ebae472d575978611df3d2eb004707ba197c44)
- 共分散
について、
![{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/601a2daa6e297879eec214df83b7b261585e9d49)
![{\displaystyle E(X+Y)=E(X)+E(Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8569b7cdcf2d8df6c0f6bf925f50dc233daec4)
(期待値の線形性)
![{\displaystyle V(aX)=a^{2}V(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e2c6843591d35a280857a7e5c469439c90ac9c)
の相関係数
について
![{\displaystyle \rho ={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{{\sqrt {V(X)}}{\sqrt {V(Y)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa262ab9781fb20a109ed0682ae0749aef31e520)
確率変数
に対し、
が成り立つとき、またそのときに限り、
は独立であるという。
が独立のとき
![{\displaystyle E(XY)=E(X)E(Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49bd75ae200d6aee5b329efdc19acdd94eed40f6)
![{\displaystyle V(X+Y)=V(X)+V(Y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1fd5b91bdf48e8f6718d3470668a301d5e24611)
![{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97065d6de37d78975bec6083aa0b53bd8c46f01b)
- 確率変数
が二項分布
に従う場合の平均値
, 分散
, 標準偏差
:
![{\displaystyle \ E(X)=np\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad47cff73279c5e7c9e56c0bf223f3a3b75f38a)
![{\displaystyle \ V(X)=np(1-p)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13c71c2452f7980a55cc686581cb9c5acb220e1)
![{\displaystyle \ D(X)={\sqrt {np(1-p)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f81d999f94d39c4d5de599b1d120494426749211)
- 平均
,分散
の正規分布
に従う確率変数の確率密度関数
は ![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a16950e196e687d94280c388c4fb7f71481d3c)
が十分に大きいとき、二項分布
は正規分布
で近似できる。
- 確率変数
が正規分布
に従うとき、
は標準正規分布
に従う。
![{\displaystyle P(|Z|\leq 1.96)=0.95}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757f4b3e9915449bff0e1846b2fe875023171b64)