初等数学公式集/確率・統計

順列・組合せ

• 異なる$n$個から$r$個を取る順列（Permutation パーミテーション）：

  ${}_{n}{\rm {P}}_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)={\frac {n!}{(n-r)!}}$

  • 異なる$n$個から$r$個を取るとき、重複を許す場合の順列（重複順列）：

    $\displaystyle n^{r}={}_{n}{\rm {\Pi }}_{r}$

• $n$個のもののうち、$p^{1}$個は同じもの、$p^{2}$個は別の同じもの、$p^{3}$個はさらに別の同じもの、……であるとき、これら$n$個のもの全部で作られる順列:

  ${\frac {n!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}!\cdots p_{k}!}}$ ただし、$n=p^{1}+p^{2}+p^{3}+\cdots +p^{k}$

• 異なる$n$個のものを円形に並べる順列（円順列）:

  $\displaystyle (n-1)!$

• 異なる$n$個のものを（時計・反時計回り関係無く）円形に並べる順列（数珠順列） :

  $\displaystyle {\frac {(n-1)!}{2}}$

• 異なる$n$個から$r$個を取る組合せ（Combination コンビネーション）：

  ${}_{n}{\rm {C}}_{r}={n\times (n-1)\times \cdots \times (n-r+1) \over r\times (r-1)\times \cdots \times 1}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

  • 異なる$n$個から$r$個を取るとき、重複を許す場合の組合せ（重複組合せ）：

    $\displaystyle {}_{n+r-1}{\rm {C}}_{r}={}_{n}{\rm {\mathrm {H} }}_{r}$

• $_{n}C_{r}={\frac {_{n}P_{r}}{r!}}$
• $_{n}C_{r}=_{n}C_{n-r}$
• $_{n}C_{r}=_{n-1}C_{r}+_{n-1}C_{r-1}$
• $r_{n}C_{r}=n_{n-1}C_{r-1}$

確率

• Aが起こらない確率（Aの余事象が起きる確率）$P({\bar {A}})$:

  $P({\bar {A}})=1-P(A)$

  • $n$回試行して、少なくとも1回はAが起こる確率 - $n$回試行して、1回もAが起こらない事象の余事象

    $P_{n}(A)=1-(1-P(A))^{n}$

• 条件付き確率 - ある事象 B が起こるという条件の下での別の事象 A の確率:

  $\displaystyle P(A\mid B)$ 又は、 $\displaystyle P_{B}(A)$

  • 事象Bにかかわらず、事象Aがおこるとき、A,Bは独立と言い、$P(A\mid B)=P(A)$となる。
  • 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこる場合、AはBに完全従属と言い、$P(A\mid B)=1$となる。
  • 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこらない場合、AはBに排反、または、A,Bは排反と言い、$P(A\mid B)=0$となる。
• 事象A,Bが同時に起きる（すなわち積事象$A\cap B$の）確率:

  $\displaystyle P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$

  • 特に事象A,Bが独立、すなわち$P(A\mid B)=P(A)$のとき:

    $\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)$

• 事象AまたはBが起きる（すなわち和事象$A\cup B$の）確率:

  $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

  • 特に事象A, Bが排反、すなわち$P(A\cap B)=0$のとき:

    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

• 確率pで事象Aが起こる試行を独立に$n$回行うとき、事象Aがちょうど$r$回起こる確率(反復試行の確率):

  $\displaystyle {}_{n}{\rm {C}}_{r}p^{r}(1-p)^{n-r}$

統計

平均値・分散・標準偏差

以下、この節では度数分布表の階級値を$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$とし、それに対応する度数を$f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n}$、総度数を$n$とする。

• 度数分布表からの平均値${\overline {x}}$:

  ${\overline {x}}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {f_{k}}{N}}$

  • また、このときの分散$s^{2}$と標準偏差s:

    $s^{2}=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-{\overline {x}})^{2}{\frac {f_{k}}{N}}$

    $s={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-{\overline {x}})^{2}{\frac {f_{k}}{N}}}}$

• ある階級値を仮平均aとし、階級の幅をc、仮平均からの偏差をcで割った数値を$u_{k}$とする　(すなわち$u_{k}={\frac {x_{k}-a}{c}}$ $(k=1,2,\cdots ,n)$)ときの平均値${\overline {x}}$:

  ${\overline {x}}=a+c{\overline {u}}$　ただし、${\overline {u}}=\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\frac {f_{k}}{N}}$

  • また、このときの標準偏差s:

    $s=cs_{u}$　ただし、$s_{u}^{2}=\sum _{k=1}^{n}(u_{k}-{\overline {u}})^{2}{\frac {f_{k}}{N}}$

• 分散 $V(X)=E[\{X-E(X)\}^{2}]$ について、

  $V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}$

• 標準偏差 $\sigma (X)$について、

  $\sigma (X)={\sqrt {V(x)}}$

• 共分散 $\operatorname {Cov} (X,Y)=E[\{X-E(X)\}\{Y-E(Y)\}]$について、

  $\operatorname {Cov} (X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$

• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
• $E(aX)=aE(X)$ (期待値の線形性)
• $V(aX)=a^{2}V(X)$

$X,Y$ の相関係数 $\rho$ について

$\rho ={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\sigma (X)\sigma (Y)}}$

確率変数 $X,Y$ に対し、 $P(X<a,Y<b)=P(X<a)P(Y<b)$ が成り立つとき、またそのときに限り、 $X,Y$ は独立であるという。

$X,Y$ が独立のとき

• $E(XY)=E(X)E(Y)$
• $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
• $\operatorname {Cov} (X,Y)=0$

確率分布・二項分布

• 確率変数Xが値$x_{k}$を取りうる確率が$p_{k}$である確率分布の期待値$E(X)$:

  $E(X)=\sum _{k=1}^{n}x_{k}p_{k}$

• 二項分布$B(n,p)$について、

  $X\sim B(n,p)\iff P(X=r)={}_{n}\!C_{r}p^{r}q^{n-r}$

  ただし$q=1-p$である。

• 確率変数$X$が二項分布$B(n\ ,\ p)$に従う場合の平均値$E(X)$, 分散$V(X)$, 標準偏差$\sigma (X)$:

  $\ E(X)=np\$

  $\ V(X)=npq\$

  $\ \sigma (X)={\sqrt {npq}}$

連続型確率変数・正規分布

• 連続型確率変数の確率密度関数が$f(x)$であるとき、

  $f(x)\nless 0$

  $P(a\leqq X\leqq b)=\int _{a}^{b}f(x)dx$

  $f(x)$の定義域が$[\alpha ,\beta ]\iff \int _{\alpha }^{\beta }f(x)dx=1$

  平均：$\mu =\int _{\alpha }^{\beta }xf(x)dx$

  分散：$\sigma ^{2}=\int _{\alpha }^{\beta }(x-\mu )^{2}f(x)dx$

• 平均 $\mu$ ,分散 $\sigma ^{2}$ の正規分布 $N(\mu ,\sigma ^{2})$ に従う確率変数の確率密度関数 $f(x)$ は $f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

• $n$ が十分に大きいとき、$X\sim B(n\ ,\ p)$ならば近似的に $X\sim N(np,npq)$。
• 確率変数 $X$について$X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ のとき、$Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}\sim N(0,1)$。
  • $p(u)=P(0\leqq Z\leqq u)=P(-u\leqq Z\leqq 0)$
  • $P(-u\leqq Z\leqq u)=2p(u)$
  • $P(Z\leqq 0)=P(Z\geqq 0)=0.5$
  • $P(|Z|\leq 1.96)=0.95$
  • $P(|Z|\leq 2.58)=0.99$

標本調査

• 大きさNの標本の確率変数Xについて、

  $P(X=x_{k})={\frac {f_{k}}{N}}$

• $N=n$のとき

  母平均：$E(X)=\mu$

  母分散：$V(X)=\sigma ^{2}$

  標本平均：${\overline {X}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {x_{k}}{n}}$

  標本分散：$S^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(X_{k}-{\overline {X}})^{2}}{n}}$

• 母標準偏差が不明なとき

  近似的に$\sigma =S$

• 復元抽出の場合

  $E({\overline {X}})=\mu$

  $V({\overline {X}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}$

• nが十分大きいとき

  近似的に${\overline {X}}\sim N(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}})$

• 母集団分布が正規分布のとき

  常に${\overline {X}}\sim N(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}})$

• ある特性を持つ要素の個数がTであり、その母比率をpとするとき、

  標本比率：$R={\frac {T}{n}}$

  $T\sim B(n,p)$

  近似的に$R\sim N(n,{\frac {pq}{n}})$

• 母集団の要素の個数がMのとき、

  $\lim _{N\to M}{\overline {X}}=\mu$（大数の法則）

区間推定

• 母平均の信頼区間

  信頼度95%：$[{\overline {X}}-1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\overline {X}}+1.96\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]$

  信頼度99%：$[{\overline {X}}-2.58\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\overline {X}}+2.58\cdot {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}]$

• 母比率の信頼区間

  信頼度95%：$[R-1.96{\sqrt {\frac {RQ}{n}}},R+1.96{\sqrt {\frac {RQ}{n}}}]$

  信頼度99%：$[R-2.58{\sqrt {\frac {RQ}{n}}},R+2.58{\sqrt {\frac {RQ}{n}}}]$

  ただし$Q=1-R$

仮説検定

• 帰無仮説を$H_{0}$、有意水準を$\alpha$、$H_{0}$の状況で事象が起こる確率をpとしたとき、

  $p\leqq \alpha$ならば$H_{0}$を棄却する。

  $p>\alpha$ならば$H_{0}$を採択する。

• 第一種の過誤が起こる確率Pについて、

  $P=\alpha$