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初等数学公式集/確率・統計

出典: フリー教科書『ウィキブックス(Wikibooks)』

順列・組合せ[編集]

  • 異なる個から個を取る順列Permutation パーミテーション):
    • 異なる個から個を取るとき、重複を許す場合の順列(重複順列):
  • 個のもののうち、個は同じもの、個は別の同じもの、個はさらに別の同じもの、……であるとき、これら個のもの全部で作られる順列:
    ただし、
  • 異なる個のものを円形に並べる順列(円順列):
  • 異なる個のものを(時計・反時計回り関係無く)円形に並べる順列(数珠順列) :
  • 異なる個から個を取る組合せCombination コンビネーション):
    • 異なる個から個を取るとき、重複を許す場合の組合せ(重複組合せ):

確率[編集]

  • Aが起こらない確率(Aの余事象が起きる確率):
    • 回試行して、少なくとも1回はAが起こる確率 - 回試行して、1回もAが起こらない事象の余事象
  • 条件付き確率 - ある事象 B が起こるという条件の下での別の事象 A の確率:
    又は、
    • 事象Bにかかわらず、事象Aがおこるとき、A,Bは独立と言い、となる。
    • 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこる場合、AはBに完全従属と言い、となる。
    • 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこらない場合、AはBに排反、または、A,Bは排反と言い、となる。
  • 事象A,Bが同時に起きる(すなわち積事象の)確率:
    • 特に事象A,Bが独立、すなわちのとき:
  • 事象AまたはBが起きる(すなわち和事象の)確率:
    • 特に事象A, Bが排反、すなわちのとき:
  • 確率pで事象Aが起こる試行を独立に回行うとき、事象Aがちょうど回起こる確率(反復試行の確率):

統計[編集]

平均値・分散・標準偏差[編集]

以下、この節では度数分布表の階級値をとし、それに対応する度数を、総度数をとする。

  • 度数分布表からの平均値:
    • また、このときの分散と標準偏差s:
  • ある階級値を仮平均aとし、階級の幅をc、仮平均からの偏差をcで割った数値をとする (すなわち )ときの平均値:
     ただし、
    • また、このときの標準偏差s:
       ただし、
  • 分散 について、
  • 共分散 について、
  • (期待値の線形性)

の相関係数 について

確率変数 に対し、 が成り立つとき、またそのときに限り、 は独立であるという。

が独立のとき

確率分布・二項分布[編集]

  • 確率変数が二項分布に従う場合の平均値, 分散, 標準偏差:

正規分布[編集]

  • 平均 ,分散 の正規分布 に従う確率変数の確率密度関数
  • が十分に大きいとき、二項分布 は正規分布 で近似できる。
  • 確率変数 が正規分布 に従うとき、 は標準正規分布 に従う。