初等数学公式集

"公式とは、数式で表される定理のことである " （出典:フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』- 公式）

以下に、日本の数学教育において大学入学程度の水準までに用いられる、主な公式をジャンルごとに分けて記しておく。

初等幾何

三平方の定理

• 直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをa、b、斜辺の長さをcとすると、以下の関係が成り立つ。:
  • $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
• 三角形の三辺の長さa,b,cが$a^{2}+b^{2}=c^{2}$を満たすとき、この三角形は長さcの辺を斜辺とする直角三角形となる。

(参考) 三平方の定理

正弦定理

$\bigtriangleup {ABC}$ において、$BC=a,CA=b,AB=c$, 外接円の半径を $R$ とすると、

• ${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R$

(参考）正弦定理

余弦定理

$\bigtriangleup {ABC}$ において、$BC=a,CA=b,AB=c,\alpha =\angle {CAB},\beta =\angle {ABC},\gamma =\angle {BCA}$ とすると

第一余弦定理

• $a=b\cos \gamma +c\cos \beta$
• $b=c\cos \alpha +a\cos \gamma$
• $c=a\cos \beta +b\cos \alpha$

第二余弦定理

• $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$
• $b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta$
• $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

（参考）余弦定理

多角形

• n角形の内角の和:

  $180(n-2)^{\circ }$

• n角形の対角線の本数:

  ${\frac {n(n-3)}{2}}$

円

• 半径rの円の円周l:

  • $l=2r\pi$

• 半径r、中心角a（度）の扇形の弧の長さl:

  • $l=2r\pi \cdot {\frac {a}{360}}$

• 半径rの円の中心点Oと弦ABとの距離をaとしたときの弦ABの長さ:

  $AB=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$

方べきの定理・図1

方べきの定理・図2

方べきの定理・図3

• 方べきの定理:
  • 点Pを通る2本の直線が円とそれぞれ2点A、Bと2点C、Dで交わっているとき(図1、図2):

    $PA\cdot PB=PC\cdot PD$

  • 円外の点Pを通る2本の直線の一方が点Tで円に接し、他方が2点A、Bで交わっているとき(図3):

    $PA\cdot PB=PT^{2}$

(参考) 方べきの定理

立体図形

• 縦の長さa、横の長さb、高さh の直方体の対角線 l：

  $l={\sqrt {a^{2}+b^{2}+h^{2}}}$

• 底面の半径をr、母線の長さ lの円錐の高さ h：

  $h={\sqrt {l^{2}-r^{2}}}$

• 凸面体の頂点の数をv、辺の数をe、面の数をfとすると以下の関係が成り立つ(オイラーの多面体定理):

  $v-e+f=2$

図形と方程式

• 中心座標$\displaystyle (a,b)$、半径rの円の方程式（標準形）：

  $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$

• 円の方程式の一般形

  $\displaystyle x^{2}+y^{2}+hx+ky+c=0$　ただし、$h^{2}+k^{2}-4c>0$。

• 円$\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}$上の点P$\displaystyle (x_{1},y_{1})$における接線：

  $\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2}$

• 2点A$(a_{1},b_{1})$, B$(a_{2},b_{2})$間の距離：

  $AB={\sqrt {(a_{2}-a_{1})^{2}+(b_{2}-b_{1})^{2}}}$

• 点P $(p,q)$と直線$ax+by+c=0$の距離:

  ${\frac {\left|ap+bq+c\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

• 原点O・点$A(x_{a},y_{a})$・点$B(x_{b},y_{b})$を結んでできる三角形OABの面積S:

  $S={\frac {1}{2}}\left|y_{0}\right|\left|x_{a}-x_{b}\right|={\frac {1}{2}}\left|x_{0}\right|\left|y_{a}-y_{b}\right|$

  ただし$x_{0},y_{0}$はそれぞれ直線ABのx切片・y切片。

  または $S={\frac {\left|x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a}\right|}{2}}$

• 2次関数($y=ax^{2}$)上の3点$A(x_{a},y_{a})$・$B(x_{b},y_{b})$・$C(x_{c},y_{c})$を結んで出来る三角形ABCの面積S:

  $x_{a}-x_{b}=l$ , $x_{b}-x_{c}=m$ , $x_{c}-x_{a}=n$とすると、

  $S={\frac {|almn|}{2}}$

面積と体積

平面図形の面積

解説はこちらのページをご覧ください

• 三角形
  • 底辺のながさ a、高さ h の三角形の面積 S：

    $S={1 \over 2}ah$

  • 二辺のながさが a, b でその間の角が θ である三角形の面積 S：

    $S={\frac {1}{2}}ab\sin \theta$

  • ある辺のながさが a でその両端の角が θ, δ である三角形の面積 S：

    $S={\frac {a^{2}\sin \theta \sin \delta }{2\sin(\theta +\delta )}}$

  • 三辺のながさが a, b, c で内接する円の半径が r である三角形の面積 S：

    $S={\frac {1}{2}}r(a+b+c)$

  • 三辺のながさが a, b, c である三角形の面積 S:（ヘロンの公式）

    $S={\sqrt {\frac {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{16}}}$

    また、$s={\frac {a+b+c}{2}}$ とすると、$S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

    • 内接円の半径を $r$ とすると、三角形の面積 $S=sr={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

      従って、 $r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}$

  • 一辺のながさ a の正三角形の面積 S：

    $S={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}$

• 四角形
  • 縦のながさ a、横のながさ b の長方形の面積 S：

    $\displaystyle S=ab$

  • 一辺のながさ a の正方形の面積 S：

    $\displaystyle S=a^{2}$

  • 底辺のながさ a、高さ h の平行四辺形の面積 S：

    $\displaystyle S=ah$

  • 上底のながさ a、下底のながさ b、高さ h の台形の面積 S：

    $S={1 \over 2}(a+b)h$

  • 対角線のながさ a、もう一つの対角線のながさ b のひし形の面積 S：

    $S={1 \over 2}ab$

  • 四辺の長さがa,b,c,dで円に内接する四角形の面積S:（ブラーマグプタの公式）

    $S={\sqrt {\frac {(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)}{16}}}$

    また、$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$ とすると、$S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

• 正多角形
  • 一辺のながさ a の正n角形の面積 S:

    $S={\frac {na^{2}}{4\tan {\frac {\pi }{n}}}}$

• 円と扇形
  • 半径 r の円の面積 S：

    $S=\pi r^{2}$

  • 半径 r 、中心角a（度）の扇形の面積S:

    $S={\frac {a}{360}}r^{2}\pi$

  • 半径 r 、中心角 θ(rad) の扇形の面積 S:

    $S={\frac {1}{2}}\theta r^{2}$

  • 半径 r 、弧の長さlの扇形の面積 S：

    $S={\frac {1}{2}}rl$

立体図形の面積

解説はこちらのページをご覧ください

• 縦のながさ a、横のながさ b、高さ h の直方体の表面積 S：

  $S=2(ab+bh+ah)$

  • 底面積 B：

    $B=2ab$

  • 側面積 A：

    $A=2h(a+b)$

• 一辺のながさ a の立方体の表面積 S：

  $S=6a^{2}$

• 底面の周の長さ l、高さ h の柱体の側面積 S：

  $S=lh$

• 半径rの球の表面積S:

  $S=4\pi r^{2}$

体積

解説はこちらのページをご覧ください

直方体

• 縦のながさ a、横のながさ b、高さ h の直方体の体積 V：

  $V=abh$

• 一辺のながさ a の立方体の体積 V：

  $V=a^{3}$

• 底面積 S、高さ h の柱体の体積 V：

  $V=Sh$

• 底面積 S、高さ h の錐体の体積 V：

  $V={\frac {1}{3}}Sh$

• 一辺のながさ a の正四面体の体積 V：

  $V={{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}$

• 一辺のながさ a の正八面体の体積 V：

  $V={{\sqrt {2}} \over 3}a^{3}$

• 一辺のながさ a の正十二面体の体積 V：

  $V={15+7{\sqrt {5}} \over 4}a^{3}$

• 一辺のながさ a の正二十面体の体積 V：

  $V={5(3+{\sqrt {5}}) \over 12}a^{3}$

• 球の体積 V：

  $V={4 \over 3}\pi r^{3}$

ベクトル

以下に挙げる公式で空間ベクトルで成り立つものは、その $z$ 成分を$0$ とした平面ベクトルでも成り立つ。

• ${\vec {a}}$ と ${\vec {b}}$ の成す角が $\theta$ のとき

  $\cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}$

• ${\vec {a}}\neq {\vec {0}}$, ${\vec {b}}\neq {\vec {0}}$のとき、

${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\iff {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$

• ${\overrightarrow {OA}}={\vec {a}}$, ${\overrightarrow {OB}}={\vec {b}}$, O は原点とするときの三角形 OAB の面積 $S$：

  $S={\frac {1}{2}}{\sqrt {|{\vec {a}}|^{2}|{\vec {b}}|^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}}$

とくに、${\vec {a}}=(a_{x},a_{y})$, ${\vec {b}}=(b_{x},b_{y})$とすると、

$S={\frac {1}{2}}|a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}|$

• 二つのベクトル ${\vec {x}}$, ${\vec {y}}$ に対し、

  $({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})^{2}+|{\vec {x}}|^{2}\left|{\vec {y}}-{\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{|{\vec {x}}|^{2}}}{\vec {x}}\right|^{2}=|{\vec {x}}|^{2}|{\vec {y}}|^{2}$

よって、

$|{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}|\leq |{\vec {x}}||{\vec {y}}|$

等号成立は、実数 k があって ${\vec {y}}=k{\vec {x}}$ とできるときのみ。

初等代数

展開公式

解説はこちらのページをご覧ください

• 基本公式
  • $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
  • $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$
  • $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$
• 累乗
  • $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
  • $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
  • $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
  • $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$
  • $(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$
  • $(a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}$
  • $(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$
  • $(a+b)^{8}=a^{8}+8a^{7}b+28a^{6}b^{2}+56a^{5}b^{3}+70a^{4}b^{4}+56a^{3}b^{5}+28a^{2}b^{6}+8ab^{7}+b^{8}$
  • $(a-b)^{8}=a^{8}-8a^{7}b+28a^{6}b^{2}-56a^{5}b^{3}+70a^{4}b^{4}-56a^{3}b^{5}+28a^{2}b^{6}-8ab^{7}+b^{8}$
  • $(a+b)^{n}=\sum _{r=0}^{n}{}_{n}{\rm {C}}_{r}a^{n-r}b^{r}$
• 応用
  • $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
  • $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$
  • $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$
  • $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
  • $(a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3ab^{2}+3ac^{2}+3ba^{2}+3ca^{2}+6abc+3bc^{2}+3cb^{2}$
  • $(a+b+c)^{4}=a^{4}+b^{4}+c^{4}+4ab^{3}+4ac^{3}+4ba^{3}+4ca^{3}+4bc^{3}+4cb^{3}+6a^{2}b^{2}+6a^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}+12a^{2}bc+12ab^{2}c+12abc^{2}$
  • $(a+b+c)^{n}$の展開式の一般項(多項定理):

    • ${\frac {n!}{p!q!r!}}a^{p}b^{q}c^{r}$ (ただし、n=p + q + r)

  • $(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$
  • $(a+b+c+d)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+d^{3}+3ab^{2}+3ac^{2}+3ad^{2}+3ba^{2}+3ca^{2}+3da^{2}+6abc+6abd+6acd+3ac^{2}+3cb^{2}+3db^{2}+6bcd+3cd^{2}+3dc^{2}$
  • $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)={1 \over 2}(a+b+c)((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2})=a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
  • $(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+bc+ca)x+abc$
  • $(ab+c)(bc+a)(ca+b)=(cab)^{2}+cab^{3}+bca^{3}+(ab)^{2}+abc^{3}+(bc)^{2}+(ac)^{2}+abc$
  • $(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})=a^{n}-b^{n}$
  • $\sum _{r=0}^{n}{}_{n}{\rm {C}}_{r}=2^{n}$

式の変形

• $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$
• $(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$
• $(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})$
• $a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)$
• $a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)$
• $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}$

絶対不等式

• 正の実数からのみ成る数列 $\{a_{n}\}$ に対し、

  ${\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

等号成立は a₁ = a₂ = … = a_n のときのみ。（相加平均と相乗平均の関係式）

• 複素数から成る数列 $\{a_{n}\}$ に対し、

  $|a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}|\leq |a_{1}|+|a_{2}|+\cdots +|a_{n}|$

等号成立はすべての数の偏角が等しいときのみ。（三角不等式）

• 二つの数列 $\{a_{n}\}$, $\{b_{n}\}$ に対し、

  $|a_{1}{\bar {b_{1}}}+a_{2}{\bar {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\bar {b_{n}}}|^{2}\leq (a_{1}{\bar {a_{1}}}+a_{2}{\bar {a_{2}}}+\cdots +a_{n}{\bar {a_{n}}})(b_{1}{\bar {b_{1}}}+b_{2}{\bar {b_{2}}}+\cdots +b_{n}{\bar {b_{n}}})$

等号成立は、複素数 z で b₁ = za₁, b₂ = za₂, ..., b_n = za_n が全て成り立つようなものが存在するときに限る。（コーシー・シュワルツの不等式）

方程式

• 1次方程式 $ax+b=0$ の解の公式:

  $x=-{\frac {b}{a}}$

• 2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解の公式：

  $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

  • $ax^{2}+2bx+c=0$ の場合：

    $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-ac}}}{a}}$

  • $x^{2}+bx+c=0$ ($ax^{2}+bx+c=0$ において $a=1$) の場合 :

    $x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}}$

※上記の3つの公式の判別式Dは、全て根号の中の式である。

• 2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$の2つの解を$\alpha ,\beta$とすると：

$ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )$

であり、この$\alpha ,\beta$は次の関係式を満たす。（解と係数の関係）

• • $\alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}$

    $\alpha \beta ={\frac {c}{a}}$

  • $x^{2}+bx+c=0$ ($ax^{2}+bx+c=0$ において $a=1$) の2つの解を$\alpha ,\beta$とすると：

    $x^{2}+bx+c=(x-\alpha )(x-\beta )=x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta$

    であり、この$\alpha ,\beta$は次の関係式を満たす。(解と係数の関係)

    零点の和 : $\alpha +\beta =-b$

    零点の積 : $\alpha \beta =c$

数の性質

整数

• 自然数Nが相異なる素数$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{k}$を用いて$N=a_{1}^{p_{1}}\cdot a_{2}^{p_{2}}\cdot a_{3}^{p_{3}}\cdots a_{k}^{p_{k}}$と素因数分解されるとき、

Nの約数の個数は$(p_{1}+1)(p_{2}+1)(p_{3}+1)\cdots (p_{k}+1)$

また、その約数の総和は$(1+a_{1}+\cdots +a_{1}^{p_{1}})(1+a_{2}+\cdots +a_{2}^{p_{2}})\cdots (1+a_{k}+\cdots +a_{k}^{p_{k}})$

• 自然数Q,Nに対し、1以上Q以下のNの倍数の個数。:

  $[Q\div N]$　ただし、$[x]$はガウス記号。

  • 自然数P,Q,Nに対し、P以上Q以下のNの倍数の個数

    $[Q\div N]-[(P-1)\div N]$　ただし、$[x]$はガウス記号。

• 自然数a,bについて、それらの最大公約数をg、最小公倍数をlとすると、以下の関係が成り立つ。:

  $ab=lg$

• 奇数の和:

  $1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^{2}$

• a、bを互いに素な整数とするとき、1次不定方程式$ax+by=0$を満たす整数解:

  $x=bk,y=-ak$　（kは整数）

分数

• ${\frac {1}{(x+a)(x+b)}}={\frac {1}{b-a}}\left({\frac {1}{x+a}}-{\frac {1}{x+b}}\right)$$(a\not =b)$
• ${\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}$

複素数

• $\displaystyle i^{2}=-1$
• $\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$　（オイラーの式）
• $\displaystyle e^{\pi i}=-1$
• 複素数のべき乗：（ド・モアブルの定理）

  $\left\{r(\cos \theta +i\sin \theta )\right\}^{n}=r^{n}\left\{\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )\right\}$

行列

Eを2次単位行列、Oを2×2の零行列とすると、任意の2次正方行列 $A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}$ について

• $A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)E=\mathbf {O}$　（ケイリー・ハミルトンの定理）

集合

• 演算規則
  • 交換法則

$A\cap B=B\cap A$

$A\cup B=B\cup A$

• • 結合法則

$A\cap B\cap C=(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

$A\cup B\cup C=(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$

• • 分配法則

$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

• ド・モルガンの法則

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$

• 集合の要素の個数

$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(C\cap A)+n(A\cap B\cap C)$

初等関数の性質

• xをaからbまで変化させたときの関数$f(x)$の変化の割合（平均変化率）:

  ${\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

一次関数

• 2点 $(a_{1},b_{1})$, $(a_{2},b_{2})$ を通る直線の式：

  $y={\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}(x-a_{1})+b_{1}$

  • 2点 $x$切片$(a,0)$, $y$切片$(0,b)$（但し、ab≠0とする）を通る直線の式：

    ${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1$

• 点 $(x_{0},y_{0})$ を通り、傾き $c$ の直線の式：

  $y-y_{0}=c(x-x_{0})$

  • 傾き $c$ を方向ベクトル$(a,b)$と捉えると：

    ${\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}$

接線の方程式

• 関数$f(x)$のグラフ上の点$(x_{1},y_{1})$における接線:

  $y-y_{1}=f^{\prime }(x)(x-x_{1})$

• 楕円${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$上の点$(x_{1},y_{1})$における接線:

  ${\frac {x_{1}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}y}{b^{2}}}=1$

• 双曲線${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$上の点$(x_{1},y_{1})$における接線:

  ${\frac {x_{1}x}{a^{2}}}-{\frac {y_{1}y}{b^{2}}}=1$

• 放物線$y^{2}=4px$上の点$(x_{1},y_{1})$における接線:

  $y_{1}y=2p(x+x_{1})$

二次関数

• 点 $(p,q)$ を頂点とし，2次の項の係数が $a$ である二次関数の式：

  $y=a(x-p)^{2}+q$

• 点 $(p,q)$ を頂点とし，点 $(a,b)$ を通る二次関数の式：

  $y={\frac {b-q}{(a-p)^{2}}}(x-p)^{2}+q$

• 2点 $(a_{1},b_{1})$, $(a_{2},b_{2})$ を通り，2階微分の係数が $c$ である二次関数の式：

  $y=c(x-a_{1})(x-a_{2})+{\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}(x-a_{1})+b_{1}$

• 3点 $(a_{1},b_{1})$, $(a_{2},b_{2})$, $(a_{3},b_{3})$ を通る二次関数の式：

  $y=b_{1}{\frac {(x-a_{2})(x-a_{3})}{(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})}}+b_{2}{\frac {(x-a_{3})(x-a_{1})}{(a_{2}-a_{3})(a_{2}-a_{1})}}+b_{3}{\frac {(x-a_{1})(x-a_{2})}{(a_{3}-a_{1})(a_{3}-a_{2})}}$

関数のグラフの移動

平行移動

• $y=f(x)$の表すグラフを x軸方向にa、 y軸方向にb移動したときのグラフを表す式：

  $y-b=f(x-a)$

対称移動

• $y=f(x)$の表すグラフを x軸に関して対称移動したときのグラフを表す式：

  $y=-f(x)$

• $y=f(x)$の表すグラフを y軸に関して対称移動したときのグラフを表す式：

  $y=f(-x)$

• $y=f(x)$の表すグラフを原点に関して対称移動したときのグラフを表す式：

  $y=-f(-x)$

• $y=f(x)$の表すグラフを$y=x$ に関して対称移動したときのグラフを表す式：

  $x=f(y)$

三角関数

基本公式

• $\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=\cos \theta$

  $\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-\sin \theta$

  $\tan \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)=-{\frac {1}{\tan \theta }}$

  $\sin(\pi +\theta )=-\sin \theta$

  $\cos(\pi +\theta )=-\cos \theta$

  $\tan(\pi +\theta )=\tan \theta$

• 三角比の相互関係

  $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$(ピタゴラスの基本三角公式)

  $\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$

  $1+\tan ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}$

  $1+{\frac {1}{\tan ^{2}\theta }}={\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}$

補角の公式(還元公式)

• $\sin(\pi -\theta )=\sin \theta$

  $\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$

  $\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$

余角の公式(還元公式)

• $\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$

  $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$

  $\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)={\frac {1}{\tan \theta }}$

負角の公式(還元公式)

• $\sin(-\theta )=-\sin \theta$

  $\cos(-\theta )=\cos \theta$

  $\tan(-\theta )=-\tan \theta$

加法定理

• $\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
• $\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
• $\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

（すべて複号同順）

二倍角の公式

• $\displaystyle \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
• $\displaystyle \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$
• $\tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

半角の公式

• $\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos \theta }{2}}$
• $\cos ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1+\cos \theta }{2}}$
• $\tan ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}$
• $\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}$

和積の公式

• $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
• $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
• $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
• $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
• $\sin \alpha \cdot \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right\}$
• $\cos \alpha \cdot \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\right\}$
• $\cos \alpha \cdot \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right\}$
• $\sin \alpha \cdot \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left\{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right\}$

三角関数の合成

• $a\sin \theta +b\cos \theta ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(\theta +\alpha )$ただし、$\sin \alpha ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\cos \alpha ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

指数関数・対数関数

以下、この節内では a, b ,c は実数とする。

指数関数

• $\displaystyle a^{b}\times a^{c}=a^{b+c}$
• $a^{b}\div a^{c}=a^{b-c}$
• $\displaystyle (a^{b})^{c}=a^{bc}$
• $\displaystyle (ab)^{c}=a^{c}b^{c}$

対数関数

以下a>0かつa≠1とし、また対数の真数として表れるものはすべて正とする。

• $\displaystyle \log _{a}(bc)=\log _{a}b+\log _{a}c$
• $\log _{a}\left({\frac {b}{c}}\right)=\log _{a}b-\log _{a}c$
• $\displaystyle \log _{a}b^{c}=c\log _{a}b$
• $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$
  • 特に$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$,　$\log _{a}b\cdot \log _{b}a=1$

三次元空間

• 2点A$(a_{1},b_{1},c_{1})$, B$(a_{2},b_{2},c_{2})$間の距離：

  $AB={\sqrt {(a_{2}-a_{1})^{2}+(b_{2}-b_{1})^{2}+(c_{2}-c_{1})^{2}}}$

直線の式

• 点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ を通り、方向ベクトルが$(a,b,c)$である直線の式：

  ${\frac {x-x_{0}}{a}}={\frac {y-y_{0}}{b}}={\frac {z-z_{0}}{c}}$

  • 2点 $(a_{1},b_{1},c_{1})$, $(a_{2},b_{2},c_{2})$ を通る直線の式：

    ${\frac {x-a_{1}}{a_{2}-a_{1}}}={\frac {y-b_{1}}{b_{2}-b_{1}}}={\frac {z-c_{1}}{c_{2}-c_{1}}}$

平面の式

• 一般式

  $ax+by+cz+d=0$

  • 点 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ を通り、法線ベクトルが$(a,b,c)$である平面の式：

    $a({x-x_{0}})+b({y-y_{0}})+c({z-z_{0}})=0$

  • 3点 $x$切片$(a,0,0)$, $y$切片$(0,b,0)$, $z$切片$(0,0,c)$（ただしabc≠0とする）を通る直線の式：

    ${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1$

• 点P $(p,q,r)$と直線$ax+by+cz+d=0$の距離:

  ${\frac {\left|ap+bq+cr+d\right\vert }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

球面の式

• 中心座標$\displaystyle (a,b,c)$、半径rの球の方程式（標準形）：

  $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$

初等解析

数列と極限

数列

• $\sum _{k=1}^{n}k={1 \over 2}n(n+1)$
• $\sum _{k=1}^{n}k^{2}={1 \over 6}n(n+1)(2n+1)$
• $\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left\{{1 \over 2}n(n+1)\right\}^{2}$
• $\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\begin{cases}an&(r=1)\\{\cfrac {a(1-r^{n})}{1-r}}&(r\not =1)\end{cases}}$
• すべての自然数 $n$ に対し $\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=b_{n}$ のとき、

$a_{n}=a_{1}+\sum _{k=1}^{n-1}b_{k}$

数列・級数の極限

• 数列 $\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}$ が、$N$ が十分大きいとき常に $\displaystyle a_{N}\leq b_{N}\leq c_{N}$ を満たし、$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=\alpha$ となるならば、$\displaystyle \{b_{n}\}$ も収束し、

  $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\alpha$

（はさみうちの原理）

• 数列 $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ に対して, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha$, $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\beta$ ならば、

1. $\lim _{n\to \infty }ka_{n}=k\alpha$ ただし $k$ は定数。
2. $\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\alpha \pm \beta$　（複号同順）。
3. $\lim _{n\to \infty }a_{n}b_{n}=\alpha \beta$
4. $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\alpha }{\beta }}$ 　（ただし、$\beta \not =0$）。

• 数列 $\{r^{n}\}$ について、

1. $\displaystyle |r|<1$ ならば $\lim _{n\to \infty }r^{n}=0$。
2. $r=1$ ならば $\lim _{n\to \infty }r^{n}=1$。
3. $\displaystyle r>1$ ならば $\lim _{n\to \infty }r^{n}=\infty$。
4. $r$ ≤ $-1$ ならば $\lim _{n\to \infty }r^{n}$ は存在しない。

• 級数： $S_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}r^{k-1}$ について、

1. $|r|<1$ のとき $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {1}{1-r}}$。
2. $|r|$ ≥ $1$ のとき $\lim _{n\to \infty }S_{n}$ は発散する。

関数の極限

• $\lim _{x\to a}f(x)=\alpha$, $\lim _{x\to a}g(x)=\beta$のとき、

1. $\lim _{x\to a}kf(x)=k\alpha$ ただし、$k$ は定数。
2. $\lim _{x\to a}\{f(x)\pm g(x)\}=\alpha \pm \beta$　（複号同順）。
3. $\lim _{x\to a}f(x)g(x)=\alpha \beta$
4. $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\alpha }{\beta }}$ ただし、$\displaystyle \beta \neq 0$。

• $a$ のある近傍で定義された関数$f$, $g$, $h$ があり、この近傍内の任意の $x$ に対して、$\displaystyle f(x)$ ≤ $g(x)$ ≤ $h(x)$ かつ $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}h(x)=\alpha$ ならば、$\lim _{x\to a}g(x)$ は収束し、

  $\lim _{x\to a}g(x)=\alpha$

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}=1$
• $\lim _{h\to \infty }\left(1+{\frac {1}{h}}\right)^{h}=\lim _{h\to 0}(1+h)^{\frac {1}{h}}=e$
• $\lim _{h\to \infty }\left(1+{\frac {r}{h}}\right)^{h}=e^{r}$
• $\lim _{r\to \infty }{\sqrt[{r}]{a}}=1$　（$a$ は正定数）。
• $\lim _{r\to \infty }{\sqrt[{r}]{r}}=1$

微積分

• ${d \over dx}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$　（微積分学の基本定理）

微分

$\prime ={\frac {d}{dx}}$, 変数 x の微分可能な関数 f, g に対して

• $(f+g)^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$
• $(fg)^{\prime }=f^{\prime }g+fg^{\prime }$　（ライプニッツ則）
• $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\quad ({\mbox{where }}g\neq 0)$
• $(f\circ g)'=(f'\circ g)\cdot g'$

  別の表現で ${\frac {df(g(x))}{dx}}={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}$ 　（チェインルール）

• $\left(f^{-1}\right)'={\frac {1}{f'\circ f^{-1}}}$

  $y=f\left(x\right)$とおくと、$x=f^{-1}\left(y\right)$で ${\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}$ とも表せる。

• 媒介変数による微分　$x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)$ ならば ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}/{\frac {dx}{dt}}$

実数 $a$ に対して

• $\left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}$
• $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\log a$

  特に、$\left(e^{x}\right)'=e^{x}$

• $(\log _{a}x)'={\frac {1}{x\log a}}$

  特に、$(\log x)'={\frac {1}{x}}$

• $\left(\sin x\right)'=\cos x$
• $\left(\cos x\right)'=-\sin x$
• $\left(\tan x\right)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$

• $\left(x^{x}\right)'=x^{x}\left(1+\log x\right)$

積分

• $\left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx$

• $\int _{a}^{b}f(x(t))\cdot {\frac {dx}{dt}}\,dt=\int _{\alpha }^{\beta }f(x)\,dx$

  ただし、t = a, b のとき、それぞれ x = α, β。

• $\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx$

  ただし、$[h(x)]_{a}^{b}=h(b)-h(a)$ と略記。

  別の表現：$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}g(x)\,df(x)$

• $\left(\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right)$　（コーシー・シュワルツの不等式）

確率・統計

順列・組合せ

• 異なるn個からr個を取る順列：

  ${}_{n}{\rm {P}}_{r}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-r+1)={\frac {n!}{(n-r)!}}$

  • 異なるn個からr個を取るとき、重複を許す場合の順列（重複順列）：

    $\displaystyle n^{r}={}_{n}{\rm {\Pi }}_{r}$

• n個のもののうち、p₁個は同じもの、p₂個は別の同じもの、p₃個はさらに別の同じもの、……であるとき、これらn個のもの全部で作られる順列:

  ${\frac {n!}{p_{1}!p_{2}!p_{3}!\cdots p_{k}!}}$ ただし、n=p₁ + p₂ + p₃+ … +p_k

• 異なるn個のものを円形に並べる順列（円順列）:

  $\displaystyle (n-1)!$

• 異なるn個のものを（時計・反時計回り関係無く）円形に並べる順列（数珠順列） :

  $\displaystyle {\frac {(n-1)!}{2}}$

• 異なるn個からr個を取る組合せ：

  ${}_{n}{\rm {C}}_{r}={n\times (n-1)\times \cdots \times (n-r+1) \over r\times (r-1)\times \cdots \times 1}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}$

  • 異なるn個からr個を取るとき、重複を許す場合の組合せ（重複組合せ）：

    $\displaystyle {}_{n+r-1}{\rm {C}}_{r}={}_{n}{\rm {\mathrm {H} }}_{r}$

確率

• Aが起こらない確率（Aの余事象が起きる確率）$P({\bar {A}})$:

  $P({\bar {A}})=1-P(A)$

• 事象A,Bが同時に起きる（すなわち積事象$A\cap B$の）確率:

  $\displaystyle P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)$

  • 特に事象A,Bが独立、すなわち$P(A\mid B)=P(A)$のとき:

    $\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)$

• 事象AまたはBが起きる（すなわち和事象$A\cup B$の）確率:

  $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

  • 特に事象A, Bが排反、すなわち$P(A\cap B)=0$のとき:

    $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

• 確率pで事象Aが起こる試行を独立にn回行うとき、事象Aがちょうどr回起こる確率(反復試行の確率):

  $\displaystyle {}_{n}{\rm {C}}_{r}p^{r}(1-p)^{n-r}$

平均値・分散・標準偏差

以下、この節では度数分布表の階級値を$x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$とし、それに対応する度数を$f_{1},f_{2},\cdots ,f_{n}$、総度数をNとする。

• 度数分布表からの平均値${\overline {x}}$:

  ${\overline {x}}={\frac {x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+\cdots +x_{n}f_{n}}{N}}$

  • また、このときの分散$s^{2}$と標準偏差s:

    $s^{2}={\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}f_{1}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}f_{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}f_{n}}{N}}$

    $s={\sqrt {\frac {(x_{1}-{\overline {x}})^{2}f_{1}+(x_{2}-{\overline {x}})^{2}f_{2}+\cdots +(x_{n}-{\overline {x}})^{2}f_{n}}{N}}}$

• ある階級値を仮平均aとし、階級の幅をc、仮平均からの偏差をcで割った数値を$u_{k}$とする　(すなわち$u_{k}={\frac {x_{k}-a}{c}}$ $(k=1,2,\cdots ,n)$)ときの平均値${\overline {x}}$:

  ${\overline {x}}=a+c{\overline {u}}$　ただし、${\overline {u}}={\frac {u_{1}f_{1}+u_{2}f_{2}+\cdots +u_{n}f_{n}}{N}}$

  • また、このときの標準偏差s:

    $s=cs_{u}$　ただし、$s_{u}^{2}={\frac {(u_{1}-{\overline {u}})^{2}f_{1}+(u_{2}-{\overline {u}})^{2}f_{2}+\cdots +(u_{n}-{\overline {u}})^{2}f_{n}}{N}}$

• 確率変数$X$が二項分布$B(n\ ,\ p)$に従い、$q=1-p$とする場合の平均値$E(X)$, 分散$V(X)$, 標準偏差$D(X)$:

  $\ E(X)=np\$

  $\ V(X)=npq\$

  $\ D(X)={\sqrt {npq}}$