初等数学公式集

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"公式とは、数式で表される定理のことである " (出典:フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』- 公式

以下に、日本の数学教育において大学入学程度の水準までに用いられる、主な公式をジャンルごとに分けて記しておく。

初等幾何[編集]

三平方の定理[編集]

  • 直角三角形の直角をはさむ2辺の長さをab、斜辺の長さをcとすると、以下の関係が成り立つ。:
  • 三角形の三辺の長さa,b,cを満たすとき、この三角形は長さcの辺を斜辺とする直角三角形となる。

正弦定理[編集]

において、, 外接円の半径を とすると、

余弦定理[編集]

において、 とすると

第一余弦定理[編集]

第二余弦定理[編集]

多角形[編集]

  • n角形の内角の和:
  • n角形の対角線の本数:

[編集]

  • 半径rの円の円周l:
  • 半径r、中心角a(度)の扇形の弧の長さl:
  • 半径rの円の中心点Oと弦ABとの距離をaとしたときの弦ABの長さ:
方べきの定理・図1
方べきの定理・図2
方べきの定理・図3
  • 方べきの定理:
    • 点Pを通る2本の直線が円とそれぞれ2点A、Bと2点C、Dで交わっているとき(図1、図2):
    • 円外の点Pを通る2本の直線の一方が点Tで円に接し、他方が2点A、Bで交わっているとき(図3):

立体図形[編集]

  • 縦の長さa、横の長さb、高さh の直方体の対角線 l
  • 底面の半径をr、母線の長さ lの円錐の高さ h
  • 凸面体の頂点の数をv、辺の数をe、面の数をfとすると以下の関係が成り立つ(オイラーの多面体定理):

図形と方程式[編集]

  • 中心座標、半径rの円の方程式(標準形):
  • 円の方程式の一般形
     ただし、
  • 上の点Pにおける接線:
  • 2点A, B間の距離:
  • P と直線の距離:
  • 原点O・点・点を結んでできる三角形OABの面積S:
    ただしはそれぞれ直線ABx切片・y切片。

面積と体積[編集]

平面図形の面積[編集]

解説はこちらのページをご覧ください

  • 三角形
    • 底辺のながさ a、高さ h の三角形の面積 S
    • 二辺のながさが a, b でその間の角が θ である三角形の面積 S
    • ある辺のながさが a でその両端の角が θ, δ である三角形の面積 S
    • 三辺のながさが a, b, c で内接する円の半径が r である三角形の面積 S
    • 三辺のながさが a, b, c である三角形の面積 S:(ヘロンの公式)
    • 一辺のながさ a の正三角形の面積 S
  • 四角形
    • 縦のながさ a、横のながさ b の長方形の面積 S
    • 一辺のながさ a の正方形の面積 S
    • 底辺のながさ a、高さ h の平行四辺形の面積 S
    • 上底のながさ a、下底のながさ b、高さ h の台形の面積 S
    • 対角線のながさ a、もう一つの対角線のながさ b のひし形の面積 S
    • 四辺の長さがa,b,c,dで円に内接する四角形の面積S:(ブラーマグプタの公式)
  • 正多角形
    • 一辺のながさ a の正n角形の面積 S:
  • 円と扇形
    • 半径 r の円の面積 S
    • 半径 r 、中心角a(度)の扇形の面積S:
    • 半径 r 、中心角 θ(rad) の扇形の面積 S:
    • 半径 r 、弧の長さlの扇形の面積 S

立体図形の面積[編集]

解説はこちらのページをご覧ください

  • 縦のながさ a、横のながさ b、高さ h の直方体の表面積 S
    • 底面積 B
    • 側面積 A
  • 一辺のながさ a の立方体の表面積 S
  • 底面の周の長さ l、高さ h の柱体の側面積 S
  • 半径rの球の表面積S:

体積[編集]

解説はこちらのページをご覧ください

直方体
  • 縦のながさ a、横のながさ b、高さ h の直方体の体積 V
  • 一辺のながさ a の立方体の体積 V
  • 底面積 S、高さ h の柱体の体積 V
  • 底面積 S、高さ h の錐体の体積 V
  • 一辺のながさ a の正四面体の体積 V
  • 一辺のながさ a の正八面体の体積 V
  • 一辺のながさ a の正十二面体の体積 V
  • 一辺のながさ a の正二十面体の体積 V
  • 球の体積 V

ベクトル[編集]

以下に挙げる公式で空間ベクトルで成り立つものは、その 成分を とした平面ベクトルでも成り立つ。

  • の成す角が のとき
  • , のとき、
  • , , O は原点とするときの三角形 OAB の面積
とくに、, とすると、
  • 二つのベクトル , に対し、
よって、
等号成立は、実数 k があって とできるときのみ。

初等代数[編集]

展開公式[編集]

解説はこちらのページをご覧ください

  • 基本公式
  • 累乗
  • 応用
    • の展開式の一般項(多項定理):
      • (ただし、n=p + q + r)

式の変形[編集]

絶対不等式[編集]

  • 正の実数からのみ成る数列 に対し、
等号成立は a1 = a2 = … = an のときのみ。(相加平均と相乗平均の関係式)
  • 複素数から成る数列 に対し、
等号成立はすべての数の偏角が等しいときのみ。(三角不等式)
  • 二つの数列 , に対し、
等号成立は、複素数 zb1 = za1, b2 = za2, ..., bn = zan が全て成り立つようなものが存在するときに限る。(コーシー・シュワルツの不等式)

方程式[編集]

  • 1次方程式 の解の公式:
  • 2次方程式 の解の公式:
    • の場合には、:
  • 2次方程式 の2つの解をα, βとすると、:

であり、このα、βは次の関係式を満たす。(解と係数の関係)

数の性質[編集]

整数[編集]

  • 自然数Nが相異なる素数を用いてと素因数分解されるとき、
Nの約数の個数は
また、その約数の総和は
  • 自然数Q,Nに対し、1以上Q以下のNの倍数の個数。:
     ただし、はガウス記号。
    • 自然数P,Q,Nに対し、P以上Q以下のNの倍数の個数
       ただし、はガウス記号。
  • 自然数a,bについて、それらの最大公約数をg、最小公倍数をlとすると、以下の関係が成り立つ。:
  • 奇数の和:
  • abを互いに素な整数とするとき、1次不定方程式を満たす整数解:
     (kは整数)

分数[編集]

複素数[編集]

  •  (オイラーの式)
  • 複素数のべき乗:(ド・モアブルの定理)

行列[編集]

Eを2次単位行列、Oを2×2の零行列とすると、任意の2次正方行列 について

  •  (ケイリー・ハミルトンの定理)

集合[編集]

  • 演算規則
    • 交換法則
    • 結合法則
    • 分配法則
  • ド・モルガンの法則
  • 集合の要素の個数

初等関数の性質[編集]

  • xaからbまで変化させたときの関数の変化の割合(平均変化率):

一次関数[編集]

  • 2点 , を通る直線の式:
    • 2点 切片, 切片(但し、ab≠0とする)を通る直線の式:
  • を通り、傾き の直線の式:
    • 傾き を方向ベクトルと捉えると:

接線の方程式[編集]

  • 関数のグラフ上の点における接線:
  • 楕円上の点における接線:
  • 双曲線上の点における接線:
  • 放物線上の点における接線:

二次関数[編集]

  • を頂点とし,2次の項の係数が である二次関数の式:
  • を頂点とし,点 を通る二次関数の式:
  • 2点 , を通り,2階微分の係数が である二次関数の式:
  • 3点 , , を通る二次関数の式:

関数のグラフの移動[編集]

平行移動[編集]

  • の表すグラフを x軸方向にay軸方向にb移動したときのグラフを表す式:

対称移動[編集]

  • の表すグラフを x軸に関して対称移動したときのグラフを表す式:
  • の表すグラフを y軸に関して対称移動したときのグラフを表す式:
  • の表すグラフを原点に関して対称移動したときのグラフを表す式:
  • の表すグラフを に関して対称移動したときのグラフを表す式:

三角関数[編集]

基本公式[編集]

  • 三平方の定理から以下の公式が導き出される(三角比の相互関係)。:
  • また、定義からただちにわかる基本的な関係式として次が成り立つ。

加法定理[編集]

(すべて複号同順)

二倍角の公式[編集]

半角の公式[編集]

和積の公式[編集]

三角関数の合成[編集]

  • ただし、

指数関数・対数関数[編集]

以下、この節内では a, b ,c は実数とする。

指数関数[編集]

対数関数[編集]

以下a>0かつa≠1とし、また対数の真数として表れるものはすべて正とする。

    • 特に, 

三次元空間[編集]

  • 2点A, B間の距離:

直線の式[編集]

  • を通り、方向ベクトルがである直線の式:
    • 2点 , を通る直線の式:

平面の式[編集]

  • 一般式
    • を通り、法線ベクトルがである平面の式:
    • 3点 切片, 切片, 切片(ただしabc≠0とする)を通る直線の式:
  • P と直線の距離:

球面の式[編集]

  • 中心座標、半径rの球の方程式(標準形):

初等解析[編集]

数列と極限[編集]

数列[編集]

  • すべての自然数 に対し のとき、

数列・級数の極限[編集]

  • 数列 が、 が十分大きいとき常に を満たし、 となるならば、 も収束し、

(はさみうちの原理)

  • 数列 に対して, , ならば、
  1. ただし は定数。
  2.  (複号同順)。
  3.  (ただし、)。
  • 数列 について、
  1. ならば
  2. ならば
  3. ならば
  4. ならば は存在しない。
  • 級数: について、
  1. のとき
  2. のとき は発散する。

関数の極限[編集]

  • , のとき、
  1. ただし、 は定数。
  2.  (複号同順)。
  3. ただし、
  • のある近傍で定義された関数, , があり、この近傍内の任意の に対して、 かつ ならば、 は収束し、
  •  ( は正定数)。

微積分[編集]

  •  (微積分学の基本定理)

微分[編集]

, 変数 x の微分可能な関数 f, g に対して

  •  (ライプニッツ則)
  • 別の表現で  (チェインルール)
  • とおくと、 とも表せる。
  • 媒介変数による微分  ならば

実数 に対して

  • 特に、
  • 特に、

積分[編集]

  • ただし、t = a, b のとき、それぞれ x = α, β。
  • ただし、 と略記。
    別の表現:
  •  (コーシー・シュワルツの不等式)

確率・統計[編集]

順列・組合せ[編集]

  • 異なるn個からr個を取る順列:
    • 異なるn個からr個を取るとき、重複を許す場合の順列(重複順列):
  • n個のもののうち、p1個は同じもの、p2個は別の同じもの、p3個はさらに別の同じもの、……であるとき、これらn個のもの全部で作られる順列:
    ただし、n=p1 + p2 + p3+ … +pk
  • 異なるn個のものを円形に並べる順列(円順列):
  • 異なるn個からr個を取る組合せ:
    • 異なるn個からr個を取るとき、重複を許す場合の組合せ(重複組合せ):

確率[編集]

  • Aが起こらない確率(Aの余事象が起きる確率):
  • 事象A,Bが同時に起きる(すなわち積事象の)確率:
    • 特に事象A,Bが独立、すなわちのとき:
  • 事象AまたはBが起きる(すなわち和事象の)確率:
    • 特に事象A, Bが排反、すなわちのとき:
  • 確率pで事象Aが起こる試行を独立にn回行うとき、事象Aがちょうどr回起こる確率(反復試行の確率):

平均値・分散・標準偏差[編集]

以下、この節では度数分布表の階級値をとし、それに対応する度数を、総度数をNとする。

  • 度数分布表からの平均値:
    • また、このときの分散と標準偏差s:
  • ある階級値を仮平均aとし、階級の幅をc、仮平均からの偏差をcで割った数値をとする (すなわち )ときの平均値:
     ただし、
    • また、このときの標準偏差s:
       ただし、
  • 確率変数が二項分布に従い、とする場合の平均値, 分散, 標準偏差: