初等整数論/多項式と数列

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与えられた多項式 に対し、多項式の値 は数列をなす。 たとえば等差数列は1次式によってあらわされる数列といえる。また、与えられた整数 について m角数 を順に並べた数列は、

と多項式によりあらわされる。

数列の総和[編集]

多項式で表される数列の総和について、次の基本的な定理が成り立つ。

定理 次多項式によって表される数列であるとき、総和 次の多項式によってあらわされる。

証明
とおく。 の次数 に関する帰納法で証明する。

が0次多項式、つまり定数である場合 は一次式であらわされる。

より低い次数について証明されたとして、次の多項式 について証明する。二項定理より

となるが、この係数を書き出すと

となり、これは最高次の係数が 次多項式であるから

は最高次の係数が 次多項式である。 したがって は高々 次の多項式である。よって は高々 次の多項式であらわされる。 ここで

より

次の多項式で表される。

となる。


の和、つまり を求める。

より

が成り立つ。

また、特殊な例として、二項係数 を一つに決めれば、 の多項式で表される数列となる。ここで

とおくと、 各 次多項式で、 に対し、その値は

に一致する。上の関係から

が成り立つ。

図形数[編集]

m角数 について以前触れたが、より一般に高次元の図形と関係づけられる整数列が存在する。

最も単純な例として、立方体状に並べられた点の個数は

で表される。立方体に関連付けられることから 立方数 という。

次に、正四面体状に並べられた点の個数はどうなるか。そこで次のように正四面体状に球を積んでいくことを考える。まず最上段に1個、それを囲む形で、その次の段に3個の球を三角形状に配置し、それを囲む形で、その次の段には 1+2+3=6個の球を三角形状に配置していく。

Pyramid of 35 spheres animation.gif

同じようにして k 段目には 個の球を三角形状に配置すると、右図のような形となる。このようにして n 段積んだときの球の個数は、先程示した二項係数の関係式から、

となる。そこでこの形の数を四面体数あるいは三角錐数という。三角錐数は小さい方から 1, 4, 10, 20, 35, 56, ... となる。

次に、四角錐(ピラミッド)状に並べられた点の個数を考える。

4段の四角錐数は 12+22+32+42=30

今度は右図のように最上段に1個、その次の段に22=4個、その次の段に32=9個、と何段かの正四角錐の形に積んだときの、球の総数を数えることになるが、n 段積んだ時の球の個数は 個に一致するから、先程示したように

に一致する。そこでこの形の数を四角錐数という。四角錐数は小さい方から 1, 5, 14, 30, 55, 91, ... となる。