与えられた多項式
に対し、多項式の値
は数列をなす。
たとえば等差数列は1次式によってあらわされる数列といえる。また、与えられた整数
について m角数 を順に並べた数列は、
![{\displaystyle a_{n}={\frac {(m-2)n^{2}-(m-4)n}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84f0e247bef22521f3e7a725235356b01abda64f)
と多項式によりあらわされる。
多項式で表される数列の総和について、次の基本的な定理が成り立つ。
定理
が
次多項式によって表される数列であるとき、総和
は
次の多項式によってあらわされる。
証明
とおく。
の次数
に関する帰納法で証明する。
が0次多項式、つまり定数である場合
は一次式であらわされる。
より低い次数について証明されたとして、
次の多項式
について証明する。二項定理より
![{\displaystyle x^{k+1}-(x-1)^{k+1}=x^{k+1}-\sum _{i=0}^{k+1}(-1)^{i}{\binom {k+1}{i}}x^{k+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a129d514b1e7fbace2cd8158037b0e28a819a4c7)
となるが、この係数を書き出すと
![{\displaystyle x^{k+1}-\left(x^{k+1}-(k+1)x^{k}+{\frac {k(k+1)}{2}}x^{k-1}-+\cdots \right)=(k+1)x^{k}-{\frac {k(k+1)}{2}}x^{k-1}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b148238156bff16075a8a21e60e4a2227231331)
となり、これは最高次の係数が
の
次多項式であるから
![{\displaystyle Q(x)={\frac {a_{k}x^{k+1}}{k+1}}-{\frac {a_{k}(x-1)^{k+1}}{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9775f2a2adabad7f87dd290f630c7cb5853b956b)
は最高次の係数が
の
次多項式である。
したがって
は高々
次の多項式である。よって
は高々
次の多項式であらわされる。
ここで
![{\displaystyle Q(n)+Q(n-1)+\cdots +Q(1)={\frac {a_{k}}{k+1}}\sum _{m=1}^{n}(m^{k+1}-(m-1)^{k+1})={\frac {a_{m}n^{k+1}}{k+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/756007d604eee85048cf9a3e08cf9d5d9eedc43f)
より
![{\displaystyle P(n)+P(n-1)+\cdots +P(1)={\frac {a_{k}n^{k+1}}{k+1}}+U(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11cdf80734ab42f91faf1abb1c8583a88c4864a)
と
次の多項式で表される。
となる。
例
の和、つまり
を求める。
![{\displaystyle {\frac {n^{3}-(n-1)^{3}}{3}}={\frac {3n^{2}-3n+1}{3}}=n^{2}-n+{\frac {1}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d559c8a76acc5db26a0b8f205cd994bbd6297f52)
より
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n^{3}}{3}}+\sum _{k=1}^{n}\left(k-{\frac {1}{3}}\right)={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {n}{3}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38add9e188fe7b87c1ebcf4003c3832128c7f6c3)
が成り立つ。
また、特殊な例として、二項係数
は
を一つに決めれば、
の多項式で表される数列となる。ここで
![{\displaystyle f_{m}(x)={\frac {(x+1)(x+2)\cdots (x+m)}{m!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7983e689b4559176246a88a5945c3bffa9de4c8d)
とおくと、 各
は
次多項式で、
に対し、その値は
![{\displaystyle f_{m}(n)={\frac {(n+1)(n+1)(n+2)\cdots (n+m)}{m!}}={\binom {n+m}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9541c13f62a2c14e704ca64e2f90995edb162791)
に一致する。上の関係から
![{\displaystyle f_{m+1}(n)={\binom {n+m+1}{m+1}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {m+k}{m}}=\sum _{k=0}^{n}f_{m}(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b391fc5b476dc5695eea3520b4cf1647ce2c3f5f)
が成り立つ。
m角数 について以前触れたが、より一般に高次元の図形と関係づけられる整数列が存在する。
最も単純な例として、立方体状に並べられた点の個数は
![{\displaystyle a_{n}=n^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ee78ceb9338c846e82b0510b26c49e21733ae8c)
で表される。立方体に関連付けられることから 立方数 という。
次に、正四面体状に並べられた点の個数はどうなるか。そこで次のように正四面体状に球を積んでいくことを考える。まず最上段に1個、それを囲む形で、その次の段に3個の球を三角形状に配置し、それを囲む形で、その次の段には
1+2+3=6個の球を三角形状に配置していく。
同じようにして k 段目には
個の球を三角形状に配置すると、右図のような形となる。このようにして n 段積んだときの球の個数は、先程示した二項係数の関係式から、
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {k+1}{2}}={\binom {n+2}{3}}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d30f78364e1c02f45d076a77ed0a73574864d67)
となる。そこでこの形の数を四面体数あるいは三角錐数という。三角錐数は小さい方から 1, 4, 10, 20, 35, 56, ... となる。
次に、四角錐(ピラミッド)状に並べられた点の個数を考える。
4段の四角錐数は 12+22+32+42=30
今度は右図のように最上段に1個、その次の段に22=4個、その次の段に32=9個、と何段かの正四角錐の形に積んだときの、球の総数を数えることになるが、n 段積んだ時の球の個数は
個に一致するから、先程示したように
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2167cb212d27b07c6ef6bcf91588a52b159b3168)
に一致する。そこでこの形の数を四角錐数という。四角錐数は小さい方から 1, 5, 14, 30, 55, 91, ... となる。