利用者:ざっとの編集所/sandbox/算術
算術とは、
数・加法
[編集]1とは
[編集]存在する。これをと呼ぶ。
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- 数・加法
既に$1$であるときに別の位置が$1$となり、最初の$1$と別の$1$を合わせて考える。このまとまりを$2$と呼び、$1$と$2$のグループを**数**と呼ぶ。「最初の$1$と別の$1$を合わせて考える」ことを合わせて考えることを**加法**、加法を行うことを**加える**と呼ぶ。加法を最初の状態と記号、何を合わせたかを順番に並べること、つまり$1+1$と表記する。加法と$2$、この両方とも同じものを指しているため、この事実を$1+1 = 2$と表記する。「この両方とも同じものを指している」という事実を「等しい」と呼ぶ。
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- 数の拡張
$2$であるとき、さらに別の位置が$1$となり、最初の$2$と別の$1$を合わせて考える。この$2$と$1$のまとまりを$3$と呼び、これも数の一員とする。このとき、加法を「最初の$1$もしくは$2$と別の$1$を合わせて考える」と定義し直す。よって表記も今回の場合$2+1$、まとまりと等しいので$2+1=3$と表せる。
このように、新しく出来たまとまりに別の$1$を合わせることを繰り返して新しい数を作ることが出来、また加法の定義を広げることができる。そうすると加法は「ある数と別の$1$を合わせて考える」と定義し直せる。
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- 加法の拡張
では、最初に$2$があるときに新しく別の位置が$2$になった場合、つまり「「既に$1$であるときに別の場所が$1$になり」次に「新しい場所の$1$があり、そのまた別の位置が$1$になった」が起こる」という場合について合わせて考える。順に考えていくと次のようになることが分かる。
$$ 1 \rightarrow 1+1=2 \rightarrow 2, 1 \rightarrow 2, 1 + 1 = 2 \rightarrow 2, 2 $$
これを見てみると、$2, 1$が「最初の$2$と別の$1$を合わせて考える」と置き換えられることが分かる。よってこの考えは最終的に以下のようになる。
$$ 1 \rightarrow 1+1=2 \rightarrow 2 + 1 = 3 \rightarrow 3 + 1 = 4 $$
つまり、同じように考えると加法は「ある数と別のある数を合わせて考える」と定義し直せる事が分かる。今回の「最初に$2$があるときに新しく別の位置が$2$になった場合の加法」は$2+2 = 4$と表記する。
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- 加法の連結
このように考えていくと、$3$のときに別の$2$、さらに別の$1$が発生したときを考えることができる。
$$ 3 \rightarrow 3 + 2 = 5 \rightarrow 5 + 1 = 6 $$
つまり加法は複数個つなげることができる、言い換えるならば「ある数と別のある数を合わせて考えた」Aと「ある数と別のある数を合わせて考えた」Bを用意し「AとBを合わせて考える」という流れをしている。今回では$3+2+1 = 6$と表せる。加法の複数結合はいくらでも可能である。
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- 対称性・推移性
ここで「小さい数」と「大きい数」の加法、具体的に$2+8$を考える。加法の逆、ここでは分法と名付けておく、をすると$1+1+1+1+1+1+1+1+1+1$と数を$1$に分解できる。これを再度加えてみると$8+1+1$という風になる。これは$8, 1 + 1 = 2$とすると分かりやすいが$8+2$の式と同じになるつまり以下のように考えられるのだ
$$ 2+8 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 8 + 2 $$
つまり$2+8 = 8+2$であって、「小さい数」と「大きい数」の加法では大きい数を一度バラバラにすることで小さい数を大きい数と同じ数に変えて計算することができる。つまり「数が違う同士の加法は、前後を逆にしても同じまとまりになる」ということだ。この性質を**対称性**という
順番を逆にしても同じまとまりになるのならば「どこから加えても最終的には同じまとまりになる」とも言える。この性質を**推移性**という。
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- 減法
- 単位元
ここで空っぽの数$0$を作る。$0$とは$1+0=1$となる数のことだ。これを**単位元**と呼ぶ。
- 逆元
ここで逆に$1$とまとめると単位元になる数$-1$を作る。$1+(-1)=0$となる数のことだ。これを**逆元**と呼ぶ。逆元は$1$と対になっているため、他の数と対になる逆元を作る。逆元の定義を「ある数に加えると単位元になる数」とする。また、$1$から加法で作る数を正として、正の数から逆元で作る数を**負の数**と呼ぶ。正の数を**自然数**と呼ぶ。
- 減法
分法を使うとある数と「ある数と対になっていない逆元」との加法が可能となる。例えば$8+(-3)=5+3+(-3)=5 + 0 = 5$である。この「分法で逆元と対になるように数を作り、単位元に変換すること」を**減法**と呼ぶ。減法は$+(-$を省略して$8-3=5$のように表記する。
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- 乗法
- 乗法
$2+2+2+2+2=4+2+2+2=6+2+2=8+2=10$であるが、同じ数の加法が連なっている場合、表記を$2+2+2+2+2=2\times5$とまとめることが可能となる。この「前の数を後ろの数回分加える」ことを**乗法**といい、乗法を施すことを掛けるという。
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- 対称性・推移性
ここで加法と同じように対称性と推移性を見ていく。
$2\times5=2+2+2+2+2=(1+1)+(1+1)+(1+1)+(1+1)+(1+1)=(1+1+1+1+1)+(1+1+1+1+1)=5+5=5\times2$と対称性があることが確認できる。
$2\times3\times2 = (2+2+2)\times2 = (2+2+2) + (2+2+2) = 2 + 2 +2 +2 +2 +2 = 2\times6$と推移性も確認できる。
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- 分配法則
$3\times(2+1)=(2+1)+(2+1)+(2+1)=(2+2+2)+(1+1+1)=2\times3 + 1\times3$という風に加法の数に数を掛けると加法の数それぞれに乗法が施される。これを分配法則という。
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- 0の乗法
$0$を負数で表記し、分配法則を使って$0$の乗法を表記する。
$$ 0\times3=(1-1)\times3=(1+1+1)+\left((-1)+(-1)+(-1)\right)=0 $$
よって0の乗法は$0$になる。
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- 負数と負数の乗法
負の数になる減法と分配法則を使って負数と負数の乗法を表記する。
$$
$$
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- 除法
- 乗法の単位元
加法と同じように単位元$A$を定める。$1\times A = 1$となる$A$は$1$である。定義から言っても乗法の単位元は$1$であることが分かる。
- 乗法の逆元
同様に逆元も探す。$1\times B = 1$と掛けると単位元となる数である。このとき$B=1$であるが、 $2\times B = 1$となる数は存在しない。ここでそのような数を$\frac{1}{2}$と定義する。乗法の逆元で定義される数を**逆数**という。反対に現時点で逆数の表記でなくとも表現できる数を**整数**という。
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- 除法
減法と同様に対とならない逆数で乗法を行う。
$$ 5\times\frac{1}{3}=(2+3)\times\frac{1}{3} = 2\times\frac{1}{3} + 3\times\frac{1}{3} = 2\times\frac{1}{3} + 1 $$
ここで$2\times\frac{1}{3}$を省略して$\frac{2}{3}$と表記する。このように逆数で行う乗法を**除法**という。また、除法の結果、逆数やその省略形で表される数を**分数**といい、整数の集合と分数の集合を合わせて**有理数**という。
省略しない形から分かるように、分数でも加法や減法は出来る。
ここで$\frac{5}{3}$の逆数を取ると$\frac{5}{3}\times B = 5 \times \frac{1}{3} \times B = 1$、$B$は5と$\frac{1}{3}$のそれぞれの逆元になればいいから、$B=\frac{1}{5}\times3 = \frac{3}{5}$、つまり分数の上下の数をひっくり返せば逆数となる。よって、$\frac{5}{3}$で除算するときは$\frac{3}{5}$で掛けることとなる。
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- 冪
乗法と同じように乗法の繰り返しをまとめてしまいたい。それを**冪**という。例をあげる。
$$ 5\times5\times5\times5 = 5^4 $$
$5$を**底**、$4$を**指数**と呼ぶ。
冪には対称性も推移性もない。
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指数に分法を適用すると以下のようになる。
$$ 5^{2+3}=5^{5}=5\times5\times5\times5\times5=5^2\times5^3 $$
また、冪数にまた冪を適用すると以下のようになる。
$$ (5^3)^3=5^3\times5^3\times5^3=5^{3+3+3}=5^{3\times 3} $$
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反対に冪指数に減法や除法を適用することも出来る。
$$ 5^6\times5^{-4}=5^2, (5\times5\times5\times5\times5\times5)\times5^{-4}=5\times5, 5^{-4} = \frac{1}{5\times5\times5\times5} $$
負の数になると対になる正の数の逆数となる。そのため、$0$を指数にすると$1$となる。
$$ (5^{1/2})^4=5^{4/2}=5^2 $$
分数になるとその逆数分、冪を適用すると底の数になる。
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- 小数
数の表記方法として$9+1$は今まで数を書いていた場所には$0$を、その左隣に$1$を書き、$10$とする**10進法**が主流である。$10$が$10$集まれば次は$100$、$100$が$10$集まれば次に$1000$というように運用している。これをべきで表すと$10^2, 10^3$となる。逆に指数を負の数、$10^{-1}, 10^{-5}$のようにすると**$0$**から$1$の間の細かい数を表すことが出来る。これを**小数**といい、$0.1, 0.00001$のように表記する。分数と同じく乗法を省略し$5\times0.01=0.05$のように表記が可能。