利用者:爆睡おこた猫

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❝爆睡おこた猫❞といいます。利用者ページ数式入力の練習等に使わせていただいてます☆彡
よろしくお願いしますm(_ _)m

★☆ロピタルの定理Ⅳ☆★♪

　★☆猫好きニュートンさんの肖像☆★

ロピタルの定理ⅡとⅢを組み合わせる事により以下の定理が導かれます。(｀•ω•´)ゞ☆彡 ${\displaystyle }$

• 関数$f(x),g(x)$が微分可能であり極限 $\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ が存在しているとする。このとき以下の命題が成り立つ。；

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }g(x)=\pm \infty \Rightarrow \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$。

証明
上述のロピタルの定理Ⅱの証明と同様に$F(x)=f\left({\frac {1}{x}}\right),G(x)=g\left({\frac {1}{x}}\right)$ とおけば

$\lim _{x\to 0}F(x)=\lim _{x\to \infty }f(x)=\pm \infty$、 $\lim _{x\to 0}G(x)=\lim _{x\to \infty }g(x)=\pm \infty$

となるので上記定理Ⅲより以下の等式が成り立ちます。；

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {F(x)}{G(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {F'(x)}{G'(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {f'({\frac {1}{x}})(-{\frac {1}{x^{2}}})}{g'({\frac {1}{x}})(-{\frac {1}{x^{2}}})}}=\lim _{x\to 0}{\frac {f'({\frac {1}{x}})}{g'({\frac {1}{x}})}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$。(証明終)☆

★☆微積分＆解析学関係の数式の練習☆★♪

${\color {Purple}y=e^{-\int P(x)dx}\left\{\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx+C\right\}}$：(★1階線形微分方程式の解の公式★)

${\color {Teal}d\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial x}}dx+{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}dy+{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}dz}$：(全微分)　、${\color {lime}i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\{\Delta +V(\mathbf {r} )\}\psi }$：(シュレーディンガー方程式)

${\color {olive}{\mathcal {R}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}{\mathcal {R}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}{\mathcal {T}}_{\mu \nu }}$：(アインシュタイン方程式)　、${\color {fuchsia}\oint _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\operatorname {rot} \mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {n} dS}$：(ストークスの定理)

${\color {aqua}\mu (S_{E})=\iint _{S_{E}}\left|\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\right|dudv}$：(曲面積の公式)　、${\color {green}e^{i\pi }+1=0}$：(オイラーの公式の $\theta$ に $\pi$ 代入したもの♪)

${\color {blue}\mathbf {y} =\sum _{j=1}^{n}c_{j}e^{\lambda _{j}x}{\boldsymbol {\phi }}_{j}}$：(★1階定数係数同次線形連立微分方程式の解の公式★)　、${\color {teal}{\mathcal {L}}\{f(x)\}=\int _{0}^{\infty }f(x)e^{-sx}dx}$：(☆ラプラスさんの名を冠したあれ☆)

★☆線形代数(行列と行列式)の練習☆★♪

${\color {blue}\Phi ={\begin{pmatrix}\phi &\chi \\\psi &\omega \\\end{pmatrix}}}$：(二次正方行列)　、${\color {yellow}\mathbf {r} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}}$：(三次列ベクトル)　、${\color {red}|A|=\det {(A)}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}}$：(二次行列式)