制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化

§1

Heaviside の着想は大変優れたものであり，多くの正しい結果を導いた．しかしながら数学的に首肯しかねるところが多い．

p={\frac {d}{dt}}

とか

{\frac {1}{p}}=\int _{0}^{t}dt

と置くことには問題はない．しかし，

(1)

p

の関数（例えば

p+1

)で割る

(2)

p

や

{\frac {1}{p}}

のべきで展開する

(3) 部分分数に分解する

などは $p$ が数であるならば差し支えないが，そうでない場合は極めて問題である．このような疑問もあって，彼の仕事は生前は必ずしも正しく評価されなかったという．しかしその成果の豊かさには目をみはるものがある．そのことが，幾人かの数学者の注意を引き、1920 年前後には，T. Bromwitch，K. W. Wagner，J. R. Carson などにより，正当化が試みられ，多くの応用を生み，これらは，G. Doetsch による Laplace 変換による厖大な著作^[1] としてまとめられている．

§2

さてその合理化の方法であるが，

x'=px,\quad \int xdt={\frac {1}{p}}x

すなわち，微分すれば $p$ 倍となり，積分すれば ${\frac {1}{p}}$ となる関数は手近なところに見出される．それは指数関数

e^{pt}

である．ここに $p$ は実数または複素数である．この事実に留意して $x(t)$ に対する微分や積分を $e^{pt}$ に肩代わりさせることを試みよう．それは部分積分^[2]を通じて可能となる．すなわち

関数：

f(t),g(t)

導関数：

f'(t),g'(t)

原始関数：

F(t),G(t)

とすると，部分積分は

\int f'(t)g(t)dt

を

\int f(t)g'(t)

\int F(t)g(t)dt

を

\int f(t)G(t)

に変える技法であるから，まず

(a)

f(t)=x(t),g(t)=e^{-pt}

とおくと，

\int _{0}^{T}x'(t)e^{-pt}dt=x(T)e^{-pT}-x(0)-(-p)\int _{0}^{T}x(t)e^{-pt}dt

^[3]

となる．ここで，

x(T)e^{-pT}\to 0\quad (T\to \infty )

となるならば^[4]，

(1.18)

\int _{0}^{\infty }x'(t)e^{-pt}dt=p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt-x(0)

となる．そこで今，

(1.19)

x(t)\mapsto {\tilde {X}}(p):=p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt

のような対応（積分変換）を考えると，式 (1.18) は

(1.20)

x'(t)\mapsto p{\tilde {X}}(p)-px(0)

^[5]^[6]

となる．

(b)

次に，

F(t)=\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau ,\quad g(t)=e^{-pt}

^[7]

とおいて部分積分を考えると，

\int _{0}^{T}F(t)e^{-pt}dt=\left[F(t)(-{\frac {1}{p}})e^{-pt}\right]_{0}^{T}-{\frac {(-1)}{p}}\int _{0}^{T}x(t)e^{-pt}dt

\int _{0}^{T}F(t)e^{-pt}dt=-{\frac {F(T)}{p}}e^{-pT}+{\frac {1}{p}}\int _{0}^{T}x(t)e^{-pt}dt

^[8]

となる．ここでも，

F(T)e^{-pT}\to 0\quad (T\to \infty )

となるならば，

\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \right\}e^{-pt}dt

={\frac {1}{p}}\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt

となる．対応　式 (1.19) を考えれば，

(1.21)

\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \mapsto {\frac {1}{p}}{\tilde {X}}(p)

を得る^[9]．式 (1.20) と (1.21) は我々が求めていた関係である^[10]．つまり，変換式 (1.19) によって $t$ の関数を $p$ の関数に変換すれば， $t$ の領域での微分や積分が， $p$ の領域では $p$ を乗除することに対応することが証明されたのである．ここでは $p$ は数であるから， $p$ に関する演算に係わるわだかまりは氷解するのである．このようにして，少なくとも，1930 年頃までには，

{\tilde {F}}(p)=p\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-pt}dt

f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {{\tilde {F}}(p)}{p}}e^{pt}dp

なる関係式が見出だされ，演算子法の合理化が完成したのである．しかし現在では，

(1.22)

F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt

(1.23)

f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)e^{st}ds

が用いられている．この方が部分分数分解などを行う際の計算が楽になるのである．この式は，これより以前に Laplace (1749-1827) によって用いられていたので，式 (1.22) を Laplace 変換（Laplace 積分），式 (1.23) を Laplace の逆変換（Bromwich 積分, または Laplace 積分の反転公式）と呼んでいる．この対応を，

f(t)\sqsupset F(s)

あるいは，

{\mathcal {L}}[f(t)]=F(s)

などと記す．この対応（変換）により，微分・積分が， $s$ の乗・除という代数演算に変換され，それに伴い微分方程式が代数方程式となる．そして，この原理によって，微分方程式を解くことができるのである．このような方法で，ある種の積分方程式や差分方程式を解くこともできる．このような考え方は，特に新奇なものではない．これと類似の演算技法はすでに経験済みである．対数をとることによって，掛け算を足し算に変えたあの技法を思い出せばよいのである．

^ Handbuch der Laplace-Transformation 3巻 (1950, 1955, 1956, Springer)
^ 部分積分を復習しておく．関数 $f(x),g(x)$ の積 $f(x)g(x)$ の $x$ による微分は
$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
ゆえに $f(x)g'(x)=\{f(x)g(x)\}'-f'(x)g(x)$
両辺を $x$ で積分すると $\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$
^ $x'(t)$ を積分、 $e^{-pt}$ を微分した．
^ $|x(t)|<Me^{\alpha t}(\alpha$ は実数) ならば， $p>\alpha$ のとき可能．このような $x(t)$ を指数位の関数という．
^ さらに精緻にみていく． $x(t)\mapsto {\tilde {X}}(p)=p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$ ．したがって
$x'(t)\mapsto p\int _{0}^{\infty }x'(t)e^{-pt}dt$ ．
ここで式 (1.18) よりただちに
$\int _{0}^{\infty }x'(t)e^{-pt}dt=p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt-x(0)$
ゆえに $x'(t)\mapsto p\left[p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt-x(0)\right]$
$p$ を各項に分配して $x'(t)\mapsto p\cdot p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt-px(0)$
ここで ${\tilde {X}}(p)=p\ \int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$ だから
$x'(t)\mapsto p{\tilde {X}}(x)-px(0)$ ．
^ 式 (1.12) と比較せよ．
^ 部分積分 $\int F(t)g(t)dt=F(t)G(t)-\int f(t)G(t)dt$ を適用する．
^ $F(0)=\int _{0}^{t=0}x(\tau )d\tau =0$
^ $x(t)\mapsto {\tilde {X}}(p)=p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$ ．したがって
$\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \mapsto p\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \right\}e^{-pt}dt$ ．
$\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \right\}e^{-pt}dt={\frac {1}{p}}\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$ であるから，
$\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \mapsto p\cdot {\frac {1}{p}}\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt={\frac {1}{p}}\cdot p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$
ここで ${\tilde {X}}(p)=p\ \int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$ だから
$\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \mapsto {\frac {1}{p}}{\tilde {X}}(p)$ ．
^ さらに式(1.13) については， $e^{at}\mapsto p\int _{0}^{\infty }e^{at}e^{-pt}dt=p\int _{0}^{\infty }e^{(a-p)t}dt={\frac {p}{a-p}}\left[e^{(a-p)t}\right]_{0}^{\infty }={\frac {p}{p-a}}$ ．（ただし $p>a$ ）
また式 (1.14a) については， $p\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-pt}dt={\frac {n}{p}}\cdot p\int _{0}^{\infty }t^{n-1}e^{-pt}dt$ および $p\int _{0}^{\infty }t^{0}e^{-pt}dt=1$ より $t^{n}\mapsto {\frac {n!}{p^{n}}}$ ．
式(1.16)，(1.17)については，
$I_{1}=p\int _{0}^{\infty }\sin \omega t\ e^{-pt}dt,\quad I_{2}=p\int _{0}^{\infty }\cos \omega t\ e^{-pt}dt$ と置くとき，
$I_{1}=\omega \int _{0}^{\infty }\cos \omega t\ e^{-pt}dt$ …①， $I_{2}=1-\omega \int _{0}^{\infty }\sin \omega t\ e^{-pt}dt$ …②
①②より $I_{1}={\frac {\omega }{p}}\left(1-{\frac {\omega }{p}}I_{1}\right)$ ．
すなわち $\sin \omega t\mapsto I_{1}={\frac {\omega p}{p^{2}+\omega ^{2}}}$
また $\cos \omega t\mapsto I_{2}=1-{\frac {\omega }{p}}I_{1}={\frac {p^{2}}{p^{2}+\omega ^{2}}}$

[1] Handbuch der Laplace-Transformation 3巻 (1950, 1955, 1956, Springer)

[2] 部分積分を復習しておく．関数 $f(x),g(x)$ の積 $f(x)g(x)$ の $x$ による微分は
$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
ゆえに $f(x)g'(x)=\{f(x)g(x)\}'-f'(x)g(x)$
両辺を $x$ で積分すると $\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$

[3] $x'(t)$ を積分、 $e^{-pt}$ を微分した．

[4] $|x(t)|<Me^{\alpha t}(\alpha$ は実数) ならば， $p>\alpha$ のとき可能．このような $x(t)$ を指数位の関数という．

[5] さらに精緻にみていく． $x(t)\mapsto {\tilde {X}}(p)=p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$ ．したがって
$x'(t)\mapsto p\int _{0}^{\infty }x'(t)e^{-pt}dt$ ．
ここで式 (1.18) よりただちに
$\int _{0}^{\infty }x'(t)e^{-pt}dt=p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt-x(0)$
ゆえに $x'(t)\mapsto p\left[p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt-x(0)\right]$
$p$ を各項に分配して $x'(t)\mapsto p\cdot p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt-px(0)$
ここで ${\tilde {X}}(p)=p\ \int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$ だから
$x'(t)\mapsto p{\tilde {X}}(x)-px(0)$ ．

[6] 式 (1.12) と比較せよ．

[7] 部分積分 $\int F(t)g(t)dt=F(t)G(t)-\int f(t)G(t)dt$ を適用する．

[8] $F(0)=\int _{0}^{t=0}x(\tau )d\tau =0$

[9] $x(t)\mapsto {\tilde {X}}(p)=p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$ ．したがって
$\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \mapsto p\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \right\}e^{-pt}dt$ ．
$\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \right\}e^{-pt}dt={\frac {1}{p}}\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$ であるから，
$\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \mapsto p\cdot {\frac {1}{p}}\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt={\frac {1}{p}}\cdot p\int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$
ここで ${\tilde {X}}(p)=p\ \int _{0}^{\infty }x(t)e^{-pt}dt$ だから
$\int _{0}^{t}x(\tau )d\tau \mapsto {\frac {1}{p}}{\tilde {X}}(p)$ ．

[10] さらに式(1.13) については， $e^{at}\mapsto p\int _{0}^{\infty }e^{at}e^{-pt}dt=p\int _{0}^{\infty }e^{(a-p)t}dt={\frac {p}{a-p}}\left[e^{(a-p)t}\right]_{0}^{\infty }={\frac {p}{p-a}}$ ．（ただし $p>a$ ）
また式 (1.14a) については， $p\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-pt}dt={\frac {n}{p}}\cdot p\int _{0}^{\infty }t^{n-1}e^{-pt}dt$ および $p\int _{0}^{\infty }t^{0}e^{-pt}dt=1$ より $t^{n}\mapsto {\frac {n!}{p^{n}}}$ ．
式(1.16)，(1.17)については，
$I_{1}=p\int _{0}^{\infty }\sin \omega t\ e^{-pt}dt,\quad I_{2}=p\int _{0}^{\infty }\cos \omega t\ e^{-pt}dt$ と置くとき，
$I_{1}=\omega \int _{0}^{\infty }\cos \omega t\ e^{-pt}dt$ …①， $I_{2}=1-\omega \int _{0}^{\infty }\sin \omega t\ e^{-pt}dt$ …②
①②より $I_{1}={\frac {\omega }{p}}\left(1-{\frac {\omega }{p}}I_{1}\right)$ ．
すなわち $\sin \omega t\mapsto I_{1}={\frac {\omega p}{p^{2}+\omega ^{2}}}$
また $\cos \omega t\mapsto I_{2}=1-{\frac {\omega }{p}}I_{1}={\frac {p^{2}}{p^{2}+\omega ^{2}}}$

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[10]