制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化

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§1[編集]

Heaviside の着想は大変優れたものであり, 多くの正しい結果を導いた. しかしながら数学的に首肯しかねるところが多い.

とか

と置くことには問題はない.しかし,

(1) の関数(例えば )で割る
(2) のべきで展開する
(3) 部分分数に分解する

などは が数であるならば差し支えないが,そうでない場合は極めて問題である. このような疑問もあって,彼の仕事は生前は必ずしも正しく評価されなかったという. しかしその成果の豊かさには目をみはるものがある. そのことが,幾人かの数学者の注意を引き、1920 年前後には,T. BromwitchK. W. WagnerJ. R. Carson などにより,正当化が試みられ, 多くの応用を生み,これらは,G. Doetsch による Laplace 変換による厖大な著作[1] としてまとめられている.


§2[編集]

さてその合理化の方法であるが,

すなわち,微分すれば 倍となり,積分すれば となる関数は手近なところに見出される.それは指数関数

である.ここに は実数または複素数である.この事実に留意して に対する微分や積分を に肩代わりさせることを試みよう. それは部分積分[2]を通じて可能となる.すなわち

関数:
導関数:
原始関数:

とすると,部分積分は

に変える技法であるから,まず


(a)

とおくと,

[3]

となる.ここで,

となるならば[4]

(1.18)

となる.そこで今,

(1.19)

のような対応(積分変換)を考えると,式 (1.18)

(1.20)
[5][6]

となる.


(b)

次に,

[7]

とおいて部分積分を考えると,

[8]

となる.ここでも,

となるならば,

となる.対応 式 (1.19) を考えれば,

(1.21)

を得る[9]. 式 (1.20)(1.21) は我々が求めていた関係である[10]. つまり,変換式 (1.19) によって の関数を の関数に変換すれば, の領域での微分や積分が, の領域では を乗除することに対応することが証明されたのである. ここでは は数であるから, に関する演算に係わるわだかまりは氷解するのである. このようにして,少なくとも,1930 年頃までには,

なる関係式が見出だされ,演算子法の合理化が完成したのである.しかし現在では,

(1.22)
(1.23)

が用いられている.この方が部分分数分解などを行う際の計算が楽になるのである. この式は,これより以前に Laplace (1749-1827) によって用いられていたので, 式 (1.22)Laplace 変換(Laplace 積分), 式 (1.23) を Laplace の逆変換(Bromwich 積分, または Laplace 積分の反転公式)と呼んでいる. この対応を,

あるいは,

などと記す.この対応(変換)により,微分・積分が, の乗・除という代数演算に変換され,それに伴い微分方程式が代数方程式となる.そして, この原理によって,微分方程式を解くことができるのである.このような方法で,ある種の積分方程式や差分方程式を解くこともできる. このような考え方は,特に新奇なものではない.これと類似の演算技法はすでに経験済みである. 対数をとることによって,掛け算を足し算に変えたあの技法を思い出せばよいのである.



  1. ^ Handbuch der Laplace-Transformation 3巻 (1950, 1955, 1956, Springer)
  2. ^ 部分積分を復習しておく.関数 の積 による微分は

    ゆえに
    両辺を で積分すると
  3. ^ を積分、 を微分した.
  4. ^ は実数) ならば, のとき可能.このような を指数位の関数という.
  5. ^ さらに精緻にみていく..したがって

    ここで式 (1.18) よりただちに

    ゆえに
    を各項に分配して
    ここで だから

  6. ^ (1.12) と比較せよ.
  7. ^ 部分積分 を適用する.
  8. ^
  9. ^ .したがって

    であるから,

    ここで だから
  10. ^ さらに 式(1.13) については, .(ただし
    また式 (1.14a) については, および より
    (1.16)(1.17)については,
    と置くとき,
    …①, …②
    ①②より
    すなわち
    また