制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/複素数値関数の積分

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(1)原始関数[編集]

実変数 の複素数値関数 が与えられているとき,

となる関数 の原始関数という.

例87

の原始関数.

を任意の定数とするとき, の原始関数となる.これを,

と表す.時には を省略することがある.

さてこのように定義すると を実関数とし,

なるとき,

すなわち,

が成立する.

事実, の原始関数の一つを,

とすると,微分の定義[1]から,

であるが,これが,

に等しいのであるから,相等の定義[2]から,

となる.これは が実関数 の原始関数であることを意味するから,

と書ける.ここに は任意の実定数である.ここで とおくと,

すなわち,

を得る.

例88

の実部と虚部を等置することにより,

を得る[3]

(2)定積分[編集]

複素数値関数 の定積分を,

と定義する.このとき微分積分学の基本公式が成立する.

微分積分学の基本公式

証明

実関数に対する基本公式,

は既知であるから,第 2 式に を掛けて加えればよい.

また定積分に関して次の性質が成立する.

複素数値関数の積分の基本的性質

[Ⅰ] を複素数値関数, とすれば

[Ⅱ] を複素数値関数とするとき,

[Ⅲ] を複素数値関数, は実数値関数とする.このとき,

ここに,

[Ⅳ]

ここに は複素数値関数

[Ⅴ] を任意の有限区間で積分可能な複素数値関数とする.

ならば は存在する.


以下に の証明だけ与えておく. ほかは,実関数に関する同様な公式を既知とすれば,複素数値関数の積分の定義から簡単に得られる.


公式Ⅳの証明

は複素数であるから,その偏角を とおいて,極形式で表すと,

よって,

公式Ⅰを用いて

定積分の定義により,

となる.左辺は実数であるから,右辺の第 2 項は である.また,

[4]

であるから,実関数に関する公式を用いると,

を得る[5]

  1. ^ 式 (4.3)
  2. ^ 複素数の相等の定義
  3. ^

    また,



  4. ^
  5. ^