制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/解の漸近的挙動（安定論）/Hurwitzの定理

特性多項式の係数から，直ちに微分方程式 (4.13) の解の安定性を判別する方法がいくつかある． 次のものは有名である．

定理 4.2　Hurwitz の定理

実係数の代数方程式，

$p_{n}(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}=0\quad (a_{0}>0)$

のすべての根が，$s$ 平面の左半平面に位置するための必要十分条件は，

$H_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&\cdot &\cdot &\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &a_{n-2}&\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &a_{n}\end{vmatrix}}$

の首座の小行列式がすべて正となることである．すなわち，

$a_{0}>0,\quad H_{1}=a_{1}>0,\quad H_{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}\\a_{3}&a_{2}\end{vmatrix}}>0,\quad H_{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&0\\a_{3}&a_{2}&a_{1}\\a_{5}&a_{4}&a_{3}\end{vmatrix}}>0,\quad \cdots ,H_{n}>0$

が成立することである． $\diamondsuit$

この定理は，1895 年にある技術者の依頼によって，Hurwitz が解いたものであるが， それ以前に Routh によって解かれていたので， Routh-Hurwitz の定理とも呼ばれる．証明は付録に譲る．

例96$\quad$

$p_{1}(s)=s+a_{1},\quad (a_{0}=1>0)$ のとき，

$H_{1}=a_{1}>0$

$\diamondsuit$

例97$\quad$

$p_{2}(s)=s^{2}+a_{1}s+a_{2}$ のとき，

$H_{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&1\\0&a_{2}\end{vmatrix}}$

であるから，$H_{1}=a_{1}>0,H_{2}=a_{1}a_{2}>0$，それゆえ，

$a_{1}>0,\quad a_{2}>0$

を得る．これは，2 根の和が負，積が正ということで，解と係数の関係から得られるものと一致する．

$\diamondsuit$

例98$\quad$

$p_{3}(s)=s^{3}+a_{1}s^{2}+a_{2}s+a_{3}$ のとき，

$H_{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&1&\\a_{3}&a_{2}&a_{1}\\0&0&a_{3}\end{vmatrix}}$

であるから，

$H_{1}=a_{1}>0,H_{2}=a_{1}a_{2}-a_{3}>0,H_{3}=a_{3}H_{2}>0$

したがって

$a_{1}>0,\quad a_{3}>0,\quad a_{1}a_{2}>a_{3}$

を得る．これから当然 $a_{2}>0$．

$\diamondsuit$

例99$\quad$

$a_{0}>0,\quad H_{i}>0\quad (i=1,2,\cdots ,n)$ より， $a_{i}>0\quad (i=1,2,\cdots ,n)$ を導け．

$\diamondsuit$

よく他書に Hurwitz の条件として，

(1) $a_{0}>0,a_{1}>0,\cdots ,a_{n}>0$

(2) $H_{1}>0,\cdots ,H_{n}>0$

の両方満足するべきことが述べられているが，(1) の $a_{0}>0$ 以外は不要である． もし (1) が満たされれば，(2) の条件のうち幾つかは不要となる．