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特性多項式の係数から,直ちに微分方程式 (4.13) の解の安定性を判別する方法がいくつかある.
次のものは有名である.
定理 4.2 Hurwitz の定理
実係数の代数方程式,
![{\displaystyle p_{n}(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+a_{2}s^{n-2}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}=0\quad (a_{0}>0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7226996f14ca3d2392337f7f8797fa96e6588284)
のすべての根が,
平面の左半平面に位置するための必要十分条件は,
![{\displaystyle H_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&\\a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\a_{5}&a_{4}&a_{3}&a_{2}\\a_{7}&a_{6}&a_{5}&a_{4}&\cdot &\cdot &\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &a_{n-2}&\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &a_{n}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bd3df42449b8c33c34173e67affff88e3af1826)
の首座の小行列式がすべて正となることである.すなわち,
![{\displaystyle a_{0}>0,\quad H_{1}=a_{1}>0,\quad H_{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}\\a_{3}&a_{2}\end{vmatrix}}>0,\quad H_{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{0}&0\\a_{3}&a_{2}&a_{1}\\a_{5}&a_{4}&a_{3}\end{vmatrix}}>0,\quad \cdots ,H_{n}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04f306ac946eb242bfefea686cf8b1d29e09434)
が成立することである.
この定理は,1895 年にある技術者の依頼によって,Hurwitz が解いたものであるが,
それ以前に Routh によって解かれていたので,
Routh-Hurwitz の定理とも呼ばれる.証明は付録に譲る.
例96
のとき,
![{\displaystyle H_{1}=a_{1}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a043aedb462617a934fe44a1f694a04814f972d)
例97
のとき,
![{\displaystyle H_{2}={\begin{vmatrix}a_{1}&1\\0&a_{2}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9197b3760099538c4c916443f812f60d4b1ff6e5)
であるから,
,それゆえ,
![{\displaystyle a_{1}>0,\quad a_{2}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c54a05b2fd78e4af20b4f74c5ffde06351b6b68)
を得る.これは,2 根の和が負,積が正ということで,解と係数の関係から得られるものと一致する.
例98
のとき,
![{\displaystyle H_{3}={\begin{vmatrix}a_{1}&1&\\a_{3}&a_{2}&a_{1}\\0&0&a_{3}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6666f0f16fe03cd20e485c9bfa38528c61d2fd56)
であるから,
![{\displaystyle H_{1}=a_{1}>0,H_{2}=a_{1}a_{2}-a_{3}>0,H_{3}=a_{3}H_{2}>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adde01cb11ab83f9723c60424ab1e875da469fc0)
したがって
![{\displaystyle a_{1}>0,\quad a_{3}>0,\quad a_{1}a_{2}>a_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58be7d1a6f69aed28dc82e4c082ed2d06b6faff)
を得る.これから当然
.
例99
より,
を導け.
よく他書に Hurwitz の条件として,
(1)
(2)
の両方満足するべきことが述べられているが,(1) の
以外は不要である.
もし (1) が満たされれば,(2) の条件のうち幾つかは不要となる[1].
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高木貞治:代数学講義(共立出版)第10章.