制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/定義と例

$f(t)$ を任意の有限な区間で積分可能の関数とするとき，

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt={\mathcal {L}}[f(t)]$

を $f(t)$ の Laplace 変換ということ，およびその対応関係を記号 $\sqsubset$ で表すことなどは， 前章と同じである．ただ異なるところは，

(1) $f(t)$ は実変数 $t$ の複素数値関数

(2) $s=\sigma +i\omega$ は複素数

の 2 点である．

例89$\quad$

$1$ の Laplace 変換，

$\int _{0}^{T}e^{-st}dt={\bigg [}-{\frac {e^{-st}}{s}}{\bigg ]}_{0}^{\infty }={\frac {1}{s}}-{\frac {e^{-sT}}{s}}$

は $s$ が実数の場合と同様である．$\mathrm {Re} \ s=\sigma >0$ ならば，

$\left|{\frac {e^{-sT}}{s}}\right|\leqq {\frac {e^{-\sigma T}}{|s|}}\to 0$

である．ここに絶対値は複素数の絶対値を示す．よって，

$1\sqsupset {\frac {1}{s}}$

となる．

$\diamondsuit$

例90$\quad$ $e^{\alpha t}\quad (\alpha =a+ib)$ の Laplace 変換

$\int _{0}^{T}e^{\alpha t}\cdot e^{-st}dt=\int _{0}^{T}e^{-(t-\alpha )t}dt$

であるから，例 89の $s$ が $s-\alpha$ に変わっただけである． よって $\mathrm {Re} \ (s-\alpha )>0$ のとき Laplace 積分は存在して，

$e^{\alpha t}\sqsupset {\frac {1}{s-\alpha }}\quad (\mathrm {Re} \ s>\mathrm {Re} \ \alpha )$

を得る．

$\diamondsuit$

例91$\quad$ $e^{at}\cos bt$ の Laplace 変換

$e^{at}\cos bt={\frac {1}{2}}\left\{e^{(a+ib)t}+e^{(a-ib)t}\right\}$

であるから，例 90の結果を用いると，

$e^{at}\cos bt\sqsupset {\frac {1}{2}}\left\{{\frac {1}{s-(a+ib)}}+{\frac {1}{s-(a-ib)}}\right\}={\frac {s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}}$

となる．

$\diamondsuit$

例92$\quad$

$e^{at}\sin bt$ の Laplace 変換を例 91にならって求めよ．

解答例

定義 4.1 に従って，
$e^{(a+ib)t}=e^{at}{\bigg [}\cos bt+i\sin bt{\bigg ]}$…①
$e^{(a-ib)t}=e^{at}{\bigg [}\cos bt-i\sin bt{\bigg ]}$…②
$\quad (\because \cos(-\theta )=\cos \theta ,\quad \sin(-\theta )=-\sin \theta )$
$\cos bt$ を導出するのには ①＋② を考えた，ここでは，①－②を考えてみると，
$e^{(a+ib)t}-e^{(a-ib)t}=2i\ e^{at}\sin bt$
$e^{at}\sin bt={\frac {1}{2i}}\left\{e^{(a+ib)t}-e^{(a-ib)t}\right\}$
$\sqsupset {\frac {1}{2i}}\left\{{\frac {1}{s-(a+ib)}}-{\frac {1}{s-(a-ib)}}\right\}$
$={\frac {1}{2i}}{\frac {s-(a-ib)-\{s-(a+ib)\}}{s^{2}-2as+(a^{2}+b^{2})}}$
$={\frac {1}{2i}}{\frac {2ib}{(s-a)^{2}+b^{2}}}={\frac {b}{(s-a)^{2}+b^{2}}}$

$\diamondsuit$