まず,複素係数の線形定常常微分方程式
(4.11)
![{\displaystyle {\frac {d^{n}z}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}z}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}z}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {dz}{dt}}+a_{n}z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e060cb3abaa35052b975171d2620f6a68f8e679e)
を考える.ここに
とする.これを初期条件,
![{\displaystyle z(0)=\xi _{1},z'(0)=\xi _{2},\cdots ,z^{(n-1)}(0)=\xi _{n},\quad \xi _{i}\in \mathbf {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770e4f50a622413b8cb0b590aba6adfb53138295)
の下に Laplace 変換すると,実係数の場合と同様にして,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[z]={\frac {q(s)}{p(s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a035107059ee123ae61e6a32d1613cc32dac90)
を得る.ここに
は式 (4.11) に付随する特性多項式,
は
で決まる高々
次の多項式である.
一般に,複素係数の多項式は,代数学の基本定理により,複素係数の範囲で 1 次の積に因数分解できるから,それを,
![{\displaystyle p(s)=\prod _{i=1}^{\mu }(s-\alpha _{i})^{l_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8ab53368cb7872e51973b0b7ab274500756f994)
とすると,これに対応して,
![{\displaystyle {\mathcal {L}}[z]=\sum _{i=0}^{\mu }\left\{{\frac {A_{i1}}{s-\alpha _{i}}}+{\frac {A_{i2}}{(s-\alpha _{i})^{2}}}+\cdots +{\frac {A_{il_{i}}}{(s-\alpha _{i})^{l_{i}}}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526d2a0637ccab7c6930066ffae235ff23bf2dc4)
と部分分数に展開できる.それゆえ,この原像は,
![{\displaystyle z(t)=\sum _{i=1}^{\mu }\left\{A_{i1}+A_{i2}t+A_{i3}{\frac {t^{2}}{2!}}+\cdots +A_{il_{i}}{\frac {t^{l_{i}-1}}{(l_{i}-1)!}}\right\}e^{\alpha _{i}}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f72b0cec1b4db2a7a15332f41caa3c6c3d47eb7)
または
(4.12)
![{\displaystyle =\sum _{i=1}^{\mu }f_{i}(t)e^{\alpha _{i}}t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f7015ca1ea710d050fbafbfc3fa1bf78da1994)
と求まる.ここに
は
の多項式で次数は高々
,係数は複素数である.
複素数値関数の微分に述べたように,
![{\displaystyle (D-\alpha _{i})^{l_{i}}\left\{f_{i}(t)e^{\alpha _{i}}t\right\}=e^{\alpha _{i}t}D^{l_{i}}f_{i}(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f550a8ddf08818d08e331d39a1559acbbba7c1)
であるから
![{\displaystyle p(D)z(t)=0\quad \left(D={\frac {d}{dt}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/462e9ff438887162867f8257c5c71a5a699d2e53)
となり,式 (4.12) が式 (4.11) の解であることが分かる.解の一意性の証明も全く同じであるから,繰り返さない.また非同次方程式,
![{\displaystyle p(D)z(t)=f(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92ed06efcbe329a184b48caf4dcbd8067e470d0c)
の解法も,全く同様である.なお,式 (4.11) の解の基本系は,
![{\displaystyle \{e^{\alpha _{i}t},te^{\alpha _{i}t},t^{2}e^{\alpha _{i}t},\cdots ,t^{l_{i}-1}e^{\alpha _{i}t};i=1,\cdots ,\mu \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31af3c474d91777659a80ba6db40469035b4c7bb)
となる.実際,これらが 1 次独立となることは,前章の証明よりも,はるかに容易に示し得る.
事実,補題 4.1 の系によれば,
![{\displaystyle f_{i}(t)e^{\alpha _{i}t}\quad (i=1,\cdots \mu )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb35d8aae74502626ca7a33df909597928e086b)
は一次独立であるから,あとは,
![{\displaystyle e^{\alpha _{i}t},te^{\alpha _{i}t},t^{2}e^{\alpha _{i}t},\cdots ,t^{l_{i}-1}e^{\alpha _{i}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6839175dec4f5de7e8cc9511bd3e67a9a62717a)
の 1 次独立性だけを示せばよい.これは,
![{\displaystyle 1,t,t^{2},\cdots ,t^{l_{i}-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229809679093b37f7aec3f9cc978fe043a716c2c)
の 1 次独立性と同じであるから,明らかである.
微分方程式式 (4.11) の係数が実数の場合を,この章の立場から述べておく.
特性方程式
が 1 次の因数に分解できることは同様であるが,その内容は,
![{\displaystyle p(s)=\prod _{i=1}^{\mu }(s-c_{i})^{l_{i}}\prod _{j=1}^{\nu }(s-\alpha _{j})^{m_{j}}(s-{\overline {\alpha _{j}}})^{m_{j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1921f2115766b4c0e946f4ba2c58a503530dc3f6)
のような形をしている.ここに
で
は
の共役複素数である.
このとき解の基本系は,次の 3 種類の型のものから成り立っている.
Ⅰ
![{\displaystyle \quad e^{ct},te^{ct},t^{2}e^{ct},\cdots t^{l-1}e^{ct}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a02abcafc6485670bfbdc76cfa4182d10c8a3a2)
Ⅱ
![{\displaystyle \quad e^{\alpha t},te^{\alpha t},t^{2}e^{\alpha t},\cdots t^{m-1}e^{\alpha t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05ca85390c63178a4d2d1b6ffaf0606e2affd6f7)
Ⅲ
![{\displaystyle \quad e^{{\overline {\alpha }}t},te^{{\overline {\alpha }}t},t^{2}e^{{\overline {\alpha }}t},\cdots t^{m-1}e^{{\overline {\alpha }}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385a8ee94f9904f32be44458edea027ad4885a72)
Ⅰ型は実関数である.しかし,Ⅱ,Ⅲ型は複素数値関数である.これらを,
![{\displaystyle {\frac {e^{\alpha t}+e^{{\overline {\alpha }}t}}{2}}=e^{at}\cos bt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e08de93877aeb05ccdec44cc729aaf1e195d76c)
![{\displaystyle {\frac {e^{\alpha t}-e^{{\overline {\alpha }}t}}{2i}}=e^{at}\sin bt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d08c1de7edee31d6ef561d319753a5c26a399a)
ここに
を用いて実関数の基本形に直すと,Ⅱ,Ⅲの変わりに,
Ⅱ'
![{\displaystyle \quad e^{at}\cos bt,te^{at}\cos bt,t^{2}e^{at}\cos bt,\cdots t^{m-1}e^{at}\cos bt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/240296e728088d7d343e3c30d3f3e3fb5a42dbe3)
Ⅲ'
![{\displaystyle \quad e^{at}\sin bt,te^{at}\sin bt,t^{2}e^{at}\sin bt,\cdots t^{m-1}e^{at}\sin bt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0acef3b990c684119cb7f0e44c1f70a2542a6c1)
となる.Ⅰ,Ⅱ',Ⅲ'が実形式で表した解の基本形である.前章で求めたものと形は異なるが,この方が導出が簡単である.
例94
{Ⅰ,Ⅱ',Ⅲ'}が解の基本系となること,すなわち 1 次独立であることを示せ.
解答例
非同次方程式の一般解は,同次方程式の一般解に特解を付加すればよいことは,前章と同様である.
ここに述べたように,一般に,理論的な話をするときには,複素数値関数で取り扱う方が見通しがよい.
しかし実際に初期値問題を解くときには,前章の手法の方が優れている.
ただ,一般解を求めるのは,本章の方法によるのが賢明である.