制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法

§1

まず，複素係数の線形定常常微分方程式

(4.11)

${\frac {d^{n}z}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}z}{dt^{n-1}}}+a_{2}{\frac {d^{n-2}z}{dt^{n-2}}}+\cdots +a_{n-1}{\frac {dz}{dt}}+a_{n}z=0$

を考える．ここに $a_{i}\in \mathbf {C}$ とする．これを初期条件，

$z(0)=\xi _{1},z'(0)=\xi _{2},\cdots ,z^{(n-1)}(0)=\xi _{n},\quad \xi _{i}\in \mathbf {C}$

の下に Laplace 変換すると，実係数の場合と同様にして，

${\mathcal {L}}[z]={\frac {q(s)}{p(s)}}$

を得る．ここに $p(s)$ は式 (4.11) に付随する特性多項式，$q(s)$ は $\xi _{i}$ で決まる高々 $n-1$ 次の多項式である．

一般に，複素係数の多項式は，代数学の基本定理により，複素係数の範囲で 1 次の積に因数分解できるから，それを，

$p(s)=\prod _{i=1}^{\mu }(s-\alpha _{i})^{l_{i}}$

とすると，これに対応して，

${\mathcal {L}}[z]=\sum _{i=0}^{\mu }\left\{{\frac {A_{i1}}{s-\alpha _{i}}}+{\frac {A_{i2}}{(s-\alpha _{i})^{2}}}+\cdots +{\frac {A_{il_{i}}}{(s-\alpha _{i})^{l_{i}}}}\right\}$

と部分分数に展開できる．それゆえ，この原像は，

$z(t)=\sum _{i=1}^{\mu }\left\{A_{i1}+A_{i2}t+A_{i3}{\frac {t^{2}}{2!}}+\cdots +A_{il_{i}}{\frac {t^{l_{i}-1}}{(l_{i}-1)!}}\right\}e^{\alpha _{i}}t$

または

(4.12)

$=\sum _{i=1}^{\mu }f_{i}(t)e^{\alpha _{i}}t$

と求まる．ここに $f_{i}(t)$ は $t$ の多項式で次数は高々 $l_{i}-1$，係数は複素数である．

複素数値関数の微分に述べたように，

$(D-\alpha _{i})^{l_{i}}\left\{f_{i}(t)e^{\alpha _{i}}t\right\}=e^{\alpha _{i}t}D^{l_{i}}f_{i}(t)=0$

であるから

$p(D)z(t)=0\quad \left(D={\frac {d}{dt}}\right)$

となり，式 (4.12) が式 (4.11) の解であることが分かる．解の一意性の証明も全く同じであるから，繰り返さない．また非同次方程式，

$p(D)z(t)=f(t)$

の解法も，全く同様である．なお，式 (4.11) の解の基本系は，

$\{e^{\alpha _{i}t},te^{\alpha _{i}t},t^{2}e^{\alpha _{i}t},\cdots ,t^{l_{i}-1}e^{\alpha _{i}t};i=1,\cdots ,\mu \}$

となる．実際，これらが 1 次独立となることは，前章の証明よりも，はるかに容易に示し得る． 事実，補題 4.1 の系によれば，

$f_{i}(t)e^{\alpha _{i}t}\quad (i=1,\cdots \mu )$

は一次独立であるから，あとは，

$e^{\alpha _{i}t},te^{\alpha _{i}t},t^{2}e^{\alpha _{i}t},\cdots ,t^{l_{i}-1}e^{\alpha _{i}t}$

の 1 次独立性だけを示せばよい．これは，

$1,t,t^{2},\cdots ,t^{l_{i}-1}$

の 1 次独立性と同じであるから，明らかである．

§2

微分方程式式 (4.11) の係数が実数の場合を，この章の立場から述べておく． 特性方程式 $p(s)$ が 1 次の因数に分解できることは同様であるが，その内容は，

$p(s)=\prod _{i=1}^{\mu }(s-c_{i})^{l_{i}}\prod _{j=1}^{\nu }(s-\alpha _{j})^{m_{j}}(s-{\overline {\alpha _{j}}})^{m_{j}}$

のような形をしている．ここに $c_{i}\in \mathbf {R} ,\alpha _{j},{\overline {\alpha _{j}}}\in \mathbf {C}$ で ${\overline {\alpha _{j}}}$ は $\alpha _{j}$ の共役複素数である． このとき解の基本系は，次の 3 種類の型のものから成り立っている．

Ⅰ$\quad e^{ct},te^{ct},t^{2}e^{ct},\cdots t^{l-1}e^{ct}$

Ⅱ$\quad e^{\alpha t},te^{\alpha t},t^{2}e^{\alpha t},\cdots t^{m-1}e^{\alpha t}$

Ⅲ$\quad e^{{\overline {\alpha }}t},te^{{\overline {\alpha }}t},t^{2}e^{{\overline {\alpha }}t},\cdots t^{m-1}e^{{\overline {\alpha }}t}$

Ⅰ型は実関数である．しかし，Ⅱ，Ⅲ型は複素数値関数である．これらを，

${\frac {e^{\alpha t}+e^{{\overline {\alpha }}t}}{2}}=e^{at}\cos bt$

${\frac {e^{\alpha t}-e^{{\overline {\alpha }}t}}{2i}}=e^{at}\sin bt$

ここに $\alpha =a+ib,\ {\overline {\alpha }}=a-ib$ を用いて実関数の基本形に直すと，Ⅱ，Ⅲの変わりに，

Ⅱ'$\quad e^{at}\cos bt,te^{at}\cos bt,t^{2}e^{at}\cos bt,\cdots t^{m-1}e^{at}\cos bt$

Ⅲ'$\quad e^{at}\sin bt,te^{at}\sin bt,t^{2}e^{at}\sin bt,\cdots t^{m-1}e^{at}\sin bt$

となる．Ⅰ，Ⅱ'，Ⅲ'が実形式で表した解の基本形である．前章で求めたものと形は異なるが，この方が導出が簡単である．

例94$\quad$

｛Ⅰ，Ⅱ'，Ⅲ'｝が解の基本系となること，すなわち 1 次独立であることを示せ．

解答例

$\diamondsuit$

非同次方程式の一般解は，同次方程式の一般解に特解を付加すればよいことは，前章と同様である．

ここに述べたように，一般に，理論的な話をするときには，複素数値関数で取り扱う方が見通しがよい． しかし実際に初期値問題を解くときには，前章の手法の方が優れている． ただ，一般解を求めるのは，本章の方法によるのが賢明である．