制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/Laplace 変換の基本的性質

前章と同様に，次の基本的性質が成立する． $f(t),g(t)$ を複素数値関数，$\alpha ,\beta$ を複素数とする．

複素数値関数の Lapalce 変換の基本的性質

Ⅰ

$1\sqsupset {\frac {1}{s}}$

Ⅱ $f(t)\sqsupset F(s),g(t)\sqsupset G(s)$ とすれば，

$\alpha f(t)+\beta g(t)\sqsupset \alpha F(s)+\beta G(s)$

Ⅲ

$f(t)*g(t)\sqsupset F(s)G(s)$

証明

第 1 段： $f(t),g(t)$ が実数値関数のとき，

${\mathcal {L}}[f*g]=\int _{0}^{\infty }(f*g)e^{-st}dt$

$s=\sigma +i\omega$ とすると，積分の定義から，

$=\int _{0}^{\infty }(f*g)e^{-\sigma t}\cos \omega t\ dt-i\int _{0}^{\infty }(f*g)e^{-\sigma t}\sin \omega t\ dt$

である．第 1 項を $I_{1}$，第 2 項を $-iI_{2}$ とおき，積分順序を交換すると，前章と同様にして，

$I_{1}=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{\tau }^{\infty }f(t-\tau )e^{-\sigma t}\cos \omega t\ dt\right\}g(\tau )d\tau$

$I_{2}=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{\tau }^{\infty }f(t-\tau )e^{-\sigma t}\sin \omega t\ dt\right\}g(\tau )d\tau$

を得る．よって $I_{1}-iI_{2}$ は再び積分の定義により，

$\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{\tau }^{\infty }f(t-\tau )e^{-\sigma t}(\cos \omega t\ -i\sin \omega t)dt\right\}g(\tau )d\tau$

となる．よって 前章と同じ関係式，

$\int _{0}^{\infty }(f*g)e^{-st}dt=\int _{0}^{\infty }\left\{\int _{\tau }^{\infty }f(t-\tau )e^{-st}dt\right\}g(\tau )d\tau$

ここで積分変数を $\xi :=t-\tau$ と変更すれば，積分の基本的性質Ⅲにより，

$={\mathcal {L}}[f]\cdot {\mathcal {L}}[g]$

を得る．これで $f(t),g(t)$ が実数値関数のとき証明ができた．次に，

第 2 段：$f=f_{1}+if_{2},g=g_{1}+ig_{2}$ のときを証明する．

$f*g=(f_{1}*g_{1}-f_{2}*g_{2})+i(f_{1}*g_{2}+f_{2}*g_{2})$

であるから，第 1 段の結果と Laplace 変換の基本性質Ⅱを用いればよい． $\diamondsuit$

このように，基本的性質が示されたので前章と同様に，微分方程式を解くのに必要な公式のすべてを導くことができる． 例えば，

積分

$\int _{0}^{t}f(\tau )d\tau \sqsupset {\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}[f]$

微分

$f'(t)\sqsupset s{\mathcal {L}}[f]-f(0)$

など．これらはもちろん Laplace 変換の定義から直接導くこともできる．また，

移動定理

$f(t-\alpha )\sqsupset e^{-s\alpha }{\mathcal {L}}[f]$

などの証明も，前章と全く同様である．