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# 制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/非同次微分方程式

(5.3)
${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}&=-y+f(t)\\{\frac {dy}{dt}}&=x+g(t)\end{cases}}\quad {\begin{cases}x(0)=0\\y(0)=0\end{cases}}}$

を解け．

これを Laplace 変換すると，

${\displaystyle {\begin{cases}s{\mathcal {L}}[x]&=-{\mathcal {L}}[y]&+{\mathcal {L}}[f]\\s{\mathcal {L}}[y]&={\mathcal {L}}[x]&+{\mathcal {L}}[g]\end{cases}}}$

これを ${\displaystyle {\mathcal {L}}[x],{\mathcal {L}}[y]}$ について解くと，例104${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\mathcal {L}}[f]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}[g]}$ に代わっただけであるから，

${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {L}}[x]&={\frac {s}{s^{2}+1}}{\mathcal {L}}[f]&-{\frac {1}{s^{2}+1}}{\mathcal {L}}[g]\\{\mathcal {L}}[y]&={\frac {1}{s^{2}+1}}{\mathcal {L}}[f]&+{\frac {s}{s^{2}+1}}{\mathcal {L}}[g]\end{cases}}}$

となり，この原像

(5.4)
${\displaystyle {\begin{cases}x(t)&=\int _{0}^{t}\cos(t-\tau )f(\tau )d\tau &-\int _{0}^{t}\sin(t-\tau )g(\tau )d\tau \\y(t)&=\int _{0}^{t}\sin(t-\tau )f(\tau )d\tau &+\int _{0}^{t}\cos(t-\tau )g(\tau )d\tau \end{cases}}}$

を得る．

${\displaystyle \diamondsuit }$

(5.5)
${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}&=-y+f(t)\\{\frac {dy}{dt}}&=x+g(t)\end{cases}}\quad {\begin{cases}x(0)=\alpha \\y(0)=\beta \end{cases}}}$

を解け．

これは例 104 の解と例 108 の解との和である． ${\displaystyle \diamondsuit }$

${\displaystyle X\sqsubset x,\quad Y\sqsubset y,\quad F\sqsubset f,\quad G\sqsubset g}$ と置くと，

${\displaystyle {\begin{cases}sX-\alpha &=-Y+F\\sY-\beta &=X+G\end{cases}}}$

したがって，

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s&1\\-1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}F+\alpha \\G+\beta \end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \therefore {\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\begin{pmatrix}s&-1\\1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F+\alpha \\G+\beta \end{pmatrix}}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\begin{pmatrix}s&-1\\1&s\end{pmatrix}}\left\{{\begin{pmatrix}F\\G\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}\right\}}$
${\displaystyle ={\frac {1}{s^{2}+1}}{\begin{pmatrix}s&-1\\1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F\\G\end{pmatrix}}+{\frac {1}{s^{2}+1}}{\begin{pmatrix}s&-1\\1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}}$

あとは，例 104 例 108 と解法は同じで、解 ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle s}$ 領域 ${\displaystyle X,Y}$例 104 例 108 の和であり、よってLaplace 変換の線形性より、これらの原像 ${\displaystyle x,y}$ も結局この二つの問題の解の和となる．

${\displaystyle \diamondsuit }$