制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/非同次微分方程式

例108$\quad$

(5.3)

${\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}&=-y+f(t)\\{\frac {dy}{dt}}&=x+g(t)\end{cases}}\quad {\begin{cases}x(0)=0\\y(0)=0\end{cases}}$

を解け．

これを Laplace 変換すると，

${\begin{cases}s{\mathcal {L}}[x]&=-{\mathcal {L}}[y]&+{\mathcal {L}}[f]\\s{\mathcal {L}}[y]&={\mathcal {L}}[x]&+{\mathcal {L}}[g]\end{cases}}$

これを ${\mathcal {L}}[x],{\mathcal {L}}[y]$ について解くと，例104 で $\alpha$ と $\beta$ が ${\mathcal {L}}[f]$ と ${\mathcal {L}}[g]$ に代わっただけであるから，

${\begin{cases}{\mathcal {L}}[x]&={\frac {s}{s^{2}+1}}{\mathcal {L}}[f]&-{\frac {1}{s^{2}+1}}{\mathcal {L}}[g]\\{\mathcal {L}}[y]&={\frac {1}{s^{2}+1}}{\mathcal {L}}[f]&+{\frac {s}{s^{2}+1}}{\mathcal {L}}[g]\end{cases}}$

となり，この原像

(5.4)

${\begin{cases}x(t)&=\int _{0}^{t}\cos(t-\tau )f(\tau )d\tau &-\int _{0}^{t}\sin(t-\tau )g(\tau )d\tau \\y(t)&=\int _{0}^{t}\sin(t-\tau )f(\tau )d\tau &+\int _{0}^{t}\cos(t-\tau )g(\tau )d\tau \end{cases}}$

を得る．

$\diamondsuit$

例109$\quad$

(5.5)

${\begin{cases}{\frac {dx}{dt}}&=-y+f(t)\\{\frac {dy}{dt}}&=x+g(t)\end{cases}}\quad {\begin{cases}x(0)=\alpha \\y(0)=\beta \end{cases}}$

を解け．

これは例 104 の解と例 108 の解との和である． $\diamondsuit$

例110$\quad$

式 (5.5) を直接 Laplace 変換して解き上の事実を確かめよ．

解答例

$X\sqsubset x,\quad Y\sqsubset y,\quad F\sqsubset f,\quad G\sqsubset g$ と置くと，

${\begin{cases}sX-\alpha &=-Y+F\\sY-\beta &=X+G\end{cases}}$

したがって，

${\begin{pmatrix}s&1\\-1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}F+\alpha \\G+\beta \end{pmatrix}}$

$\therefore {\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\begin{pmatrix}s&-1\\1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F+\alpha \\G+\beta \end{pmatrix}}={\frac {1}{s^{2}+1}}{\begin{pmatrix}s&-1\\1&s\end{pmatrix}}\left\{{\begin{pmatrix}F\\G\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}\right\}$

$={\frac {1}{s^{2}+1}}{\begin{pmatrix}s&-1\\1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F\\G\end{pmatrix}}+{\frac {1}{s^{2}+1}}{\begin{pmatrix}s&-1\\1&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}$

あとは，例 104 や例 108 と解法は同じで、解 $x,y$ の $s$ 領域 $X,Y$ は例 104 ・例 108 の和であり、よってLaplace 変換の線形性より、これらの原像 $x,y$ も結局この二つの問題の解の和となる．

$\diamondsuit$