制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/例題による考察/(sI-A)^-1の計算

$(sI-A)^{-1}$ の計算は逆行列を求める普通の計算に従えばよいのであるが、次のように計算することができる．以下，行列 $A$ の行列式を $|A|$ または $\det A$ などで表すことにする．

式 (5.8) に見られる通り， $(sI-A)^{-1}$ の各要素は共通の分母として，

A={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \det(sI-A)=s^{2}+1

を持つので，各要素は ${\frac {bs+c}{s^{2}+1}}$ の形をしている．そこで，

(sI-A)^{-1}={\frac {Bs+C}{s^{2}+1}}\quad (B,C

は行列)

とおいて $B,C$ を求めることを考えよう．まず $s^{2}+1$ と $sI-A$ とを両辺にかけると，

(s^{2}+1)I=(sI-A)Bs+(sI-A)C

となる．この両辺の係数を比較すると，

s^{2}

の係数：

I=B

s

の係数：

0=-AB+C

これより $C=A$ を得る．よって，

(sI-A)^{-1}={\frac {s}{s^{2}+1}}I+{\frac {1}{s^{2}+1}}A

を得る．この原像は，

I\cos t+A\sin t={\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}}

となって，式 (5.8) と一致する．

例112 $\quad$

例 105 に対して $(sI-A)^{-1}$ を計算せよ．

解答例

$A={\begin{pmatrix}-1&3\\-2&4\end{pmatrix}},\quad sI-A={\begin{pmatrix}s+1&-3\\2&s-4\end{pmatrix}},\quad \det(sI-A)=s^{2}-3s+2$ であるから，

(sI-A)^{-1}={\frac {Bs+C}{s^{2}-3s+2}}

とおいて両辺に左から $(s^{2}-3s+2)(sI-A)$ をかけると，

(s^{2}-3s+2)I=(sI-A)Bs+(sI-A)C

…①

s^{2}

の項：

I=B

s

の項：

-3I=-AB+C

$B=I$ より $-3I=-A+C\therefore C=A-3I$

\therefore (sI-A)^{-1}={\frac {Is+(A-3I)}{(s-1)(s-2)}}={\frac {2I-A}{s-1}}+{\frac {A-I}{s-2}}

なお，①の $s^{0}=1$ の項を等置すると，

2I=-AC

$C=A-3I$ より， $2I=-A(A-3I)$

\therefore A^{2}-3A+2I=O

…②

②は $A$ に関する Cayley–Hamilton の定理を示している．

$\diamondsuit$

例113 $\quad$

例 106 に対して $(sI-A)^{-1}$ を計算せよ．

解答例

$A={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-\beta &\alpha \end{pmatrix}},\quad sI-A={\begin{pmatrix}s-\alpha &-\beta \\\beta &s-\alpha \end{pmatrix}},\quad \det(sI-A)=(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}$ であるから，

(sI-A)^{-1}={\frac {Bs+C}{(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}

とおいて両辺に左から $\{(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}\}(sI-A)$ をかけると，

(s^{2}-2\alpha s+\alpha ^{2}+\beta ^{2})I=(sI-A)Bs+(sI-A)C

…①

s^{2}

の項：

I=B

s

の項：

-2\alpha I=-AB+C

$B=I$ より $-2\alpha I=-A+C\therefore C=A-2\alpha I$
$\therefore (sI-A)^{-1}={\frac {Is+(A-2\alpha I)}{(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {(s-\alpha )I}{(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}+{\frac {A-\alpha I}{(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}}}$
なお①の $1$ の係数を比較して，

(\alpha ^{2}+\beta ^{2})I=-AC=-A(A-2\alpha I)

\therefore A^{2}-2\alpha A+(\alpha ^{2}+\beta ^{2})I=O

…②

②は $A={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-\beta &\alpha \end{pmatrix}}$ に関する Cayley–Hamilton の定理を示している．

$\diamondsuit$